Становлення ідей числення висловлювань і логіки відношень

Логічне числення Йоганна Генріха Ламберта

Серед низки творчих послідовників логічного вчення Г. Лейбніца найпочесніше місце, безперечно, посідає І. Ламберт. У логічних працях німецького філософа, математика, фізика й астронома XVIII століття наявна розвинена система логічного числення.

Як філософ І. Ламберт мав яскраво виражений синтетичний склад мислення. Його філософська концепція ґрунтувалася на матеріалістичних передумовах. У своєму листуванні з І. Кантом він наполягав на необхідності доповнити раціоналізм X. Вольфа емпіризмом Д. Локка.

У «Новому органоні» (Лейпциг, 1764 р.) та «Архітектоніці» (Рига, 1771 р.) І. Ламберт здійснив спробу систематичної побудови філософії, яку, користуючись своєрідною термінологією, розділяв на такі чотири частини:

• діанойологія - наука про закони людського розуміння, наближена до психології. Вона вивчає мислення, зокрема специфіку його протікання (актуальне мислення);

• алефіологія - наука про засоби відкриття елементарних понять, а також про закони формування складних понять з елементарних. Так, І. Ламберт є одним із засновників сучасної семіотики як загальної теорії знаків (поза відношенням останніх до об’єктів, які вони позначають).

• семіотика - наука про співвідношення речей та ідей (корелят сучасної логічної семантики як науки про співвідношення знака й позначуваного, формальних систем та їх інтерпретації);

• феноменологія - наука про свідомість як специфічний вид реальності, духовно-емоційного буття, про явища (феномени) свідомості і їх смисли. Водночас це вчення було не тотожне пізнішій суб’єктивістській феноменології Е. Гуссерля або К. Ясперса.

Методологія І. Ламберта є досить змістовною. На особливу увагу заслуговують його ідеї мови науки, яка складається з елементів у вигляді кореневих шарів (Wurzelworte), допустимі комбінації яких мають сприяти формуванню різноманітних понятійних модифікацій.

І. Ламберта, услід за Г. Лейбніцом, уважають одним із засновників логіко-математичних концепцій. Зокрема, він розкрив процедуру розкладання логічних виразів на елементарні складові, здійснив аналіз розділового сполучника «або». Певним недоліком обчислення І. Ламберта є іноді недостатньо обґрунтована екстраполяція математичних методів у галузі формальної логіки. Окрім символічних класів, його логіка включала також знаки співвідношення.

Логічне обчислення І. Ламберта є досить складним для викладу та інтерпретації. Його мова та наявні в ній прийоми легко можуть здатися сучасному читачеві надто штучними та необгрунтованими. Так, разом із позначеннями для змінних і позначеннями для зв’язку І. Ламберт уводить у власне числення числові коефіцієнти, знаки для дробів та інші елементи, які неможливо інтерпретувати в логіці. Водночас результати досліджень І. Ламберта більше наближені до сучасної форми символічної логіки, ніж, наприклад, обчислення Г. Лейбніца.

І. Ламберт розрізняє два види символів:

• символи для логічних класів або понять («Zeichen der Begriffe»);

• символи для позначення логічних операцій («Verbindungskunst der Zeichen»).

Водночас поняття поділяються на три групи:

• відомі поняття (символізуються першими буквами латинського алфавіту: а, Ь, з, d,...);

• невизначені поняття (зображуються серединними буквами того ж алфавіту: ш, п,...);

• невідомі поняття (позначаються останніми буквами латинського алфавіту: х, у, z,...).

Уведення невизначених понять було викликане розглядом разом із прямими логічними операціями зворотних логічних операцій, що відрізняються певною невизначеністю. Розмежування відомих і невідомих понять І. Ламберт здійснив, керуючись аналогічним підрозділом змінних в алгебрі.

Основою обчислення слугують такі чотири операції:

• комбінування («Zusammensetzung»);

• ізоляції («Isolierung»);

• визначення («Bestimmung»);

• абстрагування («Absonderung»).

Зазначені операції вважаються за своїми формальними властивостями аналогічними, хоча й не тотожними, відповідно до арифметичних операцій додавання, віднімання, множення та ділення. У своїх працях І. Ламберт стверджує, що операція комбінування є взаємооберненою відносно операції ізоляції, а операція визначення, відповідно, є взаємооберненою стосовно абстрагування, тобто аналогічно до того, як в арифметичній алгебрі взаємооберненими є операції додавання та віднімання, а також ділення й множення.

Отже, у логічному численні І. Ламберта йдеться про дві прямі (комбінування, визначення) та дві зворотні (ізоляція, абстрагування) операції.

