§4 ЛОГИКА НОРМ И МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА

Современная формальная логика представляет собой мно­жество абстрактных знаковых моделей, или «логик», дающих более или менее адекватное описание эмпирических процессов рассуждения.

Возникновение новых разделов логики, расширение и обо­гащение ее аппарата есть, без сомнения, показатель ее интен­сивного развития. Дифференциация логики выдвигает вместе с тем проблему выявления ее единства, проблему описания тех идей и связей, которые превращают непрерывно расши­ряющееся множество логических систем в единую науку. Со­вершенно очевидно, что «единство логики, как и всякой науки, не может быть установлено на базе каких-то чисто априорных постулатов и установлено раз и навсегда. Оно может быть установлено лишь на базе конкретного исследования логиче­ских теорий на том или ином этапе развития логики» [6, стр. 78].

Единство логики проявляется в том, что входящие в ее со­став отдельные «логики» исходят при моделировании содер­жательных логических процессов из определенных общих фун­даментальных абстракций, способов идеализации и формаль­ных методов исследования. Все эти «логики» отвлекаются от конкретного содержания высказываний и умозаключений и оперируют только с их формальным содержанием. Каждая из них является системой, применяющей язык символов и формул и строящейся в соответствии с некоторыми общими для всех систем принципами. И наконец, построенная «логи­ка» вызывает ряд вопросов, встающих в случае каждой дедук­тивной формально-логической системы. Это, в частности, воп­росы о непротиворечивости этой «логики», ее полноте и раз­решимости, о независимости ее аксиом и правил вывода.

Единство логики обнаруживается, далее, в существовании определенных связей между различными ее системами. Так,

интуиционистская логика может быть получена из классичЯ ской отбрасыванием закона исключенного третьего или закЛ на снятия двойного отрицания; вместе с тем можно также пм казать, что первая содержит вторую в качестве своей собсй венной части. С другой стороны, классическая и интуиционисс ская логики высказываний могут рассматриваться как разлюя ные расширения одной и той же минимальной логики выска! зываний Колмогорова и Иогансона. Последнюю можно в своЮ очередь рассматривать как расширение позитивной логики высказываний Гильберта одним из законов приведения к аб­сурду и т. д. Одни логические системы могут быть дедуктивно эквивалентными другим системам, или включаться в них, или являться их обобщением и т. д. Выяснение связей такого ро­да с является раскрытием одного из аспектов единства фор­мальной логики. *

Это единство проявляется также в том, что. различные ло гические теории удовлетворяют не только требованию внут­ренней непротиворечивости, но и требованию непротиворечи­вости в отношении друг друга: законами одной из них не мо-^; гут быть отрицания законов, принятых в другой. Хорошей иллюстрацией этого положения служат отношения классиче* ской двузначной и многозначной логик. Некоторые утвержде! ния, являющиеся логическими законами при 'допущении дву^ значений истинности, перестают быть законами при введении некоторых дополнительных значений. Но в этом случае истИ нами многозначной логики не оказываются и отрицания со| ответствующих двузначных законов. Большинство интересны! многозначных систем таково, что исключение дополнительны^ значений истинности превращает их в классическую двузначй ную логику. Последняя оказывается при этом «предельным! случаем первых. Объяснение такого соотношения в сходств! тех логических связей, моделями которых являются сдвузначі ные и многозначные построения. Двузначная логика довольнѣ успешно эксплицировала типичные случаи употребления оп* ределенных логических знаков.

Еще одно из проявлений единства логики состоит в той что сами логические теории служат предметом обобщающей исследования, приводящего со временем к объединению их і группы и построению каждой из них по общей схеме. |

Все это показывает, что в логике, как и во всякой ино.і науке, идет не только процесс дифференциации, создания но; вых разделов и систем, но с процесс интеграции, выявлени: ее единства путем установления связей между различными си стемами и выработки новых, более ’широких идей и теорий

В настоящем разделе будет рассмотрен один из аспекта

проблемы единства формальной логики, а именно проблема единства модальной логики ^|9. Мы покажем, что теории ло­гических, онтологических, эпистемических, деонтических, ак­сиологических, временных и других модальностей могут быть получены с помощью разных интерпретаций одного и того же аксиоматического построения. Основное внимание при этом будет уделяться стратификации модальной логики, т. е. пост­роению ее путем постепенного расширения определенной ми­нимальной теории.

Объектом исследования обычной, или ассерторической, ло­гики являются логические связи ассерторических, или, как их еще можно назвать, неквалифицированных, высказываний. В них утверждается или отрицается наличие определенных связей. В простых высказываниях этого типа говорится о том, что предмету, о котором идет речь, присущ определенный при­знак. Примерами их могут служить высказывания: «снег бел и холоден», «стекло не проводит электрический ток», «Тасма­ния открыта капитаном Куком», «Платон— автор ,,Тимея“», «Пегас — крылатый конь» и т. п. Общая форма таких выска­зываний: «S есть (не есть) Р».

