§ 6. Основні закони логіки висловлювань

У сучасній логіці логічний закон — це висловлюван­ня, яке складається лише з логічних констант і змінних, і яке є істинним у будь-якій предметній області. Сучасна логіка досліджує окремі логічні закони як елементи сис­тем таких законів.

Розглянемо деякі закони логіки висловлювань.

ЬЗакштутужностг

Визначення закону: будь-яке висловлювання є тотож­ним по відношенню до самого себе. Це означає, що неза­лежно від кількості вживань висловлювання в деякому міркуванні, це висловлювання не повинно змінювати свого значення.

Закон тотожності можливо сформулювати ще й так: якщо висловлювання є істинним, то воно є істинним. Наприклад, “Якщо трава зелена, то вона зелена”.

Закон тотожності виражає ідею: кожне висловлюван­ня є необхідною і достатньою підставою для самого себе (тобто для своєї власної істинності).

За допомогою мови логіки висловлювань цей закон фіксують так: A^> А (“якщо Я, то Я”).

Інколи закон тотожності виражають за допомогою еквіваленції: Я θ Я (“Я тоді і тільки тоді, коли Я”).

Не треба плутати закон тотожності і принцип одно­значності. Закон тотожності стосується висловлювань і говорить про їх тотожність в деякому міркуванні. Прин­цип однозначності говорить про тотожність імен, про те, що їх не можна підміняти в міркуваннях.

2. Закон суперечності

Визначення закону: два висловлювання, які перебува­ють у відношенні суперечності, не можуть бути одночас­но істинними; принаймні одне з них є хибним.

Цей закон стосується висловлювань, які суперечать одне одному (одне висловлювання є запереченням іншого).

У відношенні суперечності перебувають, наприклад, такі висловлювання:

ⁱⁱN вчинив злочин” і ⁱⁱN не вчинив злочин”;

“На вулиці холодно” і “На вулиці не холодно”.

Однак, суперечність відсутня у твердженні “Листя опало і не опало”, позаяк можуть мати на увазі ситуацію, коли з деяких дерев листя вже опало, а з деяких — ше ні. Твердження “Людина — це і дитина, і старець” також не містить суперечності, бо в ньому виражають думку, що одна і та ж сама людина на початку життя — дитина, а в кінці — старец»

За допомогою понять “істина” і “хибність” закон су­перечності можна сформулювати таким чином: жодне висловлювання не є одночасно і істинним і хибним. Іс­тина і хиба — це дві несумісні характеристики висловлю­вання. Якщо істинне висловлювання відповідає дійс­ності, то хибне — не відповідає. Закон суперечності запе­речує, що одне й те ж саме висловлювання може відповідати дійсності і не відповідати їй.

Сформулюємо закон суперечності за допомогою мови логіки висловлювань:

Цій формулі відповідає, наприклад, висловлювання “Невірно, що дощ іде і шо дощ не іде”.

Визначення закону: два висловлювання, які суперечать одне одному не можуть бути одночасно хибними; з двох висловлювань, в одному з яких стверджують те, що запе­речують в іншому, одне висловлювання обов’г- ново буде істинним.

Сама назва закону виражає його смисл: стан справ є або таким, яким змальовують в деякому висловлюванні, або таким, яким він є згідно із описом висловлювання- заперечення; третій варіант відсутній (“третього не да­но”).

За допомогою мови логіки висловлювань цей закон фіксують таким чином:

Наприклад: “Арістотель народився в місті Стагіри, або він не народився в місті Стагіри”, “Завтра відбудеться морська битва, або завтра не відбудеться морська битва”.

Закон виключеного третього був відомий ще попе­редникам Арістотеля. Однак, саме Арістотель вперше сформулював цей закон: “Не може бути нічого між двома членами суперечності, а стосовно чогось одного не­обхідно що-небудь одне або стверджувати, або заперечу­вати”.

У Арістотеля виникали великі сумніви щодо застосу­вання цього закону стосовно висловлювань про майбутні випадкові події. Дійсно, виходячи з деякого поточного моменту часу наставання деяких із таких подій ще не ви­значено і тому невідомо, чи дійсно вони відбудуться.

