6.3. Уравнение бегущей волны. Фазовая скорость. Волновое уравнение

Для вывода уравнения бегущей волны, представляющего собой зависимость смещения колеблющейся частицы от координат и времени, рассмотрим плоскую волну. Предположим, что колебания носят гармонический характер, а ось x совпадает с направлением распространения волны (см.

На рис. 6.1 рассмотрим некоторую частицу среды В, находящуюся от источника колебаний О на расстоянии х. Если колебания точек, лежащих в плоскости х = 0, описывается функцией x(0,t) = A cos wt, то частица среды В колеблется по тому же закону, но ее колебания будут отставать по времени от колебаний источника на t, так как для прохождения волной расстояния х требуется время t = x/v, где v – скорость распространения волны. Это так называемое уравнение запаздывания. Тогда уравнение колебания частиц, лежащих в плоскости х, имеет вид

x(x,t) = A cos [w (t – x/v)], (6.6)

откуда следует, что x(x,t) является не только периодической функцией времени, но и периодической функцией координаты х. Уравнение (6.6) есть уравнение бегущей волны. Если плоская волна распространяется в противоположном направлении, то

x(x,t) = A cos [w (t + x/v)].

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид

x(x,t) = A cos [w (t – x/v)+ j₀], (6.7)

где А = const – амплитуда волны; w – циклическая частота волны; j₀ – начальная фаза колебаний, определяемая в общем случае выбором начала отсчета х и t; [w (t – x/v)+ j₀] – фаза плоской волны. Для характеристики волн используется волновое число

, (6.8)

которое характеризует число волн, укладывающихся на отрезке 2p радиан. Учитывая (6.8), уравнению (6.7) можно придать вид

x(x, t) = A cos (wt – kx + j₀), (6.9)

где (wt – kx + j₀) – фаза распространяющейся волны.

Рассмотрим точку пространства такую, что для нее фаза волны постоянна, т.е.

w(t – x/v)+j₀ = const . (6.10)

Продифференцировав выражение (6.10) и сократив его на w, получим dt – dx/v = 0, откуда

. (6.11)

Следовательно, скорость v распространения волны в уравнении (6.11) есть не что иное, как скорость перемещения фазы волны, ее называют фазовой скоростью.

Повторяя ход рассуждений для плоской волны, можно доказать, что уравнение сферической волны, волновые поверхности которой имеют вид концентрических сфер, записывается как

x(r, t) = cos (wt – kr + j₀) , (6.12)

где r – расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды. В случае сферической волны даже в среде, не поглощающей энергию, амплитуда колебаний не остается постоянной, а убывает с расстоянием по закону 1/r, поскольку энергия волновой поверхности распространяется по все большей площади (S = 4pr²).

Если фазовая скорость волн зависит от их частоты, то это явление называется дисперсией волн, а среда, в которой наблюдается дисперсия волн, - диспергирующей средой.

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением – дифференциальным уравнением в частных производных:

(6.13)

или

, (6.14)

где v – фазовая скорость; - оператор Лапласа. Решением уравнения (6.14) является уравнение любой волны. Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид

. (6.15)