Помимо ассерторических высказываний, устанавливающих связи предметов и признаков и связи иных типов, имеются также модальные высказывания, в которых уточняется, или квалифицируется, характер или модус этих связей.

:.¹⁹ Из работ, в которых прямо или косвенно затрагивается проблема един­ства модальной логикИ, отметим работы Г. фон Райта [217], О. Беккера §67], А. Прайора (177, часть 111, гл. 1], [174], А. Андерсона [46], [48], ІР. Монтегю [154], Я. Хинтикки [119], С. Крипке [134], Ф. Фитча [98], £Л. Аквиста [53], [55], [5(5], [57], Т. Смайли [1991, В. Хэнсона [1131,

ВД. Клиффорда [83], М. Крессвелла [85], А. А. Зиновьева [7],

К[Э. гл. 11—12], Н. Решера [187], А. А. Ивина [19, гл. 4], [14], [18], [21], И231, (27].

щая форма модальных высказываний, получаемых из простыя ассерторических высказываний: М (S есть Р) или М (Sна есть Р). Вместо М в эту форму могут подставляться различу иые модальные понятия, позволяющие определить тин связи субъекта и предиката. Очевидно, что модальной квалифика; ции могут быть подвергнуты не только связи предметов признаков, но и связи других типов. Например, из сложного^: ассерторического высказывания «если металлический стер»-; жень нагреть, то он удлинится» можно получить такие мо-; дальные высказывания: «доказано, что если металлический- стержень нагреть, то он удлинится», «хорошо, что металлик ческий стержень удлиняется, если его нагревают», «средневе­ковые алхимики были убеждены, что если металлический; стержень нагреть, то он удлинится» и т.

Объектом исследования модальной логики является логи­ческое поведение модальных высказываний и их связи с ассер­торическими высказываниями. Из разнообразных возможных типов квалификаций она выбирает немногие, наиболее инте­ресные типы. Результатами их изучения являются отдельные ветви или разделы модальной логики, называемые обычно то­же «логиками». ' • ,

Квалификации каждого типа осуществляются с помощью группы связанных между собой понятий, именуемых мораль­ностями. Так, теоретико-познавательная характеристика ут­верждений о связях дается с помощью понятий «доказуемо», «опровержимо» и «неразрешимо», аксиологическая — с ■ по­мощью понятий «хорошо», «безразлично» и «плохо», норма­тивная — с помощью понятий «обязательно», «безразлично» и «запрещено» и т. д» 21.

2 Высказывание формы «5 есть {не есть) Я», где 5 и Я — некоторые понятия, допускает двоякое уточнение: качественное и количественное. Можно, воспользовавшись модальными понятиями, уточнить характер или тип связи S и Я. Но можно также, используя выражения «все», «неко­торые», «большинство», «только один», «ни один» и т. п., уточнить объемы понятий 5 и Я. Операцию первого рода мы называем квалификацией, а слова, с помощью которых она осуществляется, квалификаторами. Операцию уточнения объемов понятий принято называть квантификацией, а слова, используемые при этом, кванторами. Одно и то же высказыва­ние может стать объектом нескольких последовательных квалификаций с одной или разных точек зрения, причем квалификация может комби­нироваться также с квантификацией. Результатами таких комбинирован­ных уточнений являются, к примеру, высказывания: «доказано, что физи­чески возможно для 5 быть Я», «всегда обязательно действовать так, чтобы S не оказалось Я», «логически необходимо, что всякое 5 есть Я», «хорошо, что некоторые Sвсегда являются Я» и т. п. С комбинациями модальных понятий и кванторов связан целый ряд сложных проблем, энергично обсуждаемых в литературе по модальной логике и Не затра­гиваемых нами (см.

Утверждения, выражаемые последними тремя версиями принципа полноты, в терминах логики убеждений можно передать так: «субъект, не убежденный в ложности некото­рого высказывания, допускает его истинность», «субъект, не отвергающий некоторое высказывание, допускает его истин­ность» и «всякое высказывание таково, что рассматриваемым субъектом допускается его истинность или допускается его ложность».

Если убежденность, сомнение, отвержение и допущение понимаются как определенные осознанные интеллектуальные операции некоторого субъекта, о принципе эпистемической полноты можно сказать, что им предполагается охват этим субъектом всех высказываний. Очевидно, что реальные субъекты сталкиваются только с ограниченным кругом вы­сказываний и не имеют никакого мнения об истинностном значении как неизвестных им высказываний, так и многих из тех высказываний, которые знакомы им. Это означает, что введение в логику убеждений принципа полноты должно истолковываться как определенное ограничение, налагаемое на те системы убеждений, для исследования которых может применяться эта логика.

Аналогично обстоит дело с принципами логической, онто­логической, деонтической, временной и аксиологической пол­ноты. Согласно, например, последнему из них всякая вещь является или хорошей, или плохой, или безразличной. Это утверждение справедливо только при допущении, что аксио­логическая область (т. е. множество вещей, о ценности каж­дой из которых имеется определенное представление) совпа-

даст с множеством всех вещей. Иными словами, теория аксиологических модальностей, содержащая принцип полно­ты, применима только для анализа полных систем оценок^{[31][32][33][34][35]}.