Визначимо комбінування як логічне додавання (І. Ламберт позначає його знаком «+»). Представимо визначення як логічне множення (І. Ламберт позначає його знаком «*», іноді вживаючи його між буквами). Відповідно, операцію ізоляції слід іменувати логічним відніманням (символічно а - Ь), а операцію абстрагування - логічним діленням (символічно а / Ь).

У логіці пропозицій І. Ламберта вираження «а+Ь» становить строгу диз’юнкцію. У численні класів воно характеризує симетричну різницю (об’єднання класів із виключенням їх загальної частини). Формули виду а / Ь є диз’юнктивними пропозиціями, що не вимагають геометричної ілюстрації, адже не виражають собою нічого позитивного. Іншими словами, логік розглядав у диз’юнкції лише випадок альтернатив, що виключають.

Операцію «-» у виразі «а - Ь» він тлумачив як скорочення для словосполучення: «ті а, що відмінні від Ь». І. Ламберт помічає, що а - Ь логічно інтерпретується лише за умови, що Ь не перевершує а.

Операцію логічного ділення він описує як операцію обернену відносно операції логічного множення. Іншими словами, вираз х = а / Ь він розуміє як рівнозначний зі співвідношенням Ь * х = а.

Подібно до того, як в арифметиці вираз а / Ь можна тлумачити як те, що означає певне число, яке, будучи помноженим на Ь, дає а, - у логіці класів І. Ламберта вираження а / Ь означає той клас предметів, перетин якого з Ь утворює клас а.

Детально не вдаватимемося до аналізу труднощів, пов’язаних із трактуванням операції логічного ділення, підкреслимо лише, що, по- перше, операція а / Ь має сенс лише за умови, що а не перевершує Ь; по- друге, цій операції притаманна відома невизначеність.

Цю невизначеність проілюструємо на конкретному прикладі: нехай а = Ь = 0 (знак «0» позначає порожній клас), тоді вираження 0/0 невизначено в тому сенсі, що означає будь-який клас відносно 1 -0 = 0. Разом із записом логічного ділення у формі а / Ь І. Ламберт використовує також його запис у вигляді а, що ділиться на Ь.

Окрім символів, для зазначених вище операцій І. Ламберт використовує також інші знаки співвідношення:

• рівності («=»), що скорочено позначає зв’язку «є», вказуючи на тотожність;

• нерівності («- =»), що символізує вираз «не є» (заперечення в судженні стосується його зв’язки).

Мислитель обґрунтовує булевий закон ідемпотентності X-X = X, який, водночас, не мав у його вченні універсального значення, оскільки його числення, окрім символів класів, передбачали ще й знаки співвідношення.

І. Ламберт вживає також надзвичайно цікаву систему позначень. Вона включає знаки постійних 1 і 0, де 1 інтерпретується як наявність, а 0 як відсутність певної якості. Він записував конституанти одиниці у формі: ABC, ABO, AOC, OBC і так далі, де розміщення знака 0 на відповідному місці означає, що на цьому місці повинна стояти належна (узята в словниковому порядку) буква із символом заперечення. І. Ламберт визначає також число конституант одиниці в кількості 2п, де п - кількість букв, що означають елементарні класи.

Отже, наслідуючи вчення Г. Лейбніца, І. Ламберт обґрунтовує геометричну інтерпретацію силогізму функторів. У межах цієї інтерпретації кожному термінові відповідає відрізок прямої.

Створюючи власну узагальнену теорію силогізму, І. Ламберт усвідомлював, що вона не може претендувати на охоплення всіх видів наукових висновків. Складність застосування формалізації І. Ламберта до аналізу традиційних проблем змістової логіки полягає, зокрема, у тому, що він не розглядав числення висловлювань як окремий самостійний фрагмент своєї теорії.

О. де Моргah - засновник логічної теорії відношень

Хоча витоки обчислення відношень сягають вчення І. Ламберта, проте саме англійського логіка та математика Огастеса де Моргана можна вважати справжнім засновником логічного аналізу відношень. Влучним у цьому контексті є висловлювання американського математика й логіка Ч. Пірса про те, що саме О. де Морган був «батьком логіки відношень».

Наукові переконання О. Де Моргана формувалися під впливом ідей школи «кембриджських символістів», активним членом якої він був. Представники цієї школи займалися вивченням незвичайних числових систем, одну з яких мислитель екстраполював у галузі логіки.

О. де Морган чітко усвідомлював операційний характер символіки алгебри та був твердо переконаний у можливості побудови алгебри, відмінної від загальноприйнятої алгебри відношень.

Однією з передумов становлення символічної логіки в Британії 40- х років XIX століття була та обставина, що найбільш видатні англійські логіки цього періоду (Джоуль Буль, О. де Морган) були математиками, які працювали у сфері операційного числення. Сутність останнього полягала в тому, що символи операцій відділялися від функцій і над ними виконувалися математичні дії, як над числами або над функціями. Наслідком цього було співвідношення між символами операцій, яке переходило в співвідношення між функціями. Символам операцій згодом повертався їх первинний сенс. Така логіка слугувала надійним джерелом для операційного числення британських математиків.

