Висновки логіки висловлювань

Зупинимося на аналізі дедуктивних умовиводів, а саме на характеристиці умовиводів логіки висловлювань.

Для цього класу умовиводів характерним є те, що в них при отриманні висновку не враховується внутрішня струк­тура простих висловлювань, із яких складаються засновки і висновок.

Наприклад,

Логічна структура такогоміркування має такий вигляд:

Враховуючи наведене вище визначення умовиводу логі­ки висловлювань, його схему можна записати так:

«із A₁, A₂, A₃... A_n слідує (виводиться) В».

Цей вираз розуміється так: «Якщо істинні висловлю­вання із структурою заданою формулами A₁, A₂, A₃,... A_n (засновки), то істинним є і висловлювання із струк­турою, заданою формулою В (висновок)».

З даного визначення видно, що ми відволікаємося від змісту висловлювань і зосереджуємо увагу на структурі за­сновків і висновку.

Надалі схему висновку із засновками A₁, A₂, A₃... A_n і наслідком В будемо записувати так:

Вважається, що ця схема припустима, а висновок є правильнм тоді і тільки тоді, коли кон’юнкція засновків, що сполучена з висновком знаком імплікації є тотожно- істинною формулою (тавтологією) логіки висловлювань: A₁

Треба зауважити, що у правильному висновку між кон’юнкцією засновків і висновком існує відношення логі­чного слідування.

ною, то висновок буде неправильним.

Необхідно мати на увазі:

1. Правильність міркування сама по собі не гарантує істинність висновку. Істинність всіх засновків прави­льного висновку є лише достатньою умовою істинності висновку, але якщо хоча б один із засновків є хибним, то висновок може бути будь-яким:

2. Істинність висновку не означає правильність умо­виводу, оскільки істинність висновку не є ні достат­ньою, ні необхідною умовою правильності умовиводу.

а) Типологія правил висновку

Умовивід аналізується на двох рівнях: синтаксичному і семантичному.

З точки зору синтаксису умовивід являє собою правило висновку. Правилом висновку є норма, що дозволяє із су­джень однієї логічної структури як засновків отримува­ти судження певної логічної структури як висновок.

Кожне правило репрезентує нескінченну множину умо­виводів різноманітних за змістом, але єдиної синтаксичної структури.

Наприклад:

Задамо синтаксис цього міркування:

— логічна структура першого засновку має такий ви­гляд,

Ця логічна структура є правилом висновку, яке регла­ментує найрізноманітніші міркування лише в рамках схе­ми, заданої цим правилом.

В існує відношення логічного слідування.

Враховуючи характеристику правила висновку, наведе­ного вище, можна сказати, що систематичний огляд пра­вил висновку логіки висловлювань сприятиме розгляду всіх можливих міркувань у цій логіці.

Правила висновку логіки висловлювань поділя­ються на:

— основні та

— похідні.

У свою чергу, основні та похідні правила поділя­ються на:

— прямі та

— непрямі.

О с н о в н и м и називаються правила, які змістовно очевидні і дозволяють відрізнити правильно побудовані міркування від неправильно побудованих міркувань.

П о х і д н и м и називаються правила, які виводять­ся із основних і сприяють скороченню процесу висновку.

П р я м и м и називаються правила, які вказують на безпосереднє виведення висновку із засновків.

Н е п р я м и м и називаються правила, які дають можливість стверджувати правомірність деяких виснов­ків на основі визнання правомірності інших висновків.

Систему правил висновку логіки висловлювань можна записати за допомогою такої схеми:

Розгляд правил висновку логіки висловлювань розпоч­немо з основних прямих правил.

Правило введення кон’юнкції (ВК):

ї

Правило усунення кон’юнкції (УК):

Приклад міркування, що відповідає правилу усунення кон’юнкції:

Правило введення диз’юнкції (ВД):

Приклад міркування, що відповідає правилу введення диз’юнкції:

Правила усунення диз’юнкції (УД):

Приклад міркування за правилом усунення диз’юнкції:

Треба враховувати різницю смислів сполучника «або»:

1) сполучно-розділове «або»;

2) суворо розділове «або».

Нехтування цією різницею при вживанні диз’юнкції призводить до логічної помилки. Наприклад,

Якщо приєднати висновок до засновків через імпліка­цію, то у результаті не отримаємо тотожно-істинної фор­мули, а отже, висновок не відповідає визначенню правиль­ного дедуктивного умовиводу.

У тих випадках, коли неможливо вирішити, в якому смислі вживається сполучник «або», треба посилатися на смисл сполучника «або» у сполучно-розділовому розумінні.

Розглянемо другий приклад.

Логічна структура цього міркування має такий вигляд:

Отже, отримуємо

вираз, який на перший погляд еквівалентний виразу а). Але це лише на перший погляд. Насправді тут присутній ще один засновок, який вказує на те, що не існує правила, яке одночасно було б і основним, і похідним (А ∧ В). З цим засновком вираз б) стане тотожно-істинним:

Виходить, наявність засновку А ∧ В свідчить про те, що ми маємо сильну диз’юнкцію. Отже, вираз в) набуде ви­гляду:

Правило усунення імплікації (УІ):

Це правило ще називають відділенням висновку В від засновку А ⊃ В за допомогою засновку А, а іноді назива­ють правилом «ствердження за антецедентом».

Приклад міркування за правилом усунення імплікації:

Якщо поїзд запізнюється, то ми не встигаємо на ав­тобус.

Поїзд запізнюється.

Отже, ми не встигаємо на автобус.

Правило УІ має такі різновиди:

Правило введення еквіваленції (ВЕ):

Приклад міркування за правилом введення еквіваленції:

Правило усунення еквіваленції (УЕ):

Правило введення подвійного заперечення (ВПЗ):

Приклад міркування за правилом введення подвійного заперечення:

Правило усунення подвійного заперечення (УПЗ):

Приклад міркування за правилом усунення подвійного заперечення:

Як уже зазначалося, окрім наведених основних правил висновку логіки висловлювань існують і основні непрямі.

До них відносяться:

а) правило введення імплікації,

б) правило введення заперечення.

