5.2.1. Кинематические характеристики гармонического колебания

Общее решение уравнения (5.3) имеет вид:

x = A cos (ω₀t + α) , (5.4)

где А и α – произвольные постоянные.

Таким образом, смещение х изменяется со временем по закону косинуса.

График гармонического колебания, т.е. график функции (5.4), показан на рис. 5.1. По горизонтальной оси отложено время t, по вертикальной оси – смещение х.

Поскольку косинус изменяется в пределах от –1 до +1, значения х лежат в пределах от –А до +А. Величина наибольшего отклонения системы от положения равновесия называется амплитудой колебания. Амплитуда А - постоянная положительная величина. Ее значение определяется величиной начального отклонения или толчка, которым система была выведена из положения равновесия.

Величина (w₀t+a), стоящая под знаком косинуса, называется фазой колебания. Она характеризует состояние колеблющейся системы в произвольный момент времени t. Постоянная a, характеризующая состояние системы в начальный момент времени t = 0, называется начальной фазой колебания. Поскольку косинус – периодическая функция с периодом 2p, различные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через такой промежуток времени Т, за который фаза колебания получает приращение, равное 2p (рис.5.1). Этот промежуток времени называется периодом колебания. Он может быть определен из условия , откуда

.

Число колебаний, совершающихся в единицу времени, называется частотой колебания n. Частота связана с периодом колебания Т следующим образом:

. (5.6)

За единицу частоты принимается частота такого колебания, период которого равен 1 с. Эту единицу называют герцем (Гц). Частота в 10³ Гц называется килогерцем (кГц), в 10⁶ Гц – мегагерцем (МГц).

Из соотношения (5.5) следует, что:

. (5.7)

Таким образом, w₀ дает число колебаний за 2p секунд. Величина w₀ называется циклической (круговой) собственной частотой колеблющейся системы. Она связана с частотой n соотношением

w₀ = 2pn . (5.8)

Продифференцировав (5.4) по времени, получим выражение для скорости тела, совершающего колебательное движение:

v = -Aw₀ sin (w₀t + a) = Aw₀ cos (w₀t + a +) . (5.9)

Как видно из (5.9), скорость также изменяется по гармоническому закону, причем амплитуда колебаний скорости Aw₀. Из сравнения (5.4) и (5.9) следует, что скорость с амплитудой Аw₀ опережает смещение по фазе на .

Продифференцировав (5.9) по времени еще раз, найдем выражение для ускорения этого тела:

а = -Acos (w₀ t +a) =

=A cos (w₀ t + a +p) . (5.10)

Как следует из (5.10), ускорение и смещение меняются в противофазе. Это означает, что в тот момент, когда смещение достигает положительного наибольшего значения, ускорение достигает наибольшего по модулю отрицательного значения, и наоборот.

На рис. 5.2 сопоставлены графики для смещения, скорости и ускорения.