4.8. Применение законов сохранения к соударениям тел

Рассмотрим применение законов сохранения механической энергии и импульса к расчету абсолютно упругого центрального удара двух тел.

Абсолютно упругим называют такой удар, в результате которого не происходит превращения механической энергии системы соударяющихся тел в другие виды энергии.

Пусть два абсолютно упругих шара с массами m₁ и m₂ до удара движутся поступательно со скоростями v₁ и v₂, направленными в одну и ту же сторону вдоль линии их центров, причем v₁ > v₂. Нужно найти скорости шаров u₁ и u₂ после соударения (рис. 4.5).

В процессе удара систему соударяющихся тел можно считать замкнутой. При абсолютно упругом ударе она, кроме того, консервативна. Следовательно, для решения этой задачи можно воспользоваться законом сохранения механической энергии и импульса. Перед ударом и после его завершения соударяющиеся тела не деформированы, т.е. потенциальную энергию системы в этих двух состояниях можно считать одинаковой и равной нулю. Тогда из закона сохранения механической энергии имеем

. (4.31)

По закону сохранения импульса

. (4.32)

При прямом центральном ударе векторы скоростей шаров до и после удара направлены вдоль одной прямой – линии удара. Поэтому из (4.32) следует, что

, (4.33)

где v₁, v₂ , u₁ и u₂ - проекции векторов и на ось координат, параллельную линии удара.

, . (4.34)

В формулах (4.34) скорости v₁ и v₂ могут иметь как одинаковые, так и противоположные знаки в зависимости от направлений векторов и .

Рассмотрим некоторые частные случаи:

1. Массы шаров одинаковы (m₁ = m₂ = m). Тогда из выражения (4.34) следует, что

u₁ = v₂ , u₂ = v₁ ,

т.е. при ударе шары обмениваются скоростями.

2. Масса второго шара во много раз больше массы первого (m₂ >>m₁). Тогда

u₁2v₂ – v₁ , u₂ v₂ .

Если при этом второй шар до удара был неподвижен (v₂ = 0), то

u₁ = - v₁ , u₂ = 0 ,

т.е. первый шар отскакивает от неподвижного массивного шара и движется в обратную сторону со скоростью u₁ = -v₁ .

При абсолютно неупругом ударе потенциальная энергия деформации не возникает; кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию; после удара столкнувшиеся тела либо движутся с одинаковой скоростью, либо покоятся. При абсолютно неупругом ударе выполняется лишь закон сохранения импульса, закон сохранения механической энергии не соблюдается. Из выражения (4.35), положив u₁ = u₂ = u, найдем скорость движения шаров после абсолютно неупругого удара:

.

В заключение приводятся таблица аналогий в описании поступательного и вращательного движений (характеристики и законы).

Таблица 4.1

Аналогии в описании поступательного и вращательного движений

Поступательное движение	Вращательное движение
Nпост =Fτ v	Nвр = Мврω