§ 2.2. УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА, ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЙ НАПОРЫ, РАЗВИВАЕМЫЕ РАБОЧИМ КОЛЕСОМ

Напор, развиваемый рабочим колесом центробежной машины, зависит от скорости потока, проходящего через рабочее колесо, и от размеров его. Основная задача теории центробежных машин состоит в установлении этой зависимости.

Кинематическая структура потока во вращающихся криволинейных каналах весьма сложна, и решение указанной задачи в рамках настоящего курса требует введения некоторых условий, упрощающих решение. Полученный таким путем результат может быть скорректирован введением опытных коэффициентов.

Введем следующие предположения: 1) поток имеет струйчатую структуру, т. е. состоит из множества струй, повторяющих геометрическую форму лопасти; 2) имеет место осевая симметрия потока, т. е. все струи, составляющие поток, совершенно одинаковы геометрически и кинематически; 3) поток является плоским, т. е. градиент ско­рости вдоль оси, параллельной геометрической оси машины, отсутствует.

Первые два предположения можно полагать осуществимыми только при бесконечно большом количестве рабочих лопастей при условии, что лопасти не имеют толщины и, следовательно, не уменьшают проходное сечение межлопастных каналов. Поэтому в последующем изложении параметры машины, вычисляемые при указанных предпо­ложениях, обозначаются индексом ∞ и называются параметрами при бесконечном количестве лопастей. Применим к потоку, проходящему через колесо центробежной машины, уравнение моментов количества движения: импульс момента внешних сил, действующих на массу, состоящую из любых материальных частиц, равен изменению момента количества движения этой массы.

Пусть через колесо машины проходит расход Qжидкости или газа с постоянной плотностью ρ;моменты количеств движения, отнесенные к 1 с, составят ρQc₁l₁на входе и ρQc₂l₂на выходе из колеса. Здесь ρQ- массовый расход через колесо; e₁и с₂ - абсолютные средние скорости потока на входе и выходе межлопастных каналов; l₁и l₂- плечи скоростей e₁и с₂ (рис.

Если обозначить M_m∞теоретический момент, передаваемый потоку с вала (в предположении бесконечного количества лопастей и при отсутствии потерь в процессе

15

преобразования механической энергии в гидравлическую), то уравнение моментов количеств движения для времени ∆t,с, будет иметь вид

Момент, подводимый от двигателя к валу машины, больше M_m∞вследствие механического трения в подшипниках и уплотнениях вала, наличия объемных потерь и трения нерабочих поверхностей колес о жидкость (газ).

Введем в уравнение (2.2) конструктивные радиусы R₁и R₂: l₁ = R₁cosα₁; l₂ = R₂cosα₂, тогда

Здесь α₁,и α₂- углы между абсолютными и переносными скоростями на входе и выходе.

Мощность, передаваемая потоку в межлопастных кяняпях

Теоретическая мощность при бесконечном количестве лопастей может быть вычислена и как произведение массы, проходящей через рабочее колесо в секунду, на соответствующую удельную работу:

Из сопоставления (2.5) и (2.6) следует

Удельная работа связана с напором равенством (1.6), из которого с учетом (2.7) следует

Теоретическое давление p_T¥получается из (2.8) и известного соотношения гидромеханики p = γH, где γ = pg- удельный вес среды,

Уравнения (2.4), (2.5) и (2.8) - основные уравнения центробежной машины. Уравнение (2.8) было получено великим математиком Леонардом Эйлером в 1754 г.

При использовании основных уравнений скорости c_1uи c_2uпо окружностям радиусов R₁и R₂принимаются постоянными, так же как и прочие составляющие параллелограммов скоростей на входе и выходе. В действительности это не так, потому что лопасти, развивая силу взаимодействия с потоком, должны по теореме Жуковского о подъемной силе крыла иметь положительное значение циркуляции, что имеет место только при разных значениях относительной скорости на выпуклой (рабочей) и вогнутой (нерабочей) поверхностях лопастей. Таким образом, относительная скорость в межлопастных каналах должна изменяться от наибольшего значения на вогнутой стороне лопасти до наименьшего значения на выпуклой, а не оставаться постоянной.

В изложенном заключается парадоксальность рассмотренной струйной теории центробежной машины.

Из параллелограммов на входе и выходе следует

Определив отсюда произведения u₁c_1uи u₂c_2uи внеся полученные выражения в (2.8), получим уравнение:

(2.10)

Первый член этого уравнения - напор, обусловленный работой центробежной силы жидкости (газа).

Члены уравнения (2.10) (w²₁- w²₂)/ 2gи (c²₂- c²₁)/ 2gвыражают, очевидно,

прирост напора вследствие преобразования кинетических энергий относительного и абсолютного движений в межлопастных каналах.

Скоростной напор, создаваемый лопастями рабочего колеса, при принятых ранее

допущениях равен

потому что абсолютная скорость потока повышается колесом от c₁до с₂. Поэтому теоретический статический напор составит

Из последнего равенства следует, что повышение статического напора и давления лопастным колесом центробежной машины происходит за счет работы центробежных сил и понижения кинетической энергии относительного движения.

Если выполнить межлопастные каналы так, что их сечение по всей длине будет

постоянно, то w₁ = w₂и теоретическое статическое давление, развиваемое таким колесом,

Тангенциальная составляющая абсолютной скорости c_1uхарактеризует закрученность потока перед входом в межлопастные каналы. Удельная работа, затрачиваемая на закручивание, численно равна u₁c_1u,Дж/кг; она передается жидкости и суммируется с работой, передаваемой потоку рабочими лопастями. Поэтому в соответствии с (2.7) удельная теоретическая энергия потока на выходе из рабочего колеса

Следовательно, при определении теоретических параметров машин, не имеющих на входе специальных устройств, закручивающих поток, основные уравнения представляются в следующем виде:

Равенства (2.15) обычно называют основными уравнениями центробежной машины с радиальным входом (при c_1u = 0 абсолютная скорость радиальна).

Из треугольника скоростей на входе при c_1u = 0следует c^ = w²₁- u²₁; поэтому уравнения (2.10) - (2.12) дают следующие, характерные для машин с радиальным входом

Действительный напор, развиваемый колесом, меньше теоретического при бесконечном количестве лопастей, H