7.15. Уравнение Бернулли

Прежде чем рассмотреть уравнение Бернулли, введем несколько определений и понятий.

Воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения, называется идеальной.

Линиями тока называются такие линии касательные, к которым совпадают с вектором скорости жидкости в соответствующих точках пространства.

Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока.

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока, ограниченную сечениями S₁ и S₂ по которой слева направо течет жидкость (рис. 7.18). Пусть в месте сечения S₁ скорость течения равна v_{1 ,} давление р₁ и высота, на которой это сечение расположено, h₁. Аналогично, в месте сечения S₂ скорость течения v₂, давление р₂ и высота сечения h₂.

За малый промежуток времени Dt жидкость перемещается от сечений S₁ и S₂ к сечениям и .

Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии Е₂ – Е₁ идеальной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемещению массы m жидкости:

Е₂ – Е₁ = А , (7.54)

где Е₁ и Е₂ – полные энергии жидкости массой m в местах сечений S₁ и S₂ соответственно.

С другой стороны, А – это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечениями S₁ и S₂, за рассматриваемый малый промежуток времени Dt. Для перенесения массы m от S₁ до жидкость должна переместиться на расстояние l₁ = v₁Dt и от S₂ до - на расстояние l₂ = v₂Dt. Отметим, что l₁ и l₂ настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенным на рис.

А = F₁ l₁ + F₂ l₂ , (7.55)

где F₁ = p₁S₁ и F₂ = - p₂S₂ (отрицательна, так как направлена в сторону, противоположную течению жидкости, см. рис. 7.18).

Полные энергии Е₁ и Е₂ складываются из кинетической и потенциальной энергий массы m жидкости:

, (7.56)

. (7.57)

Подставляя (7.56) и (7.57) в (7.54) и приравнивая (7.54) и (7.55), получим

+ р₁S₁v₁Dt = + р₂S₂v₂Dt (7.58)

Объем несжимаемой жидкости остается постоянным, т.е. DV = S₁v₁Dt = S₂v₂Dt.

Разделив (7.58) на DV, получим

,

где r - плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то можем записать

. (7.59)

Выражение (7.59) называется уравнением Бернулли, и оно является выражением закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости.

Уравнение Бернулли хорошо выполняется и для реальных жидкостей, внутреннее трение которых не очень велико.

Величина р в формуле (7.59) называется статическим давлением (давление жидкости на поверхности обтекаемого ею тела), - динамическим давлением, rgh – гидростатическим давлением.

Для горизонтальной трубки тока (h₁ = h₂) выражение (7.59) принимает вид

, (7.60)

где называется полным давлением.