Приложение 3 Построение политической карты

Политическая карта — это отображение множества депутатов в пространство малой размерности по результатам голосований.

Обычно результат одного голосования для одного депутата пред­ставляется дихотомической величиной, принимающей два значения, соответствующих позициям «за» и «против».

Отметим, что проблема анализа дихотомических данных занима­ет важное место в фундаментальных и прикладных исследованиях в различных областях ¹), а исследование результатов поименных голосо­ваний — одно из распространенных приложений.

Собственно, отображение множества законодателей в пространство малой размерности — основная задача, решаемая в рамках такого анализа. Решение задачи базируется на моделях, описывающих порож­дение дихотомических данных. Наиболее важные из них — модели Кумбса [81], прежде всего компенсаторная модель. Общий вид мо­делей (см., например, [79]) — пространственная модель с функцией полезности. В данной модели голосование определяется двумя точками в пространстве, которые соответствуют позициям «за» и «против». Функция полезности — убывающая функция от расстояния в дан­ном пространстве. Предполагается, что вероятность проголосовать «за» в некотором голосовании зависит от разности полезностей позиций «за» и «против» для законодателя, заданного точкой в пространстве позиций.

В современных исследованиях, как правило, рассматривается квад­ратичная функция полезности ^[23][24]) видаИз методов, ис­

пользующих данную модель, можно выделить линейный факторный анализ [99], оптимизацию функции правдоподобия [127], байесовский подход [79], непараметрический подход 11511.

Пусть имеется множество _. _ из ЛГ депутатов и мно­жествоиз М голосований.

представляются в виде дихотомической матрицы:

Здесь e,j = 1, если депутат а, в голосовании Vjпроголосовал «за», и О — если проголосовал «против». Очевидно, что каждому голосованию

соответствует столбец матрицы Е — двоичный вектор длины N.Пусть Пдг множество всех двоичных векторов длины N.Тогда

— некоторое голосование из— позиция депутата а, в

голосовании Vj.

Пусть — евклидово пространство размерности г. В простран­ственной модели каждое голосование характеризуется двумя точками, соответствующими позициям «за» и «против». При квадратичной функ­ции полезности разность значений полезностей точек «за» и «против» для депутата α_iпредставляется линейной функцией от его позиции х^ (см., напримео 1791). Таким обцазом. голосованию соответствует вектор параметровразмерности г +1, вероятность

проголосовать «за» для позиции депутата х^ и голосования, заданного набором параметров θ,определяется по формуле:

где— скалярное произведение, a F = F(и) — функция распре­деления (стандартного нормального, логистического или равномерного [99]). Отметим, что данную формулу можно представить в ином виде, более удобном для интерпретации:

I

— вероятность проголосовать «за» для депутата a_iв голосовании Vj. В предположении, что законодатели голосуют независимо, вероятность правдоподобия имеет вид

Таким образом, задача позиционирования состоит в поиске пары которая максимизирует функционал (П3.5).

Причина подобных проблем в том, функционал (П3.5) не использует топологию пространства

Действительно, вероятность проголосовать «за» в модели (ПЗ.З) и (ПЗ.За) определяется для конкретного голосования и конкретного де­путата. Однако взаимное расположение точек-законодателей на самом деле отражает частоту совпадений их позиций в процессе голосований. Отметим, что частота совпадений позиций реализуется через частоту соответствующих коалиций ¹). Поэтому, решение проблемы состоит в том, чтобы каждому голосованию υjпоставить в соответствие вероят­ность того, что данное голосованиеможет произойти в пространстве при позициях законодателейДалее формулируется подход,

обеспечивающий такое решение.

*) Например, если депутат А ближе к депутату В, чем к депутату С, то коалиция А и В против С должна встречаться с более высокой частотой, чем коалиция А и С против В.

странстве SR^r, характеризующие голосования υι,...,υ_m,то позицию отдельного депутата можно строить как оценку, зависящую только от этих направлений и результатов голосования данного депутата.

Ниже описан алгоритм построения политической карты, предло­женный в [43] и отвечающий этим требованиям. Данный алгоритм построен с учетом специфики позиций «воздержался» и «не голосовал», позиции «за» соответствует 1, позиции «против» соответствует -1. Алгоритм включает три этапа: поиск факторов размежевания, оценку параметров голосований и расчет рейтингов законодателей.

I. Выявление факторов политического размежевания. Пусть Е — оцифрованная матрица голосований, D — матрица различий между строками (депутатами):

Процедура выявления факторов политического размежевания состо­ит в построении по матрице различий в пространстве малой размер­ности центрированной конфигурации точек, сохраняющей структуру матрицы D с точностью до упорядочения расстояний, причем коорди­натные оси должны совпадать с главными компонентами данной кон­фигурации. В этом случае координатные оси соответствуют факторам политического размежевания.

^[1]) Сокращенно мнш.