Согласно закону противоречия ассерторической логики утверждение и отрицание определенной связи не могут при­ниматься вместе. Этот закон можно рассматривать как огра­ничение области приложения содержащей его логической системы непротиворечивыми рассуждениями и соответствен­но как требование исключать логические противоречия из рас­суждения. Модальными аналогами закона противоречия яв­ляются следующие утверждения: «ложное высказывание не имеет сильной положительной модальной характеристики», «истинное высказывание не имеет сильной отрицательной ха­рактеристики» и «если высказывание имеет одну из сильных модальных характеристик, то его отрицание не имеет данной характеристики». Символически:

Первые две из этих формул можно назвать сильными прин­ципами модальной непротиворечивости, а выводимые из них две последние формулы — слабыми принципами.

В некоторых разделах модальной логики приемлемы как слабые, так и сильные принципы модальной непротиворечи­вости, в других — только слабые. Например, в стандартных теориях логических модальностей доказуемы как утвержде­ния «ложное высказывание не является логически необходи­мым» и «истинное высказывание не является логически не­возможным», так и утверждение «два противоречащих вы­сказывания не могут быть оба логически необходимыми и не могут быть оба логически невозможными». Сходные утверж­дения являются верными также в случае обычных теорий онтологических и временных модальностей. К истинам логи­ки знания относится как положение «ложное высказывание не доказуемо, а истинное не опровержимо», так и положение «противоречащие друг другу высказывания нельзя ни дока­зать, ни опровергнуть вместе».

Примерами разделов модальной логики, в которых при­емлемы только слабые принципы модальной непротиворечи-

вости, могут служить теории деонтических и аксиологических модальностей, а также логика убеждений.

Введение в последнюю логику принципа «субъект не мо­жет быть убежден в истинности каждого из двух противоре­чащих друг другу высказываний» допустимо рассматривать как выдвижение определенного требования к системам или совокупностям убеждений, а именно требования непротиво­речивости этих систем. Можно, с другой стороны, считать, что принятием этого и подобных ему принципов просто огра­ничивается область приложения логики убеждений множест­вом непротиворечивых систем убеждений. При таком пони­мании данный принцип не предполагает, в отличие от первого его истолкования, дополнительного требования устранять противоречия из реальных систем убеждений.

Модальные логики, содержащие слабые или сильные принципы модальной непротиворечивости, мы будем назы­вать сильными, отличая их от слабых модальных логик, в которых эти принципы невыводимы. Если истолковывать переход от слабых модальных логик к сильным как ограниче­ние систем высказываний, для анализа которых могут быть использованы эти логики, непротиворечивыми в модальном смысле системами ³², то становится понятным и оправданным интерес к самим слабым логикам. Сильные логики прило­жимы только к непротиворечивым множествам высказыва­ний, слабые же могут использоваться для логического иссле­дования любых совокупностей высказываний и не требуют предварительного исключения из них модальных противо­речий 33.

В дальнейшем системой М2 мы будем называть результат расширения минимальной модальной системы Mlслабыми принципами модальной непротиворечивости, системой М3 — результат расширения Mlсильными принципами непротиво­речивости и системами М4 и М5 — результаты расширения систем Mlи М2 принципом модальной полноты. Будем пред­полагать также, что в каждой из этих систем сильные модальные понятия взаимно определимы по указанной ранее схеме.

Системе М4 может быть дана аксиоматическая формули­ровка, включающая помимо правил (R1) — (R3) системы Ml только аксиому^[32][33]

первая из которых является одной из формулировок слабого принципа модальной непротиворечивости, а вторая — одной из формулировок принципа модальной .полноты. Данная эквивалентность не является теоремой систем Ml—М4. Она доказуема только в системе М5. Только в рамках этой систе­мы дополнительное модальное понятие может употребляться вместо основных. Логическая невозможность высказывания определима в М5 как отрицание его возможности, логическая случайность—как одновременная возможность самого выска­зывания и возможность противоречащего ему высказывания, логическая необходимость—как отрицание возможности отри­цания высказывания. Сходным образом вместо трех основ­ных онтологических модальностей в М5 может быть взято понятие «онтологической возможности», вместо трех деонти­ческих — понятие «разрешения» и вместо трех основных по­нятий логики убеждений — понятие «допускает». Запреще­ние действия определимо при этом как отрицание разреше­ния выполнять рассматриваемое действие, обязанность — как отрицание разрешения воздерживаться от него и безразли­чие— как отсутствие и обязанности и запрещения. С терми­ном «допускает» основные понятия логики убеждений опре­деляются таким образом: «субъект убежден в истинности не­которого высказывания в том и только том случае, когда он не допускает, что оно является ложным», «субъектом отвер­гается истинность высказывания, если и только если она не допускается им» и «субъект сомневается в истинности выска­

зывания, если и только если он допускает как его истинность, так и его ложность». ’

Если в качестве единственного исходного модального понятия избирается дополнительное понятие, системе М5 можно дать такую формулировку: