8.5. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам в идеальном газе

Изохорический процесс (V = const). Так как dV =0, то dА = рdV =0, газ не совершает работы. Поэтому из первого начала термодинамики следует, что в изохорическом процессе все количество теплоты, сообщаемое газу, идет на изменение его внутренней энергии:

dQ = dU .

Это позволяет определить молярную теплоемкость газа при постоянном объеме С_V (см. формулы (8.6), (8.13) и (8.19)):

. (8.20)

Следовательно, молярная теплоемкость идеального газа при постоянном объеме зависит только от числа степеней свободы, т.е. от конструкции молекулы.

Изобарический процесс (p = const). В этом изопроцессе обмен энергией происходит в форме и работы, и теплоты (см. формулу (8.17))

dQ = dU + dA = dU + pdV.

Подводимое к газу тепло затрачивается на изменение внутренней энергии газа и на совершение им работы.

Вводя молярную теплоемкость при постоянном давлении (см. формулу (8.13)), находим

. (8.21)

Здесь первое слагаемое равно С_V (см. формулу (8.20)), а во втором заменим pdV правой частью уравнения Менделеева – Клапейрона:

, .

В итоге получаем

С_р = С_V + R . (8.22)

Соотношение (8.22) называется уравнением Майера. Оно показывает, что молярная теплоемкость идеального газа при постоянном давлении больше его молярной теплоемкости при постоянном объеме на величину R. Следовательно, С_p всегда больше С_V, так как в изобарическом процессе в отличие от изохорического теплота, сообщаемая газу, расходуется не только на изменение его внутренней энергии, но также и на совершение газом работы.

Подставляя формулу (8.20) в выражение (8.22), находим

. (8.23)

Молярная теплоемкость при постоянном давлении С_р также зависит лишь от числа степеней свободы молекулы.

Изотермический процесс (Т = const). dT = 0. Следовательно, в изо­терми­ческом процессе внутренняя энергия идеального газа не изменяется:

,

и первое начало термодинамики запишется в виде

dQ = dA = pdV, (8.24)

т.е. вся теплота, сообщаемая газу, расходуется только на совершение им работы против внешних сил (изотермический процесс осуществляется с КПД, равным единице).

Теплоемкость газа в изотермическом процессе бесконечна, так как

dQ , dT = 0: С_Т = . (8.25)

Адиабатический процесс. Изучая применение первого начала термодинамики к изопроцессам в идеальном газе, мы рассмотрели случаи: dА = 0 (изохорический процесс), dU = 0 (изотермический процесс), dQ ? 0, dА ? 0, dU ? 0 (изобарический процесс). Очевидно, возможен процесс, при котором dQ = 0. Такой процесс называется адиабатическим.

Адиабатическим называется процесс, при котором отсутствует теплообмен между системой и окружающей средой. К адиабатическим можно отнести все быстропротекающие процессы.

Выведем уравнение адиабатического процесса. Из первого начала термодинамики (dQ = dU + dА) для адиабатического процесса следует, что

dА = - dU, (8.26)

т.е. работа совершается системой за счет уменьшения ее внутренней энергии.

Так как dА = pdV, а , то при адиабатическом расширении dT < 0 (так как dV > 0, p > 0, C_V > 0) – происходит охлаждение газа. При адиабатическом сжатии - dV < 0 и соответственно dT > 0 – происходит нагревание газа.

Уравнение адиабатического процесса получим из первого начала термодинамики (8.26), в котором заменим dА и dU их выражениями (8.8) и (8.20):

. (8.27)

Величину найдем из уравнения Менделеева - Клапейрона:

RdT = d(pV) = p dV + Vdp .

Таким образом,

;

учитывая, что для идеального газа С_V + R = C_р , получаем

С_р p dV + C_V V dp = 0 .

Разделив обе части уравнения на C_VpV и введя обозначение

, (8.28)

(безразмерная величина (8.28), называется показателем адиабаты), запишем его в виде:

,

который можно представить как

d ln V ^g +d ln p = 0 или d ln (pV ^g ) = 0.

Следовательно, в адиабатическом процессе уравнение состояния имеет вид

p V ^g = const . (8.29)

Уравнение (8.29) называется уравнением Пуассона.

Пользуясь уравнением Менделеева – Клапейрона, можно переписать формулу (8.28) в координатах pT и VT:

и . (8.30)

Линию, изображающую адиабатический про­цесс, называют адиабатой.

Определим работу, совершаемую газом в адиабатическом процессе. Из формулы (8.27) элементарная работа, совершаемая системой в адиабатическом процессе,

,

а работа на конечном интервале изме­нения температуры

. (8.31)

Из формул (8.20) и (8.22)

или ,

, , (8.32)

.

Так как в адиабатическом процессе dQ = 0, a dT ? 0, теплоемкость этого процесса

.