Визначення логічних термінів

Таким чином, розгляд групи семантичних категорій, яку називають дескриптивними термінами, показує, що вони фіксують головні типи мисленнєвих структур, із яких будується процес міркування.

Самі ж логічні зв’язки, відношення, що мають місце у процесі міркування, представлені другою групою семанти­чних категорій — логічними термінами.

До л о г і ч н и х термінів відносять відношення^[X] між дескриптивними термінами усередині висловлю­вання, відношення між висловлюваннями, кількісні ха­рактеристики предметів думки у простих висловлю­ваннях, описові вирази предметів думки у простих ви­словлюваннях.

У природній мові відношення між термінами у простому висловлюванні, відношення між простими висловлюван­нями у складному висловлюванні виражають, відповідно, словами «є» («суть»), «і», «або», «якщо, то», «ні», «як­що, і тільки якщо, то». Відношення, зафіксовані цими словами, називають л о г і ч н и м и зв’язками.

Кількісні характеристики предмета думки у простому висловлюванні виражають словами «будь-які» «всі», «де­які» і називають кванторами («всі» — квантор загаль­ності, «деякі» — квантор існування).

Описові вирази предмета думки у простому висловлю­ванні представлені словами «той», «який», «такий, що». Це — оператори визначених і невизначених дескрипцій.

Розглянемо стисло логічні зв’язки. До характеристик кванторів і операторів визначеної та невизначеної дескри­пцій звернемося пізніше.

Серед групи логічних зв’язок виділяють зв’язку «є» і так звані пропозиційні зв’язки «і», «або», «якщо, то», «ні», «якщо і тільки якщо, то».

Зв’язка «є» (або множинна форма «суть»), як уже за­значалося, фіксує логічні відношення між дескриптивними термінами у простому висловлюванні. Вона констатує на­явність певної ознаки у суб’єкта висловлювання. А оскіль­ки ознаки бувають двох видів (властивість або відношен­ня), то зв’язка «є» вказує на наявність у предмета думки певної властивості, або наявність між предметами думки певного відношення.

1. Варшава є столичним містом..

2. Сократ є вчителем Платона.

У першому висловлюванні зв’язка «є» приписує власти­вість предмета думки «столичне місто», у другому — від­ношення, яке притаманне Сократу і Платону.

Залежно від того, що констатує «є» у висловлюванні, їх поділяють на:

— атрибутивні (висловлювання про властивості) і

— релятивні (висловлювання про відношення).

Щоб у даному випадку не виникло плутанини стосовно зв’язки «є» (тобто, що зв’язка «є» виражає відношення між S і Р, і тут же, що зв’язка «є» приписує відношення предмета думки висловлювання), то звернемо увагу на та­ку обставину.

Виходячи з того, що зв’язка «є» фіксує відношення між S і Р, ці відношення можуть бути двох видів: або відно­шенням належності, або відношенням неналежності.

Відношення належності — це відношення простору, часу, величини, сили, причинності тощо. Наприклад, у висловлюванні «Логіка є філософською наукою» маємо від­ношення належності, а у висловлюванні «Логіка виникла раніше кібернетики» — маємо відношення часу. За логіч­ним характером ці висловлювання різні. У першому конс­татується зв’язок між предметом і такою його ознакою, як властивість, а в другому — зв’язок між предметами через таку ознаку, як часове відношення.

Відношення належності має такі різновиди:

а) належність властивості предмета («6 є парним числом»);

б) належність певного предмета до класу предметів («Ньютон є видатним фізиком»);

в) належність одного класу предметів до іншого («Трикутник є геометричною фігурою»).

Отже, розуміння зв’язки «є» як відношення належності чи неналежності дає єдиний критерій логічного аналізу простих висловлювань, на якому грунтується логіка пре­дикатів — один із розділів сучасної формальної логіки.

На відміну від зв’язки «є», слова природної мови «ні», «і», «або», «якщо, то», «якщо і тільки якщо, то» скла­дають групу логічних термінів, які фіксують логічні відношення не між S і Р, а між висловлюваннями.

Слова «і», «або», «якщо, то» і подібні їм прийнято на­зивати граматичними сполучниками.

Але ці ж слова є носіями і логічних сполучників. На від­міну від граматичних сполучників логічні сполучники фік­сують зв’язки між висловлюваннями, а не між реченнями.

Сполучаючи висловлювання за допомогою логічних сполучників, ми враховуємо лише логічні значення (іс­тинність, хибність) простих висловлювань і відволіка­ємося від змісту, смислу простих висловлювань. При утворенні складних висловлювань нас цікавить залеж­ність істинності чи хибності складного висловлювання від істинності чи хибності простих висловлювань, що його складають.

Наприклад, візьмемо висловлювання «Квадрат є гео­метричною фігурою або Франція є монархією». У цьому висловлюванні немає смислового, змістовного зв’язку, то­му слово «або» не є носієм граматичного сполучника. Але з погляду логіки таке сполучення простих висловлювань допустиме і отримане з них висловлювання має конкретне значення. Тобто, отримане складне висловлювання ми оці­нюємо як істинне.

Враховуючи цю особливість логічних сполучників (які у природній мові представлені тими самими словами, що й граматичні), у логіці вводяться спеціальні назви і символи для позначення логічних сполучників:

Оскільки логічні сполучники, з’єднуючи прості вислов­лювання у складні, фіксують не смисл, зміст простих ви­словлювань, а лише їхнє значення, то визначення кожного логічного сполучника зводиться, по суті, до встановлення умов, за яких утворене складне висловлювання буде істин­ним, а за яких — хибним. Іншими словами, пояснити, на­приклад, що собою являє кон’юнкція, це означає показа­ти, як залежить значення складного висловлювання від значень простих, що його утворюють за допомогою цього сполучника.

За допомогою логічних сполучників із простих висло­влювань утворюють складні, їх називають логічними операціями.

Розділ логіки, який досліджує природу таких логіч­них термінів, як заперечення, кон’юнкція, диз’юнкція, імплікація, еквівалентність, називають логікою вислов­лювань, а логічні терміни «кон’юнкція», «диз’юнкція» і подібні — пропозиційними сполучниками, або пропози- ційними зв’язками («пропозиція» від слова «висловлю­вання»).

Отже, підсумовуючи попередні зауваження щодо харак­терних ознак пропозиційних сполучників, можна виділити два головних питанння, які цікавлять логіку висловлювань:

1) яким чином із простих (атомарних) висловлювань можна утворити складні (молекулярні)?

2) як залежить логічне значення молекулярного ви­словлювання від логічних значень атомарних?

Розглянемо тепер визначення пропозиційних зв’язок.

Серед пропозиційних зв’язок виділяють заперечення як унарну зв’язку. Унарна — означає «одномісна». Вона за­стосовується до одного висловлювання. Решта зв’язок (чо­тири), є бінарними, двомісними. Тобто, лише при наявно­сті двох простих висловлювань можна отримати правильно побудоване складне висловлювання.

Запереченням називається логічна операція, за допо­могою якої з певного істинного висловлювання отриму­ють нове висловлювання, яке буде хибним, і навпаки.

Заперечне висловлювання складається із вихідного ви­словлювання і знака заперечення (1 ), який ставлять перед ним: 1 А. (Часто вживають і інші символи для позначення заперечення: (—) або (~). Відповідно: А або ~А. Запере­ченням висловлювання А є складне висловлюванняУ природній мові аналогами заперечення є слова «не», «не­правильно, що», «не має місця, що».

У логіці висловлювань процедури визначення кожної логічної операції задаються так званими таблицями істин­ності.

Щоб побудувати таблицю істинності, ми повинні прийняти такі умови:

1) просте висловлювання може бути або істинним, або хибним, але не може бути одночасно і істинним, і хибним;

2) кількість рядків таблиці істинності для певного складного висловлювання відповідає формулі: 2ⁿ (де 2 — кількість логічних значень для простого висловлювання (істина та хиба), а n — кількість простих висловлю­вань, що входять до складу складного висловлювання). У логіці логічне значення «істина» позначається буквою «t» (від англійського слова «truth» — що означає «прав­да», «істина»), а логічне значення «хиба» — буквою «f» (від англійського слова «false» — що означає «хибний», «помилковий»).

Наприклад, якщо до складу складного висловлювання входить два простих висловлювання, то відповідно до фор­мули 2ⁿ замість n підставляємо 2 і отримуємо формулу 2² = 4. Тобто, таблиця істинності для цього складного ви­словлювання буде складатися із чотирьох рядків. Якщо таблиця будується для простого висловлювання, то вона складатиметься із двох рядків відповідно до формули 2¹ = 2.

Побудуємо таблицю істинності для заперечення.

Відповідно до наведеної таблиці складне висловлювання «Ми знаходилися в аудиторії, і на вулиці йшов дощ» буде істинним лише тоді, коли істинними будуть обидва прості висловлювання: «Ми знаходилися в аудиторії» і «На ву­лиці йшов дощ». В усіх інших випадках воно хибне.

Відомим фактом є багатозначність слів природної мови. І це стосується не тільки слів-іменників, а й сполучників, серед яких є і слово «або». Логіка створює спеціальні засо­би, за допомогою яких аналізується подібна багатозначність і які дають можливість запобігти цій багатозначності.

Складне висловлювання, утворене за допомогою сполуч­ника «або», відображає існування різних можливостей.

Наприклад, висловлювання «Він досяг гарних резуль­татів у навчанні або завдяки старанності, або завдяки здібностям» відображає наявність різних можливостей отримання гарних результатів у навчанні. Це висловлю­вання буде істинним, якщо одна з двох можливостей реалізується. Істинним воно буде і тоді, коли реалізу­ються обидві можливості.

Таке висловлювання називають диз’юнктивним. Слово «диз’юнкція» походить від латинського disjunctio — роз’єднування, подія, розрізнення.

У природній мові аналогами диз’юнкції є вирази: «А або В», «А або В, або обидва», «А і або В», «А, якщо не В».

Для позначення диз’юнкції використовується символ: «У».

Різні значення сполучника «або» у логіці фіксуються:

— з’єднувальною диз’юнкцією (або просто диз’юнк­цією),

— розділовою диз’юнкцією (або суворою диз’юнкцією) і

— виключною диз’юнкцією (або антикон’юнкцією).

Прикладом з’єднувальної диз’юнкції є наведене вище висловлювання.

Отже, з’єднувальною диз’юнкцією називають складне висловлювання А V В, яке буде істинним тоді і тільки то­ді, коли буде істинним хоча б одне з висловлювань А або В.

Наведення визначення відображене у таблиці істинно­сті для диз’юнкції

Коли потрібно показати, що з двох можливостей реалі­зується тільки одна і що реалізація однієї можливості ви­ключає реалізацію іншої, користуються розділовою, суво­рою або сильною, диз’юнкцією.

У природній мові сувора диз’юнкція має аналогом вираз «А або В, але не обидва», «А, якщо не В», «А, крім випа­дку, коли В».

Логіка для позначення сильної диз’юнкції використо­вує символи:

С и л ь н о ю диз’юнкцією називається висловлювання яке істинне тоді і тільки тоді, коли одне з про­стих висловлювань, що входять до його складу, істинне, а друге — обов’язково хибне.

Наприклад, «Ця людина або житель Києва, або іного­родній».

Таблиця істинності для сильної диз’юнкції має та­кий вигляд:

Сильною диз’юнкцією користуються тоді, коли відомо, що з двох можливостей, які включають одна одну, реалі­зуватися може лише одна, але невідомо яка саме.

Отже, у диз’юнкції істинність одного простого ви­словлювання не виключає істинності другого, а в силь­ній диз’юнкції істинність одного виключає істинність другого.

У природній мові сполучник «або» може вживатися і в третьому значенні, яке теж є виключаючим. Іноді нам не­обхідно сказати, що одна, а то й обидві можливості не ма­ють місця.

Наприклад, у висловлюванні «Він є студентом або школярем» ми хочемо сказати, що він ні в якому випадку не є ні тим, ні іншим одночасно. В крайньому разі одним із них. За допомогою виразу «у крайньому разі» ми під­креслюємо, що він не може бути ні тим, ні другим (стосов­но нашого прикладу: він і не учень школи і не студент, а учень технікуму).

Тому наведене висловлювання буде істинним і тоді, коли обидва простих висловлювання хибні.

Таке складне висловлювання називають виключенням, або антикон’юнкцією. По суті, смисл сполучника «або» в цьому випадку можна передати комбінацією таких логіч­них термінів, як кон’юнкції і заперечення.

Комбінацію цих термінів позначимо вертикальною рис­коюСкладне висловлювання, яке виражає несу­

місність простих висловлювань, що його складають, називається виключенням або антикон’юнкцією.

Отже, виключенням (антикон’юнкцією) називають складне висловлювання, яке істинне тоді і тільки тоді, коли у крайньому разі одне з простих висловлювань, що його складають, хибне.

Цьому визначенню виключення відповідає таблиця істинності:

До багатозначних сполучників природної мови, крім сполучника «або», належить і сполучник «якщо, то», який фіксує той факт, що одне явище спричиняє інше. З’єднавши цим сполучником два прості висловлювання, отримаємо складне умовне висловлювання.

Граматичному сполучнику «якщо, то» відповідає логі­чний термін «імплікація». Слово «імплікація» походить від латинського implicite — тісно пов’язую.

Аналогами імплікації у природній мові є слова «якщо А, то В», «А тоді, коли В», «у випадку А, має місце В», «В, якщо А», «для В достатньо А», «для А необхідно В».

Для позначення імплікації логіка використовує сим­воли: в таблиці істинності для імплікації:

Звідси випливає, що, приймаючи імплікацію за істинну і визначаючи істинним її антецедент, ми повинні визнати істинним і її консеквент, а приймаючи імпліквцію за іс­тинну і відкидаючи в то й же час її консеквент як хибний, ми повинні відкинути і її антецедент.

Для імплікації, як і для диз’юнкції, характерна багато­значність, що полягає у розбіжності між вживанням її у логіці і в побуті. Аналог імплікації у природній мові — сполучник «якщо, то» з’єднує два простих висловлювання у складне в тих випадках, коли між ними існує певний зв’язок за формою і змістом. Під цим зв’язком розуміється той факт, що консеквент обов’язково випливає з антецеде­нта. Іншими словами, визнаючи антецедент за істин­ний, ми змушені визнати істинним і консеквент.

З чисто інтуїтивної точки зору можна сказати, що ми звертаємося до імплікації у наших міркуваннях тільки то­ді, коли не впевнені, істинні її антецедент і консеквент чи ні. В усіх інших випадках вживання імплікації втрачає смисл.

Наприклад, «Якщо дане космічне тіло планета, то воно має природний супутник». Наведене висловлювання, як і будь-яке інше імплікативне висловлювання, містить певний сумнів, який кодується наведеною таблицею істин­ності.

А.Тарський у книзі «Вступ до логіки та методології дедуктивних наук» наводить один з фізичних законів («Кожен метал є пластичним»), який записує у вигляді імплікації: «Якщо х є метал, то х є пластичним». Ця імплікація є формою конкретних застосувань загального закону. Коли ми впевнені в істинності загального закону, то змушені визнати істинність усіх його часткових засто­сувань. Мається на увазі, що коли на місце х ми постави­мо назву будь-якого матеріалу (наприклад, мідь, глина, камінь тощо), то завжди матимемо істинне конкретне ім- плікативне висловлювання.

Можна легко переконатися, що:

а) всі висловлювання, отримані в результаті такої підстановки, відповідатимуть умовам істинності імплі­кації. Ми не матимемо ситуації, коли при істинності антецедента хибним буде консеквент;

б) у кожній з імплікацій як конкретизації загального закону існує тісний зв’язок між антецедентом і консек- вентом, що відображається у формальному співпаданні їх суб’єктів;

в) приймаючи антецедент кожної з цих імплікацій (наприклад, «мідь — метал») за істинний, можемо виве­сти з нього істинний консеквент («мідь — пластична»). Підставою для цього є загальний закон, що всі метали — пластичні.

Однак, як зазначає А.Тарський, з погляду природної мови деякі з імплікативних висловлювань будуть штучни­ми і сумнівними.

Коли ми замість х підставим назву конкретного матеріа­лу, відносно якого ми не знаємо, чи є він металом і чи пла­стичний він, імплікативний зв’язок відповідатиме своєму призначенню. Якщо ми замінимо х «міддю», антецедент і консеквент будуть безсумнівно істинні.Тому тут доречніше замість імплікації вжити вираз: «Оскільки мідь — метал, то мідь — пластична». Підставивши замість х «глину», отримаємо імплікацію з хибним антецедентом і істинним консеквентом, яку доцільніше замінити виразом: «Хоча глина і не метал, вона — пластична». А дібравши для х назву такого матеріалу, коли утворена імплікація матиме хибним і антецедент, і консеквент, ми збережемо імпліка­цію, але при цьому необхідно змінити граматичну форму дієслів. Так, підставивши замість х «камінь», матимемо: «Якби камінь був металом, то він був би пластичним».

Враховуючи прагнення мови науки до суворого визна­чення термінів, логіка задає чітке визначення імпліка­ції. Імплікація вважається осмисленою навіть тоді, ко­ли між антецедентом і консеквентом немає ніякого зв’язку. Істинність чи хибність імплікації залежить виключно від істинності або хибності антецедента і консеквента.

Такий підхід дає можливість, по-перше, встановити логічний смисл виразу «якщо, то» і, по-друге, звільнити цей вираз від психологічних факторів. З цього погляду осмисленими будуть такі висловлювання:

Якщо Варшава — столиця Польщі, то Дніпро впадає в Чорне море.

Якщо Варшава — столиця Франції, то Дніпро впадає в Чорне море.

Якщо Варшава — столиця Польщі, то Дніпро впадає в Каспійське море.

Якщо Варшава — столиця Франції, то Дніпро впадає в Каспійське море.

У природній мові ці висловлювання не мають смислу. Логіка ж визнає їх осмисленими, оскільки вони чітко фік­сують логічне значення фрази «якщо, то», яке полягає в тому, що тільки третє висловлювання хибне, а решта — істинні. Імплікацію з таким визначенням називають ма­теріальною, тобто імплікацією, в якій між антецеден­том і консеквентом немає змістовного зв’язку. Вперше концепцію матеріальної імплікації висунув давньогрець­кий філософ Філон (ІУ ст. до н.е.).

Крім матеріальної імплікації, існує і формальна.

Формальна імплікація — це вид імплікації, який фіксує змістовний зв’язок між антецедентом і консеквентом.

Назву «формальна» ця імплікація отримала завдяки тому, що антецедент і консеквент мають суб’єкти, які збі­гаються за формою. Прикладом може бути закон фізики, наведений А. Тарським: «Для будь-якого х, якщо х є ме­тал, то х є пластичний».

Б. Рассел запропонував застосовувати формальну імплі­кацію для позначення законів природи.

Отже, ми переконалися, що імплікація без смислового зв’язку між антецедентом і консеквентом звучить парадок­сально. Незвичний вираз «Якщо пальми ростуть на полю­сі, то крокодили літають» визнається істинною згідно з таблицею істинності для імплікації. Ця незвичність (ще раз підкреслимо) зумовлена тим, що в природній мові, ко­ристуючись імплікацією, ми намагаємося передати певний смисловий зв’язок між антецедентом і консеквентом, а в логіці фіксується той факт, що імплікація хибна тільки при істинності антецедента і хибності консеквента.

Користуючись засобами природної мови, за допомо­гою сполучника «якщо, то» ми відображаємо різні сми­слові зв’язки між антецедентом і консеквентом. Ці зв’язки можуть бути таких видів:

а) причинний (наприклад, «Якщо через провідник про­пустити електричний струм, то він збільшиться»). У цьому висловлюванні відображено те, що певна дія (про­пуск електричного струму через провідник) є причиною збільшення провідника. При цьому перше повинно переду­вати другому;

б) зв’язок, який вказує, що знання про один факт є логічною підставою для ствердження знання про дру­гий факт (наприклад, «Якщо ртуть у термометрі підня­лася, то в кімнаті стало тепліше»). Тут ми маємо справу вже не з причинним зв’язком, оскільки підйом ртуті у термометрі не спричиняє потепління в кімнаті;

в) зв’язок, який висуває один факт як умову для ви­никнення або існування іншого факту (наприклад, «Як­що я успішно складу сесію, то я поїду в закордонну манд­рівку»). У цьому висловлюванні антецедент є обов’язковою умовою появи факту, що фіксує консеквент;

г) зв’язок, який відображає часову послідовність подій (наприклад, «Якщо сьогодні я закінчу писати статтю, то завтра віддам її на рецензію»). Це висловлювання фік­сує часову (а не причинну) послідовність фактів, зафіксо­ваних відповідно в антецеденті і консеквенті.

Очевидно, що у кожному з цих висловлювань сполуч­ник «якщо, то» має свою специфіку. У логіці ця специфі­ка відходить на другий план. Використовуючи імплікацію, ми, по суті, абстрагуємося від смислових відтінків сполуч­ника «якщо, то», до яких звикли і які досить ефективно використовуємо в процесі спілкування. Цим ми досягаємо більшої точності в передачі інформації, але, зрозуміло, ви­мушені жертвувати змістом.

З наведених висловлювань можна зробити висновок, що будь-яке істинне умовне висловлювання фіксується істин­ною імплікацією, але не будь-яка істинна імплікація є ви­явом умовного висловлювання у звичайному смислі.

Аналіз імплікації передбачає визначення понять «до­статня підстава», «необхідна підстава». Ці поняття до­сить широко використовуються в науці, тому необхідно да­ти їх чіткі визначення.

Достатньою підставою називається підстава, наяв­ність якої обов’язково спричиняє певний наслідок.

У разі відсутності наслідок може наступити, а може й ні.

Наприклад, «Якщо був дощ, то дахи будинків мокрі». Тут антецедент фіксує достатню підставу, але не не­обхідну. Тому що без дощу дахи будинків можуть бути як мокрими, так і сухими. Причиною наслідку, який зафік­сований у консеквенті, може бути дощ, туман, мокрий сніг тощо. Отже, стверджувати, що А є достатньою підставою для В, рівнозначно твердженню: «Якщо має місце А, то обов’язково матиме місце В». Буквально це фіксується в імплікації «А ⊃ В».

Необхідною підставою певного явища є підстава, від­сутність якої зумовлює відсутність конкретного яви­ща. Наявність цієї підстави не означає обов’язкову по­яву наслідку (наслідок може бути, а може його і не бути).

Звернемося до згаданого вже висловлювання, але зали­шимо його в такому вигляді: «Якщо дахи будинків мокрі, то був дощ». У цьому висловлюванні антецедент вира­жає необхідну, але не достатню умову. Це означає, що за наявності умови, яку фіксує антецедент, наслідок може наступити, а може й ні (дахи будинків можуть бути мокрі і від дощу, і від снігу). Тільки коли відсутня умова буде відсутній і наслідок (коли дахи будинків сухі, то й не було дощу).

Отже, коли говорять, що В є необхідною, але не достат­ньою підставою для А, то це буквально відповідає вислов­люванню «В, тільки якщо А». Іншими словами, якщо до­статню підставу виражають через імплікацію («Якщо був дощ, то дахи будинків мокрі», або «А ⊃ В»), то необхідна підстава фіксується конверсією^[XI], а твердження достатньої підстави («Якщо дахи будинків мокрі, то був дощ», або «В → А»). У природній мові, щоб висловити необхідну підставу часто застосовують зворот «тільки якщо». На­приклад, «Тільки якщо замкнутий контакт, то лампо­чка горить», «Тільки якщо він депутат, то він може бу­ти обраний головою комісії Верховної Ради».

Тобто, лише з’ясувавши логічну структуру висловлю­вань, можна визначити, яке із них виражає достатню підставу, а яке — необхідну. Природна мова таких кри­теріїв не має і не може мати.

Цей висновок значною мірою характеризує природу на­ступного логічного терміна — еквіваленції.

Еквіваленція (або подвійна імплікація) висловлювань А і В — це складне висловлювання, яке буде істинним тоді і тоді, коли А і В одночасно істинні або одночасно хибні. В інших випадках еквіваленція буде хибною.

Еквіваленцію позначають символами: θ, ?, ~

У природній мові аналогами еквіваленції є вирази: «А тоді і тільки тоді, коли В», «А якщо В і В якщо А», «Для А достатньо і необхідно В», «А матеріально екві­валентно В».

Наведеному визначенню еквіваленції відповідає така таблиця істинності:

Ця таблиця відрізняється від таблиці істинності для ім­плікації третім рядком, а від таблиці істинності для кон­версії імплікації — другим рядком.

Оскільки імплікація виражає відношення між достат­ньою умовою та її наслідком, а конверсія імплікації — між необхідною умовою та її наслідком, то еквіваленція або подвійна імплікація, виражає відношення між достат­ньою і необхідною умовою та її наслідком.