О. де Морган не приділяв філософським питанням логіки особливої уваги. На думку науковця, необхідного зв’язку між іменами та предметами не існує. Справа не в тому, що реальне визначення завжди має своїм предметом річ, а номінальне - лише ім’я. Англійський математик стверджував, що реальне визначення - це таке тлумачення значення слова, якого вистачає для відмежування предмета, що іменується цим словом, від усіх інших предметів.

У методологічному контексті О. де Морган зосереджується на узагальненні Аристотелівської теорії форм висловлювань, вживаючи знак логічного заперечення не лише щодо предиката судження, а й стосовно його суб’єкта.

О. де Моргану належить також ідея трактування заперечення поняття як доповнення до існуючого «універсуму міркування» (аналог сучасного поняття про універсальний клас). Зазначене поняття, що надалі почало відігравати таку важливу роль у логічних системах Дж. Буля та П. Порецького, також було запроваджено О. де Морганом.

Доповнення до цього класу він розглядав як сукупність предметів, відсутніх у цьому класі, але відмежованих разом із останніми межами певного універсального класу, що виділяється (за допомогою нелогічних критеріїв) зазвичай для системи понять певної наукової дисципліни або її окремого фрагмента.

Важливе місце в логічних дослідженнях філософа належить також вивченню виведень із кількісно визначуваних пропозицій, що не вкладаються в межі силогізму. О. де Морган аналізує такі висновки вслід за І. Ламбертом.

Елементарним прикладом цього типу висновків може слугувати такий висновок: 60 % суть Pi, 70 % суть PZ.

Отже, принаймні ЗО % суть одночасно і Pi, і PZ. Констатуючи, що з посилань «велика частина M є Р» і «велика частина M є S» витікає: «деякі S суть Р», О. де Морган доходить висновку про обмеженість сфери дії традиційного правила: «з приватних посилань ніщо не слідує». Конкретизуючи поняття приватного посилання, О. де Морган запроваджує поняття «чисельно визначувані судження» (такі, наприклад, як «27 (чи більше) S належать до числа 50 Р»; «жодне з 27 (чи більше) S не належить до числа 50 Р» тощо). Він розглядає комбінації з таких суджень, встановлює деякі формальні критерії для висновків, що складаються з них. Таким чином, будується логіка оперування з приватними посиланнями.

Вихідним положенням концепції О. де Моргана в контексті реформування класичної логіки був його аналіз проблем трактування зв’язку в судженнях. На думку науковця, зв’язку слід розглядати як носія відношень. Нескінченна безліч останніх не може перешкоджати формальному аналізові типів зв’язок, що виражають їх, для виявлення загальних властивостей зв’язок. Ці властивості є властивостями типу симетричності, транзитивності й інших. їх опис, аналіз видів відношень потребували від О. де Моргана побудови розвиненої символічної мови, що розрізняла об’єкти (позначаються буквами X, У, Z,...) і відношення (позначаються буквами L, М), а також знаки для логічних функторів, які в різних працях О. де Моргана зображуються по-різному.

Мислитель відмовляється визнавати елементарний тип висловлювання таким, що зводиться до Аристотелівського представлення «X є (не є) У», а, навпаки, уважає, що елементарне судження має структуру X.LY. Це означає, що X є предметом мислення, який перебуває відносно L до Y, іншими словами, що XeL від Y.

Алгебра відношень О. де Моргана включала наступні шість основних операцій:

• MN ’ (логічна сума відношень MiN);

• MN (логічне відтворення тих самих відношень);

• п (операція отримання додаткового для N відношення);

• N’1 (операція отримання зворотного відношення або конверсії N);

• M / N (операція породження відносної суми відношення MiN);

• M (N) (операція породження відносного відтворення відношень M і N або «композиції» тих самих стосунків).

Саме О. де Морган був ініціатором застосування логічних числень до обґрунтування теорем теорії ймовірності, випередивши аналогічне прагнення Дж. Буля. Завдяки цьому мислитель хотів продемонструвати придатність власного числення, поняття якого він передусім «перекладає» теоретико-ймовірною мовою. Наприклад, він проводить паралель між поняттями відносного відтворення відношень та умовної ймовірності.

Таким чином, праці О. де Моргана не були належним чином оцінені його сучасниками. Складна та не завжди однакова символіка відлякувала численних читачів, схильних прагматично очікувати від нової теорії негайних практичних застосувань. Основне історичне значення системи науковця зводиться переважно до того, що вона стимулювала розвиток алгебри відношень Ч. Пірса та стимулювала Дж. Буля до створення числення класів, яке в О. де Моргана було представлено явно недостатньо.

1.2.5.