Правило введення імплікації (ВІ):

Це правило використовується у тих вивідних процесах, коли для отримання висновку ми звертаємося до припу­щень, які полегшують процедуру виведення. Його можна сформулювати так: «Якщо із засновків П і з припущення А випливає В, то можна стверджувати вивідність із цих засновків А ⊃ В».

Правило введення заперечення (ВЗ):

Визначення цього правила таке: «Якщо із засновків і довільного припущення А випливають два суперечливих висловлювання В і В, то таке припущення повинно бути визнаним як хибне, істинним визнається А».

Зупинимося на розгляді похідних правил висновку ло­гіки висловлювань.

Правило транзитивності імплікації (ТІ):

Приклад міркування за правилом транзитивності імплі­кації:

б) Обгрунтування правил висновку

Для подальшого розгляду правил необхідно прийняти деякі домовленості. Аналізуючи правила, природно вини­кає питання, чи можна перевірити надійність цих правил, їх коректність. На рівні семантики це можна зробити шляхом побудови таблиць істинності, шляхом еквівален- тиних перетворень, методом аналітичних таблиць (про що буде сказано пізніше). На рівні синтаксису така перевірка здійснюється через побудову доведення останнього рядка правила.

Розглянемо на прикладі правила транзитивності імплі­кації його семантичне та синтаксичне обгрунтування (на предмет коректності).

Спочатку зупинимося на семантичному обгрунту­ванні.

Побудова таблиць істинності, еквівалентні перетворення (КНФ) досить громіздкі, тому можна запропонувати такий спосіб.

Відомо, що у правильному висновку між засновками і висновком існує відношеннялогічного слідування, тобто кон’юнкція засновків не буде істинною, а це суперечить нашому припущенню.

Отже, засновки у нашому правилі не можуть бути іс­тинними, а висновок — хибним, а це свідчить, що це пра­вило логічно коректне і гарантує правильність відповідних його структурі змістовних міркувань.

Схематично така перевірка коректності правила висновку зображується таким чином:

З цієї схеми очевидно, що при будь-яких значеннях В наше припущення про логічну некоректність правила від­падає. У такий, можна сказати, досить економний спосіб можна перевірити кожне з правил.

Синтаксичне обгрунтування правила висновку перед­бачає побудову виведення останнього рядка із засновків.

Для цього розгорнемо правило, вставивши між заснов­ками і висновком проміжні ланки, які в правилі опущені.

Доведення здійснюється таким способом:

1. Виписуємо засновки, що входять до правила.

2. Зліва виписуємо кроки доведення.

3. Справа напроти кожного кроку виписуємо його підставу (це може бути домовленість про введення чер­гового припущення, або певне правило). Праву сторону такого запису називають аналізом доведення.

Здійснимо доведення правила ТІ:

Правило заперечення диз’юнкції (ЗД):

Відповідно до цього правила із заперечення диз’юнк­ції слідує кон’юнкція заперечень висловлювань, що її складають.

Наведемо приклад міркування, побудованого за прави­лом ЗД:

Побудуємо доведення цього правила:

Правило заперечення кон’юнкції (ЗК):

Читається правило так: «Із заперечення кон’юнкції слідує диз’юнкція заперечень висловлювань, що склада­ють кон’юнкцію».

Наприклад:

Доведення правила:

Правило «modus tollens», або «від заперечення консеквенту до заперечення антецеденту» (МТ):

Наведемо приклад конкретного міркування, що регла­ментується цим правилом:

id="Picutre 227" class="lazyload" data-src="/files/uch_group88/uch_pgroup293/uch_uch6855/image/image226.jpg">

Правило простої контрапозиції (ПК):

Наведемо приклад міркування, побудованого за прави­лом простої контрапозиції:

Побудуємо доведення цього правила:

(аналогічно доводиться і друге правило ПК).

Правило складної контрапозиції (ПСК):

Наведемо приклад конкретного міркування за правилом складної контрапозиції:

Побудуємо доведення цього правила:

(аналогічно будується доведення правила ІІ).

Правило імпортації (ПІмп):

Наведемо приклад міркування за цим правилом:

Побудуємо доведення цього правила:

Отже, ми розглянули правила висновку логіки вислов­лювань, які в сукупності є множиною можливих конкрет­них міркувань. Також з’ясували, що перевірка коректності правила висновку можлива шляхом побудови таблиці іс­тинності для формули, що представляє висновок та дове­дення останнього рядка правила висновку.

в) Метод аналітичних таблиць

Окрім цих способів перевірки правила висновку (ми на­голошуємо саме на перевірці правила висновку, а не на ви­сновку, саме тому, що будь-який висновок це є по суті вті­лення конкретного правила висновку, тому перевірка коректності висновку зводиться до перевірки коректності правила висновку) існує ще перевірка шляхом застосуван­ня методу аналітичних таблиць.

Основу методу аналітичних таблиць складає зви­чайне визначення таблиць істинності для пропозицій- них зв’язок, а сама аналітична таблиця будується на­впаки. Виходимо із того, що значення істинності усього виразу нам відомо, залишається знайти лише значення іс­тинності для елементарних висловлювань, з яких склада­ється цей вираз.

Іншими словами, таблиці називаються аналітичними тому, що розкладаючи вихідне висловлювання на еле­ментарні висловлювання (на атоми), ми намагаємося знайти набір значень атомів, при яких би вихідне ви­словлювання було хибне.

Визначимо аналітичні правила для логічних зв’язок

Риска (І) у цьому правилі позначає наявність різних альтернатив і означає розгалуження аналітичної таблиці (тобто, при наявності розгалуження вихідний вираз не має прямого наслідку (однієї альтернативи). Отже, кон’юнкція

Розглянемо застосування методу аналітичних таблиць для перевірки коректності висновку у логіці висловлю­вань.

Наприклад, візьмемо складне висловлювання:

Припустимо, що воно хибне. Якщо в результаті встано­влення значення атомів, з яких складається вихідне ви­словлювання, прийдемо до протиріччя, то цим самим буде аргументована коректність висновку, відображеного в цьо­му висловлюванні.

Для побудови аналітичної таблиці необхідно вико­нати такі умови:

1. Нумерацію рядків таблиці розпочинають з 0 (нуля).

2. Наслідки відділяються від припущення горизонта­льною рискою.

3. Наслідки, які отримані із одного з попередніх ви­словлювань, позначають римськими цифрами.

4. Аналітична таблиця складається з гілок. Таблиця вважається замкненою, якщо в ній зустрічається пара висловлювань ТА і FA, а вся аналітична таблиця вва­жається замкненою, коли кожна її гілка замкнена.

ною є і вся аналітична таблиця, тому що в ній також всі гілки замкнені (в даному випадку одна).

Замкненість аналітичної таблиці позначається знаком (+) (у нашому прикладі після 7 рядка). Отже, наведене ви­словлювання тотожно істинне, припущення про його хиб­ність відпадає і можна стверджувати, що дане складне ви­словлювання коректне відносно правил висновку логіки висловлювань.

Розглянемо складніший випадок

Перша гілка замкнена, оскільки в ній наявні рядки 4 і 6 з висловлюваннями FA i TA. Замкненою є і друга гілка з рядками 3 і 6' з висловлюваннями ТВ і FB. Отже, вся аналітична таблиця є замкненою.

Якщо висновок логіки висловлювань неправильний, то при побудові аналітичної таблиці отримаємо хоча б одну незамкнену гілку.

Побудуємо аналітичну таблицю висловлювання:

Аналітична таблиця цього висловлювання має 4 гілки, дві з яких замкнені 1, 4, а дві ні — 2, 3:

Отже, дане висловлювання не є тавтологією, а це озна­чає, що воно має неправильний висновок.

г) Умовиводи логіки висловлювань у традиційній логіці

Окрім розглянутих правил висновку логіки висловлю­вань у традиційній логіці досліджується низка умовиводів логіки суджень на аналізі яких ми зупинимося.

Традиційна логіка розглядає умовиводи логіки вислов­лювань, засновками яких є комбінації категоричного су­дження з умовним чи розділовим судженням, комбінації тільки умовних суджень і комбінації з умовних і розділо­вих суджень. Зокрема, це такі :

1) умовно-категоричні умовиводи;

2) чисто умовні умовиводи;

3) розділово-категоричні умовиводи;

4) умовно-розділові умовиводи.

Охарактеризуємо кожний із цих видів умовиводів.

У м о в н о - к а т е г о р и ч н и м називається умо­вивід, у якому один засновок — умовне судження, а дру­гий засновок і висновок — категоричні судження.

Існує два різновиди умовно-категоричного умовиводу:

— modus ponens і

— modus tollens.

Розглянемо «modus ponens»

У перекладі з латинської мови «modus ponens» означає «від ствердження підстави до ствердження наслідку».

Наприклад:

Мовою логіки висловлювань структуру цього міркуван­ня можна записати у вигляді правила висновку:

Дане правило широко використовується у сучасній ло­гіці. Справа в тому, що умовивід «від ствердження під­стави до ствердження наслідку» є зручним засобом по­шуку доведення для довільної думки. Виявляється, що для того, щоб довести висловлювання q, необхідно знайти ви­словлювання р, яке б не тільки було істинним, а й складе­на із р та q імплікація p ⊃ q також була істинною. Тільки тоді р виступить достатньою підставою для q і у цьому ви­падку q можна визнати істинним.

Наступний правильний різновид умовно-категоричного умовиводу

«Modus tollens»

У перекладі з латинської мови означає «від заперечен­ня наслідку до заперечення підстави».

Наприклад:

250" class="lazyload" data-src="/files/uch_group88/uch_pgroup293/uch_uch6855/image/image249.jpg">

Структуру цього умовиводу можна записати у ви­гляді правила висновку

Щоб відрізнити правильні умовно-категоричні умовиво­ди від неправильних потрібно співставити структуру конк­ретного умовиводу із структурами стверджувального і за- перечувального модусів умовно-категоричних умовиводів:

Даний вираз не співпадає ні з формулою 1, ні з форму­лою 2. Отже, цей умовивід є неправильним.

II. Якщо він студент юридичного факультету, то він вивчає логіку.

-

Ч и с т о у м о в н и м називається умовивід, у якому засновки і висновок є умовними судженнями.

Наприклад:

Логічну структуру цього умовиводу представляє така формула:

У логіці висловлювань ця формула є правилом виснов­ку, яке називається «транзитивністю імплікації»:

У практиці міркувань широко застосовується розділово- категоричний умовивід.

Р о з д і л о в о - к а т е г о р и ч н и м умовиводом називається умовивід, у якому один засновок — розді­лове судження, а другий засновок і висновок — катего­ричні судження.

Наприклад:

Розділово-категоричний силогізм має два правильних різновиди:

— «modus tollendo ponens» і

— «modus ponendo tollens».

«Modus tollendo ponens»

У перекладі з латинської мови означає «заперечуваль- но-стверджуючий модус».

Наприклад,

Очевидно, що тут диз’юнкція береться у з’єднувально- розділовому смислі.

Перевіримо правильність цього умовиводу, побудувавши для виразу, що представляє його логічну структуру, аналі­тичну таблицю:

Аналітична таблиця замкнена, отже даний вираз пред­ставляє логічно коректне правило умовиводу. Перевіримо, чи буде правильним у цьому випадку хід міркування від ствердження до заперечення.

Наприклад:

Логічна структура цього умовиводу така:

Побудуємо аналітичну таблицю для цього випадку:

Аналітична таблиця не замкнена. А це означає, що умо­вивід, логічна структура якого представлена даною форму­лою, є неправильним. Треба мати на увазі, що в заперечу- вально-стверджуючому розділово-категоричному умо­виводі диз’юнкція вживається у з’єднувально-розділовому смислі.

«Modus ponendo tollens»

Другим правильним різновидом розділово-категоричного умовиводу є стверджувально-заперечувальний модус, або латинською мовою «modus ponendo tollens».

Наприклад:

Логічна структура цього умовиводу така:

При побудові розділово-категоричних умовиводів не­обхідно дотримуватися таких правил:

1. У стверджувально-заперечувальному модусі¹ біль­ший засновок має сполучник «або», який вживається у строго розділовому смислі.

2. У більшому засновку повинні бути перераховані усі альтернативи^{[27] [28]. Якщо цього не зробити, то отримаємо хибний засновок, а це означає, що такий умовивід буде не ефективним.}

Наприклад:

Наступним видом у класі умовиводів логіки суджень є умовно-розділові умовиводи.

У м о в н о - р о з д і л о в и м умовиводом назива­ється умовивід, у якому один із засновків є розділовим судженням, а решта умовними судженнями.

Наприклад:

Умовно-розділові умовиводи мають ще одну назву — лематичні. Ця назва походить від грецького слова lemma — припущення. Така назва зумовлена тим, що вона ви­пливає з тієї характеристики умовиводів, що розглядають різні припущення та їх наслідки.

В залежності від кількості альтернатив у розділо­вому засновку лематичні умовиводи поділяють на:

а) дилеми (дві альтернативи);

б) трилеми (три альтернативи);

в) полілеми (чотири і більше альтернатив).

У практиці міркувань найчастіше використовують ди­леми, тому зупинимося на їх аналізі.

За якістю наслідку (заперечувальний або стверджу­вальний) дилеми поділяють на:

— конструктивні та

— деструктивні.

За складністю наслідку дилеми поділяють на:

— прості та

— складні.

К о н с т р у к т и в н о ю називається дилема у ви­сновок якої входять наслідки умовних засновків.

Д е с т р у к т и в н о ю називається дилема, висно­вок якої складається із заперечення підстав умовних засновків.

П р о с т о ю називається дилема, висновком якої є наслідок умовного засновку або заперечення підстави умовного засновку.

С к л а д н о ю називається дилема, висновком якої є диз’юнкція наслідків умовних засновків або заперечення підстав умовних засновків. Наведемо приклади.

Маємо просту конструктивну дилему (ПКД):

Такий вигляд має проста деструктивна дилема (ПДД)

У складній конструктивній дилемі (СКД) висновком є складне диз’юнктивне судження, альтернативами у якому є наслідки умовних засновків:

Отже, складна конструктивна дилема є слабким ствер­дженням яких-небудь суджень (точніше, їх диз’юнкції), а складна деструктивна дилема використовується для слаб­кого їх заперечення. Іншими словами, якщо неможливо прямо довести хибність якого-небудь судження р (тобто, істинність його заперечення р), то можна спробувати до­вести, що істинним є розділове судження, до якого вхо­дить р.

Якщо мати на увазі наведену вище типологію правил висновку логіки висловлювань, то схеми висновку за про­стою та складною конструктивною дилемами нале­жатимуть до похідних прямих правил:

Стосовно схем висновку простої та складної дестру­ктивної дилем, то їх відносять до похідних непрямих правил:

Нарешті, після розгляду умовних, умовно-категорич­них, розділово-категоричних та умовно-розділових умови­водів, логічні структури яких є відповідними правилами висновку, можна повністю відтворити схему типології правил висновку логіки висловлювань.

3. Висновки із категоричних суджень

Розглянемо умовиводи, для аналізу яких недостатньо засобів логіки висловлювань, а необхідно враховувати вну­трішню структуру засновків і висновку.

Отже, йтиметься про силогістику Арістотеля, яка ви­кладена у славнозвісних «Аналітиках».

Висновки із категоричних суджень поділяються на:

— безпосередні та

— опосередковані.

¹ Позначки на схемі: ПКД, СКД, ПДД, СДД відповідно означають «про­ста конструктивна дилема», «складна конструктивна дилема», «проста де­структивна дилема», «складна деструктивна дилема».

а) безпосередні умовиводи

До безпосередніх умовиводів відносять:

а) обернення, перетворення, протиставлення преди­кату^[29];

б) умовиводи за логічним квадратом.

До опосередкованих умовиводів відносять простий категоричний силогізм.

Б е з п о с е р е д н і м умовиводом називається деду­ктивний умовивід, у якому висновок отримують із од­ного засновку.

У практиці міркувань зустрічається той факт, що побу­дова різноманітних умовиводів дозволяє виділити і донести до співрозмовника смислові відтінки інформації, що міс­титься в засновках. Особливо це очевидно у випадку з без­посередніми умовиводами:

Отримання тієї чи іншої інформації з конкретного ви­словлювання обумовлюється безпосередньою мовною ситу­ацією (це може бути урок, бесіда, будь-яке пояснення то­що), дослідницькими мотивами, суто практичними мірку­ваннями. Про це і свідчать наведені приклади.

Обернення

Аналіз безпосередніх умовиводів розпочнемо з обернення.

Якщо взяти категоричне судження, то в ньому безпосе­редньо наявна інформація про відношення S до Р і є при­хованою інформація про відношення Р до S. Саме тому, метою безпосереднього умовиводу шляхом обернення є отримання інформації про відношення Р до S у струк­турі категоричного судження.

Схема цього умовиводу така:

Отже, о б е р н е н н я м називається такий безпосе­редній умовивід, у висновку якого суб’єктом стає пре­дикат засновку, а предикатом — суб’єкт засновку.

У процесі отримання умовиводу шляхом обернення від­бувається перестановка місцями S і Р, але якість засновку зберігається для висновку. У ролі засновків можуть висту­пати судження А, Е, І, О.

Якщо у ролі засновку маємо судження А, то у висно­вку отримуємо судженняI:

Зауважимо, що в безпосередніх умовиводах шляхом обернення, перетворення, протиставлення предиката діють правила розподіленості термінів у категоричних судженнях.

Якщо у ролі засновку наявне судження Е, то у висно­вку також отримуємо судження Е:

Відповідно до загальних правил про розподіленість тер­мінів у засновку і висновку судження О оберненню не підлягає. Наприклад, «Деякі рослини не є деревами» — із цього судження шляхом обернення неможливо отримати істинний висновок.

Обернення суджень Е і І називають оберненням без обмежень. Обернення судження А називають обернен­ням з обмеженням.

Перетворення

Розглянемо умовиводи, які отримують у результаті пе­ретворення засновку.

Схемою такого умовиводу є:

Виявляється, що в категоричному судженні, окрім яв­ного знання про відношення Р до S (про що йшлося вище), міститься неявне знання про відношення S до Р.

Наприклад, якщо всі елементи множини S належать множині Р (у випадку судження А), то ні в якому разу во­ни не можуть належати множині Р (доповненню Р).

В умовиводі шляхом п е р е т в о р е н н я ми отримуємо висновок, де суб’єктом є суб’єкт засновку, а предикатом є поняття, що суперечить предикату засновку. Це стає можливим завдяки зміні якості за­сновку.

Тобто, здійснюється це шляхом введення у висновок двох заперечень: одного перед зв’язкою, а іншого — перед предикатом.

У ролі засновків виступають судження А, І, Е, О. Отже, існує чотири варіанти перетворення.

Судження А перетворюється у судження E.

Наприклад:

Схематично це можна зобразити так:

Отже, якщо всі елементи множини S належать множині Р, то ні в якому разі вони не можуть належати множині не-Р (доповненню Р).

Судження E перетворюється у судження А.

Зауважимо, що вставляючи у судженні Е, як у заснов­ку, заперечення перед зв’язкою, отримуємо подвійне запе­речення. Тому ми їх усуваємо, керуючись принципом: по­двійне заперечення рівносильне твердженню.

Наприклад:

Схема цього умовиводу така:

Наведена схема показує, що усі елементи множини S належать множині не-Р.

Судження І перетворюється у судження О. Наприклад:

Схема цього умовиводу така:

Ця схема показує, що частина S (заштрихована) не на­лежить множині не-Р.

Судження О перетворюється в судження І. Наприклад:

Схематично цей умовивід зображується так:

Схема вказує на те, що частина множини S (заштрихо­вана) належить множині не-Р.

У процесі отримання умовиводу шляхом перетворення необхідно відновити зв’язку, яка часто опускається у за­сновку, і лише потім послідовно ввести заперечення перед зв’язкою та предикатом у висновку.

Протиставлення предикату

Вказуючи на те, що із відношення S до Р можна отри­мати інформацію про відношення S до Р, необхідно вра­ховувати ще один вид інформації, що випливає з цього відношення, тобто йдеться про відношення Р до S.

Таке перетворення категоричного судження (у ролі за­сновку) називається безпосереднім умовиводом через протиставлення предикату. Схема цього умовиводу така:

Протиставленням предикату називається такий без­посередній умовивід, у результаті якого отримують ви­сновок, суб’єктом якого є поняття, що суперечить пре­дикату засновку, а предикатом стає суб’єкт засновку.

Протиставлення предикату розглядається як результат двох послідовних дій: перетворення і обернення.

Наприклад,

Із судження А шляхом протиставлення предикату отримують судження Е.

Наприклад,

Схематично цей умовивід зображується так:

Наведена схема демонструє, що множини не-Р і S не мають жодного спільного елемента.

Із судження Е шляхом протиставлення предикату отримують судження А.

Наприклад:

Схема цього умовиводу така:

Із цієї схеми очевидно, що лише деякі елементи мно­жини не-Р є спільними з елементами множини S.

Із судження О шляхом протиставлення предикату отримують судження І.

Наприклад:

Схематично це зображується так:

Ця схема вказує на те, що лише частина елементів не-Р і S є спільними.

Із судження І шляхом протиславлення предикату висновок отримати неможливо. Це зумовлено тим, що перетворюючи судження І, отримують судження О, яке оберненню не підлягає.

Умовиводи за «логічним квадратом»

Будувати безпосередні умовиводи можна не лише із урахуванням інформації між S і Р, але й виходячи із зміс­ту логічних відношень між категоричними судженнями. Нагадаємо, що таких відношень існує чотири види: під­порядкування, суперечності, противності і підпротив- ності.

Умовиводи, які будуються із урахуванням цих 4-х типів відношень між категоричними судженнями, нази­вають умовиводами за «логічним квадратом».

Наприклад:

Логічна структура цього міркування така:

Побудова умовиводів за «логічним квадратом» підпо­рядкована певним правилам, які:

по-перше, забезпечують правильність умовиводу в кож­ному конкретному випадку;

по-друге, дають систематичний огляд всіх можливих міркувань такого типу.

Правила висновку умовиводів за «логічним квадра­том» поділяються на:

— основні та

— похідні.

Розпочнемо аналіз цих правил з основних.

До основних правил висновку відносяться правила, які регламентують умовиводи, що засновані на:

а) відношенні контрадикторності, або суперечності, і

б) підпорядкування.

І

^,

252

А. Є. Конверський. Логіка

Таким способом можна довести всі похідні правила.

Розглядаючи умовиводи за «логічним квадратом», ми переконалися, що суттєвою особливістю безпосередніх умо­виводів є отримання інформації різноманітних відтінків.

б) Простий категоричний силогізм

Уперше систематичний розгляд теорії висновку дає Арі- стотель в «Аналітиках», вона отримала назву «силогіс­тика».

К а т е г о р и ч н и м с и л о г і з м о м називають дедуктивний умовивід, який складається із двох заснов­ків і висновку, представлених судженнями виду: ASP, ESP, ISP, OSP.

Іншими словами, простий категоричний силогізм — це такий дедуктивний умовивід, в якому висновок здійсню­ється із двох категоричних суджень на основі співвідно­шення дескриптивних термінів.

Наприклад:

Аналізуючи наведений приклад категоричного силогіз­му, стає очевидним, що він за структурою складається із трьох термінів: S, M, P.

Термін, що входить до висновку як його суб’єкт, на­зивається м е н ш и м і позначається буквою S.

Термін, який виконує роль предиката висновку, нази­вається б і л ь ш и м і позначається буквою Р.

Більший і менший терміни називаються к р а й н і м и.

Термін, що входить в обидва засновки, але відсутній у висновку, називається с е р е д н і м і позначається буквою М.

Відповідно до назви термінів засновок, до якого вхо­дить більший термін, називається більшим.

Засновок, до якого входить менший термін, назива­ється меншим.

У нашому прикладі більший засновок 1, а менший —

2. Виходячи із зазначеного, структуру силогізму можна записати у вигляді імплікації, де антецедентом буде кон’юнкція засновків, а консеквентом — висновок:

Якщо розглядати структуру силогізму в залежності від розташування трьох термінів, то можливі чотири схеми:

Ці схеми називають фігурами категоричного силогі­зму, тобто різновидами категоричного силогізму, які визначаються розташуванням середнього терміна.

Різновиди категоричного силогізму розрізняють за фор­мами засновків і висновку. Їх прийнято називати модуса­ми категоричного силогізму.

При побудові категоричного силогізму дотримують­ся певних правил, які поділяються на:

а) загальні правила категоричного силогізму і

б) спеціальні правила фігур.

До загальних правил категоричного силогізму відно­сяться такі:

1. У простому категоричному силогізмі повинно бути лише три терміни.

2. Середній термін повинен бути розподіленим хоча б в одному з засновків.

3. Якщо крайній термін розподілений (або не розподіле­ний) у засновку, то він повинен бути розподіленим (або не розподіленим) у висновку.

4. Якщо один із засновків заперечувальне судження, то і висновок буде заперечувальним судженням.

5. Якщо один із засновків часткове судження, то і ви­сновок буде частковим судженням.

6. Із двох заперечувальних суджень висновок отримати не можливо.

7. Із двох часткових суджень висновок отримати немо­жливо.

Спеціальні правила фігур

Перша фігура:

1. Більший засновок — судження загальне.

2. Менший засновок — судження стверджувальне.

Друга фігура:

1. Більший засновок повинен бути загальним судженням.

2. Один із засновків — заперечувальне судження.

Третя фігура:

1. Менший засновок — стверджувальне судження.

2. Висновок — часткове судження.

Четверта фігура:

1. Якщо більший засновок — стверджувальне судження, то менший повинен бути загальним судженням.

2. Якщо один із засновків — заперечувальне судження, то більший засновок повинен бути загальним судженням.

Побудуємо доведення спеціальних правил.

Спеціальні правила фігур виводяться із загальних, а та­кож із знання про розташування середнього терміна в за­сновках. Прикладом може служити доведення правил першої фігури.

Припустимо, що правила першої фігури неправильні, а правильні їх заперечення:

1. Більший засновок повинен бути частковим су­дженням.

2. Менший — заперечувальним судженням.

Якщо у результаті доведення цього припущення при­йдемо до суперечності, то наше припущення відпаде як хибне, а істинним визнається твердження, що складає пра­вила першої фігури.

Доведення:

— якщо приймаємо наше припущення, то висновком у силогізмі за першою фігурою буде заперечувальне суджен­ня (4 — загальне правило силогізму: скорочено — ЗПС);

— окрім цього, висновок буде частково-заперечуваль- ним судженням OSP (по 5 — ЗСП);

— у заперечувальному судженні Р — розподілений:

— отже, більший термін буде розподілений і у засновку (З — ЗСП);

— оскільки більший і менший засновки заперечуваль- ні, то висновок отримати неможливо (6 — ЗПС).

Таким чином, наше припущення неправильне і воно від­падає. Тоді коректними будуть названі правила першої фі­гури. Таким способом доводять правила решти трьох фігур.

Використовуючи ЗПС і спеціальні правила фігур, для кожної фігури можна вивести усі правильні модуси. У ме­жах кожної фігури можливі 16 комбінацій засновків від чотрирьох видів суджень ASP, ESP, ISP, OSP:

Перше правило виключає повністю комбінації З і 4 ко­лонок. Варіанти 2 і 4 першої колонки суперечать першому правилу фігури.

Варіанти 2 і 4 другої колонки виключаються з розгляду за 6 — ЗПС.

Отже, залишаються комбінації АА, АІ, ЕА, ЕІ, із яких отримують модуси ААА, АІІ, ЕАЕ, ЕІО. Кожний модус має конкретне ім’я, що використовується як певний мне­монічний засіб: Barbara, Celarent, Darii, Ferio^[XXX].

Таким же чином можна вивести правильні модуси ІІ, ІІІ, JV фігур. Із чотрирьох фігур перша вважається найдо­сконалішою. Це зумовлено такими обставинами:

По-перше, тільки ця фігура дає у висновку всі чотири типи категоричних суджень.

По-друге, в першій фігурі частковий випадок підводить­ся під загальне положення.

По-третє, тільки ця фігура дає у висновку висловлю­вання ASP, мовою якого формулюються закони науки.

Зважаючи на це, модуси першої фігури приймаються як основні, а модуси решти трьох фігур як похідні, які можна вивести із основних.

Спочатку обгрунтуємо коректність модусів першої фі­гури, а потім перейдемо до виведення модусів II, III, IV фігур.

Логічна коректність модусів першої фігури випливає із умов істинності суджень ASP, ESP, ISP, OSP.

Візьмемо модус ААА.

Спочатку припустимо, що засновки АМР і ASM — іс­тинні, а висновок — ASP — хибний. Потім, відповідно до умови істинності загальностверджувального судження: якщо АSP — хибне, то у множині S знайдеться хоча б один індивід а, який не належить множині Р. Але за уго­дою, якщо ASM — істинне, то будь-який індивід множи­ни S належить множині М (навіть і а). Однак, одночасна приналежність а до класу М і не приналежність до класу Р виключається в силу угоди про істинність засновку АМР. Тобто, все, що належить М (а М належить і інди­від а), належить і Р. Таким чином, наше припущення про істинність АМР і ASM та хибність висновку ASP приво­дить до суперечності, чим і встановлюється логічна коре­ктність модусу ААА.

Обгрунтуємо модус ЕАЕ.

Знову припускаємо, що засновки ЕМР і ASM — істин­ні, а висновок ЕSP — хибний. Якщо ЕSP — хибне, то за умовою істинності загальнозапечувального судження існує хоча б один індивід а множини S, який належить множині Р. За припущенням висновок ASM — істинний, отже, кожен індивід із S, в тому числі і а, належить М. Але приналежність предмета а множині Р і множині М ви­ключається припущенням про істинність засновку ЕМР. Виходить, що припущення про істинність ЕМР і ASM та хибність ESP спростоване і цим самим визнається логічна коректність модусу ЕАЕ.

Обгрунтуємо коректність третього модусу першої фігури АІІ.

Припустимо, що засновки АМР і ISM — істинні, а ви­сновок ISP — хибний. Відповідно до умов істинності част- ковостверджувального судження, якщо засновок ISM — істинний, то існує, в крайньому разі, один індивід а мно­жини S, який належить і множині М. У той же час за умови хибності висновку ISP не існує жодного індивіда множини S, у тому числі й індивіда а, який би не належав множині Р. Належність а множині М і неналежність а множині Р суперечить припущенню про істинність за­сновку АМР. Адже АМР істинне, якщо всі елементи множини М (в тому числі і а) належать множині Р. Отже, припущення про істинність засновків АМР і ISM та хиб­ність висновку ISP відпадає. Цим самим стверджується логічна коректність модусу АІІ.