Наприклад, висловлювання “Наступного року цього ж самого дня буде йти дощ” не є ні істинним, ні хибним в деякий сьогочасний момент часу. Таким же буде і запе­речення зазначеного висловлювання. Сьогодні важко встановити причини, які зумовлюватимуть появу дощу в наступному році. Але закон виключеного третього стверджує, що або саме висловлювання, або його запере­чення є істинним. Отже, на думку Арістотеля дію цього закону необхідно обмежити лише цариною висловлювань про минуле і теперішнє і не застосовувати його щодо ви­словлювань про майбутнє.

У XX сторіччі міркування Арістотеля спричинили можливість появи принципово нового напрямку в логіці — багатозначної логіки. Біля витоків цього напрямку сто­яв відомий польський логік Ян Лукасевич (1878 — 1956 рр.). Саме він одним із перших розглянув вчення Арістотеля з точки зору сучасної логіки. Не випадковим є те, що найголовніша праця Лукасевича має назву “Арістотелівська силогістика з точки зору сучасної фор­мальної логіки”.

Послідовна критика закону виключеного третього спричинилась також і до формування інтуїціоністської логіки, засновником якої вважають голандського матема­тика і логіка Лейтзена Брауера (1881 — 1966 рр.).

4. Закон подвійного заперечення

Визначення закону: заперечення заперечення (тобто подвійне заперечення) є ствердженням.

Цей закон дозволяє відкидати подвійне заперечення. Наприклад: “Якщо невірно, що Всесвіт не є безкінечним, то він — безкінечний”.

Закон подвійного заперечення був відомий ще за часів античності. Зокрема, давньогрецькі філософи Зенон Елейський (близько 490 — 430 рр. до н. е.) і Горгій (близько 480 — 380 рр. до н. е) формулювали його таким чином: якщо із заперечення деякого висловлювання вип­ливає суперечність, тоді наявне подвійне заперечення вихідного висловлювання, тобто наявне саме це вислов­лювання.

За допомогою мови логіки висловлювань цей закон фіксують так:

(“Якщо невірно, що невірно, що А, тоді А”).

Інший закон логіки, який говорить про можливість не зняття, а введення подвійного заперечення називають зворотнім законом подвійного заперечення: із тверджен­ня випливає його подвійне заперечення.

Наприклад: “Якшо Леся Українка — автор “Лісової пісні”, то невірно, що вона не є автором “Лісової пісні”.

Цей закон можна зафіксувати формулою логіки ви­словлювань:

(“Якщо А, то невірно, що не Л”).

Два закони поєднують в повному законі подвійного заперечення: подвійне заперечення є рівносильним ствердженню. Наприклад: “Планети не є нерухомими тоді і тільки тоді, коли вони рухаються”. Символічно: — A А (“Невірно, що не А, тоді і тільки тоді, коли А”).

5. Закон ідемпотентності

Назва цього закону походить від латинського слова “idempotens”, яке означає “той, що зберігає той же ступінь”.

Визначення закону: повторення деякого висловлюван­ня через “і” або “або” є рівносильним самому вихідному висловлюванню.

Цей закон дозволяє виключити із міркування повто­рення одного і того ж самого висловлювання. Наприклад: “Венера — планета і Венера — планета” є тим же вислов­люванням, що і “Венера — планета”; “Сонце є зіркою або Сонце є зіркою” — це те саме висловлювання, що і “Сонце є зіркою”.

Закон ідемпотентності для кон’юнкції і диз’юнкції фіксують за допомогою мови логіки висловлювань так:

(“А або А” тоді і тільки тоді, коли А).

Закон ідемпотентності дозволяє виключити з логіки показники коефщієнту ступенів. В алгебрі цьому закону відповідають рівняння:

У логіці аналогією математичних операцій множення і додавання є кон’юнкція і диз’юнкція.

6. Закон KQMymamwnocmi

Назва цього закону походить від латинського слова “commutatio”, яке означає “зміна”, “переміна”.

Закон комутативності дозволяє міняти місцями ви­словлювання, які зв’язані логічними сполучниками “кон’юнкція”, “диз’юнкція”, “еквіваленція”.

Цей закон схожий на закон комутативності алгебри для множення і додавання, на підставі яких результат множення не залежить від порядку множників, а резуль­тат додавання — від порядку доданків.

За допомогою логіки висловлювань закон комутатив­ності для диз’юнкції фіксують таким чином:

(“А або В тоді і тільки тоді, коли В або А”).

Наприклад: “Завтра буде сонячна погода або йтиме дощ, якщо і тільки якщо завтра йтиме дош або завтра буде сонячно”.

Закон комутативності для кон’юнкції символічно за­писують так:

Варто звернути увагу на суттєву різницю між викори­станням слів “і” і “або” в природній мові і в логіці. У природній мові за допомогою цих сполучників поєднують висловлювання, які пов’язані за своїм змістом. Значення логічних сполучників “кон’юнкція” і “диз’юнкція” знач­но спрощується. їх вживають, практично не враховуючи чинники часу, або психологічні обставини. Згідно із логічними законами сполучники “і” і “або” комутативні. Однак, сполучник “і” природної мови може бути і не ко­мутативним. Наприклад, два висловлювання: “Вона вийшла заміж і народила дитину”, “Вона народила дити­ну і вийшла заміж” очевидно не є рівносильними, з огля­ду на фіксацію різних життєвих ситуацій.

Дія закону комутативності не розповсюджується на логічний сполучник “імплікація”.

взаємозаміна у міркуваннях заборонена.

Наприклад, висловлювання “Якщо Арістотель був вчителем Олександра Македонського, то він жив у ΓV ст. до н. е.” і “Якщо Арістотель жив у ΓV ст. до н. е., то він був вчителем Олександра Македонського" не є рівносильними.

Цей факт підтверджується відповідними таблицями істинності висловлювань

Проілюструємо наші висновки за допомогою уривку з казки Льюіса Керолла “Аліса в країні Чудес” (Льюіс Ke- ролл — псевдонім англійського математика і логіка Чар­лза Лютвіджа Доджсона;.

“ - Треба завжди говорити те, шо думаєш, — заува­жив Березневий заєць.

— Я так і роблю, — поспішила пояснити Аліса - Принаймні... Принаймні, я думаю те, що кажу.. А це од­не і те ж саме...

— Зовсім не одне й те ж саме, — заперечив Бовван- чик. — Так ти ше бува скажеш, буцім-то “я бачу те, шо їм” і “я їм те, що бачу” — це одне і те ж саме!

— Так ти ще скажеш буцім-то “я маю те, шо люблю” і “те, що я люблю, те маю” — це одне й те ж саме! — підхопив Березневий заєць.

— Так ти ше скажеш, — промовила, не розплющуючи очей, Соня, — буцім-то “я дихаю, поки сплю” і “я сплю,, поки дихаю” — це одне і те ж саме!”

Для правильної заміни підстави і наслідку логіка ви­користовує закон контрапозиції.

7, Закон контрапозиції

Цей закон об’єднує низку логічних законів, які дозво­ляють за допомогою заперечення міняти місцями засно­вок і висновок імплікативного висловлювання.

Закон простої контрапозиції — один з таких законів. Його формулювання: якщо щось одне спричинює щось друге, то заперечення другого спричинює заперечення першого.

Мовою логіки висловлювань:

(“Якщо стан справ такий, що якщо А, то В, то якщо не В, то не А”).

Наприклад: “Якщо вірно, що число, яке ділиться (без остачі) на 6, ділиться (без остачі) і на 3, то вірно, шо чис­ло, яке не ділиться (без остачі) на 3, не ділиться також (без остачі) і на 6”.

Закон простої контрапозиції можна виразити іншою формулою:

(“Якщо вірно, шо, якщо не-А, то не-В, то, якщо В, то Aⁿ).

Наприклад: “Якщо вірно, що рукопис, який не має позитивної оцінки рецензентів, не публікують, то вірно,

шо надрукований рукопис позитивно оцінюють рецен­зенти”.

