Синтетический критерий Гурвица

Синтетический критерий Гурвица оптимальности чистых стратегий

Синтетический критерий Гурвица с выигрыш-показателем α∈ [0, 1], показателями оптимизма относительно выигрышей λ ∈ [0, 1] и относительно

рисков σ∈[0, 1] предлагает линейно-комбинированный подход к выбору стратегий.

С содержательной точки он представляет собой выпуклую комбинацию критерия Гурвица относительно выигрышей и относительно рисков. Для его определения введем в рассмотрение выигрыш-показатель α ∈ [0, 1] и риск- показатель (1 - а) степени предпочтения, отдаваемого игроком Aсоответственно выигрышам и игровым рискам.

Как уже было сказано выше, данный критерий позволяет лицу принимающему решение подходить к анализу имеющихся данных более взвешенно, что в свою очередь приводит к выбору оптимального со всех позиций решения в рамках применяемого критерия.

Выбор игроком Aзначения выигрыш-показателя а из отрезка [0, 1] субъективен и зависит от психологических особенностей игрока A, определяющих его отношение к выигрышам и рискам.

При а = 0 и, следовательно, 1 -а = 1, игрок Aпри выборе стратегии абстрагируется от выигрышей, сконцентрировав свое внимание только на рисках. И, наоборот, при а = 1 игрок Aво главу угла ставит выигрыши, абстрагируясь от рисков.

Синтетический критерий Гурвицаопределим следующими

составляющими.

Эффективность стратегии-критерию

определяется-показателем:

Из чего видно, что Hur^pr(α,λ,σ)-показатель эффективности стратегии A_i является линейной функцией аргумента а с угловым коэффициентом [Hur_i^p (λ) + Hur_i (σ)] и, следовательно, ее графиком служит прямолинейный отрезок в полосе 0 ≤ а ≤ 1, наклон которого определяется знаком углового коэффициента.

Hur^pr(α,λ,σ)-ценой игры в чистых стратегиях называется наибольший Hur^pr (α,λ,σ)- показатель эффективности:

Стратегиябудетоптимальной во

множестве чистых стратегий, если ее- показатель эффективности

совпадает с- ценой игры в чистых стратегиях:

Так как множество чистых стратегий, конечно, то будет иметься, хотя бы одна, чистая стратегия с наибольшим- показателем эффективности,

другими словами в любой игре с природой есть стратегия, оптимальная во множестве чистых стратегий по синтетическому критерию Гурвица.

Множество стратегий,- оптимальных во множестве чистых

стратегий, обозначается как

При а = 0 из (2.27) получаем:т.е. синтетический

критерий Гурвица превращается в критерий, который противоположен критерию Гурвица относительно рисков с показателем оптимизма σ, а также не зависит от показателя оптимизма λ.

При α = 1 из (2.27) будем иметь Hur_i^pr (1,λ,σ) = Hur_i^p (λ), т.е.

На основании приведенных выше утверждений, а также приведенных ниже определений эквивалентных и сравнимых критериев была сформулирована теоремы об эквивалентности и несравнимости синтетического критерия Гурвица с критериями Гурвица относительно выигрышей и рисков.

Итак, два критерия K₁и K₂можно назвать эквивалентными, если в рамках любой игры множества оптимальных стратегий этих критериев совпадают: ($C )O(K₁) = (gC )O(K2)

Два критерия K₁и K₂можно назвать сравнимыми, если в рамках любой игры множество оптимальных стратегий по первому из критериев является подмножеством множества оптимальных стратегий второго: (S^c)^O(K1)⊂(S^c)^o(K2), или если в любой игре множество оптимальных стратегий второго из них является подмножеством множества оптимальных стратегий первого: (sc)O(K2) ⊂(sc)O(k₁)

Также важно заметить, что эквивалентные критерии всегда сравнимы, обратное не верно.

Два критерия K₁и K₂называются несравнимыми, если найдется игра, в которой множество оптимальных стратегий каждого из них не является подмножеством множества оптимальных стратегий другого: (S^c)^O(K1)⊄(S^c)^o(k2) и (S^c )^O(k2⁾⊄(S^c )^O(k∖

Критерии, которые зависят от некоторых параметров, могут быть эквивалентными при частных значениях этих параметров, но не быть сравнимыми в общем случае.

Теорема 1. Синтетический критерий Гурвица Hur^pr (α,λ,σ) при выигрыш- показателе а = 0 эквивалентен критерию Гурвица относительно рисков Hur^r (σ).

Доказательство. Пусть есть стратегия A_kоптимальная во множестве S^c чистых стратегий по критерию Гурвица относительно рисков с показателем оптимизма σ ∈ [0, 1]:

В соответствии с определениями (2.22) и (2.23) это означает, что

Тогда, в силу (2.27), (2.30), (2.25) и (2.28),

А это по определению (2.29) означает оптимальность стратегии A_kво множестве чистых стратегий по синтетическому критерию Гурвица при а = 0:

Итак, мы доказали справедливость импликации (2.30) ⇒(2.31), которая означает справедливость включения:

Теперь докажем включение, обратное включению (2.33). Пусть справедлива принадлежность (2.31). Тогда на основании (2.27), (2.31), (2.28) и (2.29) будем иметь:

Полученное равенство по определению (2.26) означает справедливость принадлежности (2.30).

Таким образом, доказана импликация (2.31) ⇒(2.30), которая говорит о справедливости включения:

Включения (2.32) и (2.33) означают справедливость равенства

которое доказывает теорему ■

Также в силу приведенных выше определений несравнимых критериев была сформулирована теорема о несравнимости синтетического критерия ни с критерием Гурвица относительно выигрышей ни с критерием Гурвица относительно и рисков

Теорема 2.

Данная теорема была доказана автором в [42], в частных значениях, тем самым подтвердив несравнимость данных критериев в общем случае.

В процессе анализа синтетического критерия Гурвица, а также изучения его взаимосвязей с критериями Гурвица относительно выигрышей и относительно

рисков, встает вопрос оценки цены игры в чистых стратегиях по синтетическому критерию Гурвица через цены игры в чистых стратегиях по критериям Гурвица относительно выигрышей и относительно рисков.

Итак, цену игры в чистых стратегиях по синтетическому критерию Гурвица можно оценить через цены игры в чистых стратегиях по критериям Гурвица относительно выигрышей и рисков. Используя равенства (2.28), (2.27), (2.12) и (2.13), будем иметь:

Разумеется, все вышеизложенное также вызывает вопрос о необходимых и достаточных условиях, при которых неравенство (2.34) превращается в равенство если 0