Нарешті побудуємо доведення для четвертого моду­су першої фігури ЕІО.

Нехай засновки ЕМР і ISM — істинні, а висновок OSP — хибний. За умови істинності частковостверджувального су­дження ISM істинне, коли, у крайньому разі, існує хоча б один індивід а множини S, який належить М. Висновок OSP хибний (за умов істинності частковозаперечувального судження), коли всі індивіди множини S, в тому числі і а, який належить М, належать Р. Однак, належність індивіда а множині М і множині Р суперечить умовам істинності загальнозаперечувального судження, яким представлений більший засновок і який, згідно з припущенням, є істин­ним. Отже, припущення про істинність засновків ЕМР і ISM та хибність висновку OSP спростовується і цим до­водиться логічна коректність модусу АІО.

Таким чином, використовуючи умови істинності ASP, ESP, ISP та OSP, обгрунтовують логічну коректність мо­дусів першої фігури.

Логічна коректність модусів П, Ш та ІУ фігур вста­новлюється за допомогою модусів першої фігури та від­повідних правил висновку.

Йдеться про такі правила:

1. ASP |= ISP правила висновку, що засновані на від­ношенні

ESP |= OSP підпорядкування.

Зауважимо, що назви модусів (особливо П, Ш, та ІУ фі­гур) виконують не тільки мнемонічну функцію. Початкові букви B, C, D, F вказують на ті модуси першої фігури, які отримують в результаті зведення. Голосні вказують на кількісну і якісну характеристики засновків та виснов­ку конкретного модусу, а приголосні — на спосіб його обгрунтування:

— буква s показує, що судження, яке позначене голо­сною, після якої стоїть ця буква, повинно піддаватися чис­тому оберненню;

— буква p означає, що судження, яке позначене голо­сною, після якої стоїть ця буква, повинне піддаватися обер­ненню з обмеженням;

— буква m вказує на заміну місцями засновків;

— буква c вказує, що даний модус може бути зведеним до модусу першої фігури шляхому непрямого доведення.

Візьмемо модус «Cesare». Буква С вказує на те, що йо­го можна звести до модусу «Celarent». Буква s вимагає при зведенні обернути більший засновок без обмеження:

вказує на необхідність скористатися непрямим доведенням.

Наведені доведення модусів свідчать про те, що зазна­чений вище список правил висновку достатній для обгрун­тування логічної коректності будь-якого модусу II, III та IV фігур.

в) Перевірка коректності силогізму

Розгляд способів обгрунтування спеціальних правил фі­гур простого категоричного силогізму, модусів фігур пере­конує в надійності загальних правил простого категорич­ного силогізму, але у практиці міркування часто виникає потреба перевірки коректності конкретної схеми міркуван­ня шляхом співставлення з відповідною фігурою силогіз­му. Іншими словами, іноді наявна ситуація, коли зовні (завдяки особливостям природної мови) побудова мірку­вання здається логічно бездоганною, висновок істинний, але ми відчуваємо його ненадійність, а то й суперечність звичайним уявленням і твердженням.

Наприклад,

Для того, щоб встановити правильність силогізму необхідно здійснити такі кроки:

а) Знайти засновки і висновок даного силогізму.

Зазначимо, що у процесі обміну інформацією та спілку­вання види міркування не розписуються так як у прикла­дах, що наведені вище. Тому треба мати на увазі, що якщо

у виразі проголошеному або записаному кимось є слова «тому, що», «так, як» тощо, то висновок буде розташо­ваний перед цими словами, а засновки — після вказаних слів. Якщо ж у виразі є слова «отже», «таким чином» тощо, то засновки будуть розташовані перед цими словами, а висновок — після них.

Наприклад, «Мідь електропровідник, тому що усі ме­тали проводять електричний струм, а мідь — метал», «Будь-яка книжка є джерелом інформації, отже підручник з хімії є джерелом інформації».

б) Визначити середній (М), більший (Р) та менший (S) терміни досліджуваного силогізму.

в) Визначити більший та менший засновок.

г) Перевірити дотримання загальних правил силогізму.

д) Втановити фігуру досліджуваного силогізму.

е) Перевірити, чи відповідає даний силогізм правилам тієї фігури, за якою він побудований.

Виходячи із наведеного алгоритму, розглянемо наведені вище приклади.

Приклади І та ІІ побудовані за ІІ-ю фігурою простого категоричного силогізму. Але в них порушено правило цієї фігури, що один із засновків повинен бути заперечуваль- ним судженням. А у прикладі І і ІІ він стверджувальний. Отже, хоча засновки і висновок у цих прикладах істинні судження, але висновок із данних засновків логічно не слідує, не випливає.

Подібна ситуація часто виникає у слідчій практиці, ко­ли відомо, хто вчинив злочин, але потрібно зібрати докази, щоб це довести.

У прикладах ІІІ та IV порушено друге правило І-ї фігури простого категоричного силогізму, що менший засновок повинен бути стверджувальним судженням. А у цих при­кладах менший засновок — заперечувальне судження. Тому при істинних засновках отримані явно хибні судження.

г) Ентимема

У практиці міркування, як правило, ми користуємося силогізмами не у повному, а у скороченому вигляді.

Наприклад:

«Геометрія Евкліда перевіряється на практиці, тому що вона теорія»;

«Крадіжка — злочин, тому що вона суспільно небезпе­чне діяння» тощо.

Силогізм, у якому пропущено один із засновків або висновок називається скороченим силогізмом, або е н - т и м е м о ю.

Термін «ентимема» походить від грецького inthymos, що означає «в думці», «на думці» тощо.

Існує три види ентимеми:

а) Ентимема з пропущеним більшим засновком.

Наприклад, «Земля має природний супутник, тому що вона планета»;

б) Ентимема з пропущеним меншим засновком.

Наприклад, «Земля має природний супутник, тому що усі планети мають природні супутники»;

в) Ентимема з пропущеним висновком.

Наприклад, «Всі планети мають природний супутник, а Земля — планета».