Наведемо ще декілька варіантів закону простої кон- трапозиції:

(“Якщо стан справ такий, що, якщо А, то не-Д то, якщо В то не-Л”).

Наприклад: “Якщо квадрат не є ромбом, то ромб — не є квадратом”.

(“Якщо стан справ такий, що, якщо не-А то В, то, якщо не-В. то Л”).

Наприклад: “Якщо те, шо не є очевидним є сумнівним, то те, шо не є сумнівним, є очевидним”.

Закон складної контрапозиції представляє формула:

(“Якщо стан справ такий, шо якщо А і В, то С, то якщо А і не-С, то не-Л”).

Наприклад: “Якщо вірно, що монотонна і необмеже­на послідовність є збіжною, то монотонна і розбіжна послідовність є обмеженою”.

8. Закон асоціативності

Назва закону походить від латинського слова “associatio”, що означає “поєднання”.

Закон асоціативності об’єднує низку логічних законів, які дозволяють по-різному комбінувати висловлювання, які об’єднані логічними сполучниками “кон’юнкція”, “диз’юнкція” та ін.

В математиці операції множення і додавання асоціативні. Згадаймо такі рівняння:

Асоціативність також притаманна логічному додаван­ню (диз’юнкції) і логічному множенню (кон’юнкції).

Символічно закони асоціативності для кон’юнкції і диз’юнкції можна виразити так:

На підставі закону асоціативності у формулах, шо кон’юнктивно (або диз’юнктивно) пов’язують більше, ніж два висловлювання, дозволяють випускати дужки.

9. Закон дистрибутивності

Назва закону походить від латинського слова “distributio”, шо означає “розподіл”, “розміщення”.

Закон дистрибутивності об’єднує низку логічних за­конів із схожою структурою. Ці закони дозволяють роз- поділювати один логічний сполучник стосовно іншого.

Закон дистрибутивності кон’юнкції відносно диз’юнкції формулюють за допомогою символіки логіки висловлювань таким чином:

Наприклад: “Сьогодні йде дощ і завтра буде сонячно або післязавтра буде сонячно тоді і лише тоді, коли сьо­годні йде дощ і завтра буде сонячно або сьогодні йде дощ і післязавтра буде сонячно”.

Сформулюємо закон дистрибутивності диз’юнкції відносно кон’юнкції:

Наприклад: “Завтра буде сонячна погода або післязавтра випаде сніг і буде вітер, тоді і лише тоді, коли завтра буде сонячно або післязавтра випаде сніг і завтра буде сонячно або післязавтра буде вітер”.

Zft Закони де Моргана

Закони де Моргана пов’язують заперечення, ко­н’юнкцію і диз’юнкцію. Вони названі іменем шотландсь­кого математика і логіка Огастеса де Моргана (1806 — 1871 pp.).

а) Перший закон:

Заперечення кон’юнкції є еквівалентом диз’юнкції заперечень. Наприклад: “Невірно, що завтра буде холод­но і завтра буде хмарно, тоді і лише тоді, коли завтра не буде холодно або завтра не буде хмарно”.

Символічно цей закон записують так:

(“Невірно, що А і В, тоді і лише тоді, коли невірно, що А або невірно, шо В”).

б) Другий закон:

Заперечення диз’юнкції є еквівалентним кон’юнкції заперечень. Наприклад: “Невірно, що студент знає логіку або історію України, тоді і тільки тоді, коли він не знає ні логіки, ані історії України”.

Символічно цей закон фіксують так:

(“Невірно, що А або В, тоді і тільки тоді, коли невірно, що А і невірно, що Л”).

За допомогою законів де Моргана, використовуючи заперечення, логічний сполучник “кон’юнкція” можна виразити через логічний сполучник “диз’юнкція”, і на­впаки.

Наприклад: “Вірно, шо йде дощ і сніг, тоді і тільки тоді, коли невірно, що дощ відсутній і сніг відсутній”; “Вірно, шо сьогодні зимно або йде дощ, тоді і тільки тоді, коли невірно, що сьогодні не зимно і не йде дощ”.