Напрклад, «Якщо він знає англійську мову, то він пере­кладе цей текст», «Якщо геометрична фігура квадрат, то її діагоналі діляться навпіл». Як у матеріальній імплікації сполучник «якщо, то...» не виражає смислового зв’язку між антецедентом і консеквентом, так і в еквіваленції сполу­чник «якщо і тільки якщо» не виражає змістовного зв’язку між лівою і правою частинами еквівалентності; він виражає лише відношення між їх істинними значеннями («істина», «хиба»). Ця особливість еквіваленції відіграє важливу роль для операцій із символами у логічних численнях.

Знання логічної еквіваленції дає можливість:

а) спростити запис послідовності висловлювань;

б) перейти від одного висловлювання до логічно екві­валентного йому (тобто з тим самим істинним зна­ченням);

в) замінити у послідовності формул одні формули на інші.

Аналіз логічних зв’язок як однієї з підмножин множи­ни логічних термінів характеризує головні типи логічних відношень, без яких неможливо збагнути підвалини логіки висловлювань і логіки предикатів.

Окрім логічних зв’язок, серед логічних термінів виді­ляють логічні оператори, до яких відносяться квантори та описові вирази, або оператори дескрипції.

Розрізняють два види кванторів:

— квантор загальності;

— квантор існування.

Слово «квантор» походить від латинського guantum — скільки.

За допомогою кванторів виявляють відношення між предметною областю і предикатами, які визначені для неї.

Для позначення квантору загальності застосовують символи:

Читається знак квантору Vx так: «для будь-якого х». У природній мові аналогами квантору загальності є слова: «усі», «кожний», «будь-який» тощо. Квантор загально­сті ставиться при загальних судженнях.

Наприклад, судження «Будь-яка планета є космічним тілом» можна записати, використовуючи квантор загаль­ності у такому вигляді:

Читається вираз так: «Для будь-якого х, якщо х — планета, то х є космічним тілом». Такий запис свід­чить, що це судження буде істинним для будь-якого х, ви­значеного на предметній області S, і хибним у протилеж­ному випадку. Тобто, якщо ми на місце х поставимо назву будь-якої планети, отримаємо істинне судження. Саме цей факт фіксується формулою

Тому Vx розглядають як узагальнення кон’юнкції з не­скінченною кількістю кон’юнктів:

де а, в, с (у нашому прикладі) — назви планет: Земля, Марс, Венера та ін.

Квантор існування в логіці позначають символами:

Читається він так: «існує такий х, що...». У природній мові аналогами квантору існування є вирази: «деякі», «іс­нує», «іноді», «кілька» тощо. Квантор існування припи­сують частковим судженням.

Наприклад, судження «Деякі планети мають атмосфе­ру» за допомогою Зх квантору можна записати формулою:

яку читають: «Існує такий х, який є планетою і має ат­мосферу». Вираз Зх (Б(х) ∧ Р(х)) вказує на те, що це су­дження буде істинним при підстановці замість х хоча б одно­го предмета з предметної області S, і хибним навпаки. А це означає, що квантор існування можна тлумачити як уза­гальнення диз’юнкції з нескінченною диз’юнкцією її членів:

де а, b, с — назви конкретних планет (стосовно нашого прикладу).

Ось так можна охарактеризувати квантор загальності та квантор існування. Що ж стосується ще двох логічних операторів, а саме операторів дескрипції, то про них йдеться далі.

Розгляд логічних і дескриптивних термінів робить очеви­дним той факт, що логічні терміни фіксують ту сторону сми­слу висловлювання, яка виражає логічну форму відповідного судження. Щоб з’ясувати логічну форму судження і логічну структуру висловлювання, треба замінити всі дескриптивні терміни змінними символами відповідних категорій.

Наприклад, маємо висловлювання: «Будь-яка теорія має логічне обгрунтування». Випишемо дескриптивні тер­міни за допомогою символів: х, S, P. І отримаємо вираз: який представляє логічну форму даного висловлювання. А оскільки відомо, що процес отримання одних висловлю­вань з інших (що і є головним інтересом логіки) визнача­ється їх логічною формою, то цю сторону смислу вислов­лювання називають називають його дедуктивним змістом.

Таким чином, головна функція логічних термінів — ви­значення дедуктивного змісту висловлювань.