Застосування ентимем у практиці міркування значно підвищує ефективність процесу обміну думками, процесу спілкування, але іноді приводить до значної кількості по­милок у наших міркуваннях. Коли користуються повним силогізмом, помилку легше помітити. Але якщо у силогіз­мі пропускається якась частина, то саме в ній і може кри­тися помилка.

З метою уникнення помилок при користуванні скороче­ними силогізмами треба вміти знайти пропущену частину силогізму і відновити силогізм у повному вигяді. І лише потім звернутися до наведеного вище алгориту перевірки силогізму.

Для того, щоб відновити силогізм у повному вигляді, необхідно здійснити такі кроки:

а) Визначити, що дано в ентимемі: два засновки, або один засновок і висновок;

б) Знайти терміни силогізму в наявних частинах си­логізму;

в) Відновити по знайдених термінах силогізму відсу­тню частину силогізму;

г) Застосувати алгоритм перевірки силогізму до ре­конструйованого силогізму.

Розглянемо вищезазначене на прикладах.

І. «Крадіжка — злочин, тому що вона суспільно небез­печне діяння».

ІІ. «Земля — планета, тому що вона обертається на­вколо Сонця».

Відновимо у повному вигляді силогізм, виходячи із на­явної ентимеми. У ентимемі ІІ маємо висновок (який сто­їть перед словами «тому що») і засновок. Запишемо їх за схемою силогізму:

Виходячи із висновку, визначимо більший та менший терміни силогізму. Відповідно S — «Земля» і Р — «пла­нета», тоді наявний засновок «Земля обертається навко­ло Сонця» — буде меншим. Отже, пропущеним є більший засновок. Він може мати два варіанти структури:

1) М — Р і

2) Р — М.

У зв’язку з цим сформулюємо два силогізми:

Тепер застосуємо алгоритм перевірки силогізму. Якщо розглянути силогізм І, то очевидно, що він побудований за ІІ-ю фігурою простого категоричного силогізму. Але у ньому порушується друге правило цієї фігури. Отже, ви­сновок логічно не слідує із даних засновків. Схема силогі­зму ІІ побудована за І-ю фігурою простого категоричного силогізму, але в ній порушується перше правило цієї фігу­ри («Більший засновок повинен бути загальним суджен­ням»). Отже, висновок логічно не слідує із даних заснов­ків. Якщо ж спробувати утворити загальне судження, то воно виявиться хибним: «Усі небесні тіла, що обертають­ся навколо Сонця — планети». Таким чином, наведена ентимема неправильна.

Але цілком правомірно виникає питання: «Хіба Земля не планета?». Дійсно, Земля є планетою і, у цьому випад­ку, висновок даної ентимеми є істинним судженням. Але ще раз підкреслимо, що цей висновок логічно не випливає із даних засновків. Тому треба знайти ті засновки, із яких з необхідністю буде випливати істинність даного висновку.

Подібні випадки зустрічаються досить часто. На перший погляд, достатньо мати істинний висновок, щоб стверджу­вати правильність умовиводу. Але це не так. Тому що ви­сновок може бути істинним, а його обгрунтування помил­ковим.

д) Силогістика та метод аналітичних таблиць

Окрім наведених способів доведення правильності моду­сів категоричного силогізму застосовують ще й метод ана­літичних таблиць. Особливо цей метод ефективний у зв’язку з перекладом висновків із категоричних висловлю­вань на мову логіки предикатів. Справа в тому, що існує суттєва відмінність арістотелівської силогістики від класи­чної логіки предикатів. Ця відмінність полягає в тому, що класична логіка предикатів припускає такі предикати, об­сяг яких не містить жодного елемента (пуста множина). Силогістика ж не передбачає пустих термінів. Тому не будь-який вираз логіки предикатів, що репрезентує прави­льний висновок силогістики, буде загальнозначущим.

Щоб застосувати метод аналітичних таблиць для перевірки правильності висновків, сформульованих мо­вою логіки предикатів, необхідно додатково до аналі­тичних правил логічних термінів, що використовують­ся у логіці висловлювань, ввести по два аналітичних правила для кожного квантора:

У наведених правилах у ролі змінних фігурують а і в. Вони відрізняються тим, що змінна а є необмеженою змінною, а в — обмеженою.

Ці обставини справляють певний вплив на застосування аналітичних правил для кванторів. Мається на увазі те,

Зробивши загальні зауваження щодо використання ме­тоду аналітичних таблиць, перевіримо коректність виснов­ків із категоричних суджень, перекладених на мову класи­чної логіки предикатів.

Перевіримо правильність безпосереднього умовиводу, заснованого на відношенні підпорядкування. Побудуємо аналітичну таблицю для цього виразу:

Отже, аналітична таблиця не замкнена, а це свідчить про те, що правильний висновок у традиційній логіці не може бути виражений завжди істинним виразом у логі­ці предикатів, що й доводить його некоректність з то­чки зору логіки предикатів.

Застосуємо метод аналітичних таблиць для перевірки логічної коректності модусів категоричного силогізму.

Для прикладу візьмемо модус «Cesare» другої фігури та модус «Fesapo» четвертої фігури:

Зробимо необхідні пояснення. Кроки 1, 2, 3, 4 отримані завдяки застосуванню аналітичних правил до імплікації та кон’юнкції. Правило F∀, застосоване до 2, дало можли­вість у виразі 5 замінити х на в.

При застосуванні правила TV (кроки 9,10) ми знову за­мість х підставляємо в. Це зумовлено тим, що правило TV дає право замість х підставляти будь-яку змінну, тому ми вибираємо ту змінну, яка робить нашу таблицю замкне­ною. Вирази 11—13 отримуємо, застосовуючи аналітичні правила для імплікації та заперечення.

У результаті доведення отримуємо замкнену таблицю. Отже, вихідна формула тотожно-істинна, а модус, який вона представляє, логічно коректний.

Побудуємо в такий самий спосіб аналітичну таблицю для модусу «Fesapo».

Отже, аналітична таблиця для модусу «Fesapo» неза- мкнена, що свідчить про неможливість виразити його завжди істинною формулою логіки предикатів.

Застосовуючи метод аналітичних таблиць, ми можемо перевірити, чи всі висновки силогістики являються логіч­но коректними, чи ні.

4.