Числення класів Джорджа Буля

Біографія Дж. Буля

Джордж Буль народився 2 листопада 1815 року в м. Лінкольні. Він здобув мінімальну освіту. Після закінчення початкової школи Дж. Буль тимчасово відвідував комерційне училище.

У. Брук дивувався працьовитості юнака, що не давала «припадати пилом» книгам на його полицях. Згодом 16-річний Дж. Буль стає асистентом учителя в приватній школі м. Донкастера, поєднуючи обов’язки лаборанта та вахтера. Даремно не витрачаючи часу, 17-річний лаборант розпочав систематично вивчати математику.

У 1833 р. Дж. Буль залишає школу в Донкастері та обіймає аналогічну посаду в школу передмістя Лінкольна - Баддингтона. Тут він стає головним педагогом, а в 1840 р. засновує власну школу в Лінкольні. Діапазон наукових інтересів Дж. Буля досить широкий. Його цікавили математика та логіка, етика Б. Спінози, філософські праці Аристотеля, М. Цицерона. Водночас поступово Дж. Буль дедалі більше схиляється до проблем додатка математичних методів до гуманітарних галузей (однією з таких галузей на той час уважалася й логіка). Науковець прискіпливо вивчає «Математичні засади натуральної філософії» Ньютона та «Аналітичну механіку» Ж. Лагранжа, порівнюючи методи обох учених. Він захоплювався здатністю Ж. Лагранжа вирішувати фізичні питання як суто математичні.

Дж. Буль листується з кембриджськими математиками, які констатують оригінальність математичних ідей свого кореспондента, радячи їх обов’язково опублікувати. Дослухавшись до наполягань своїх нових друзів, науковець у 1844 р. отримує золоту медаль за свої праці в царині математичного аналізу. У 1849 р. кембриджські друзі - математики організовують Д. Булю математичну професуру в щойно відкритому коледжі в місті Корке (Ірландія). Претендент був затверджений на посаду попри те, що не мав університетської освіти.

Математичним дослідженням Дж. Буля притаманне ретельне вивчення «символічного методу» («symbolical reasoning»). Англійський логік уважав, що математичні операції (зокрема диференціювання та інтеграцію) слід, передусім, вивчати з точки зору властивих їм формальних властивостей, що дає можливість перетворювати вирази, які передбачають ці операції, незалежно від внутрішнього змісту таких виразів.

Звернення Дж. Буля до вивчення логіки значною мірою стимулювала дискусія між О. де Морганом та У. Гамільтоном, за якою він із цікавістю спостерігав навесні 1847 р. Мислитель сам відмічає цю обставину в передмові до праці «Математичний аналіз логіки», написаній в жовтні 1847 р. Він визнає також, що О. де Морган був першим логіком, який звернувся до аналізу кількісно визначуваних (numerically definite) речень.

Крім логічних і математичних досліджень, Дж. Буль продовжував писати поетичні твори, класичні за формою та філософські за змістом. Йому належать два вірші - «Сонет до числа три» і «Звання мерця». У його рукописах знайшли також віршований лист до У. Бруку, датований 1845 р. У цьому листі було описано його візит на засідання Британської наукової асоціації, а також свято на острові Уайт.

Дж. Буль помер через 10 років після того, як було опубліковано його основний логічний твір «Закони думки». Рукописи, які він залишив після себе, свідчили про його намір продовжити дослідження логічної теорії. Починаючи з 1854 р. Дж. Буль зосередив свої зусилля на розробленому ним численні в межах теорії ймовірності, не публікуючи праць, що безпосередньо стосуються логіки. Водночас наукова діяльність Дж. Буля у сфері математики завжди була лише допоміжною та стимулювалася його роздумами про логіку, навіть коли він почав в останній період своєї творчості доходити думки про те, що логіка не залежить від математики й повинна слугувати її підґрунтям.

Філософ запропонував власну інтерпретацію числення класів для теоретике-ймовірнісних потреб. Імовірність класу 1 дорівнює 1. Імовірність додаткового до х класу 1 - х є ймовірністю класу 1 мінус імовірність класу х. Імовірність класу х + у є сумою ймовірності класів х і у. Імовірність класу х * у, де х та у незалежні, є відтворенням імовірності х та у.

Методологічні ідеї Дж. Буля

Питання про методологічні переконання Дж. Буля є досить складним. Здебільшого про них судять, ґрунтуючись лише на ранніх висловлюваннях філософа. Аналізуючи їх, зазвичай доходять висновку про те, що постать логіка можна розглядати як попередника математичного формалізму Д. Гільберта.

Науковець стверджував, що в символічній алгебрі правильність процесу аналізу залежить не від інтерпретації наявних у ньому символів, а лише від законів їх комбінування. Кожна система інтерпретації, яка не порушує істинності стосунків, є рівноправною. Завдяки цьому один і той самий прийом може, стосовно схеми інтерпретації, сприяти вирішенню питання відносно властивостей деяких чисел, що розглядаються одне відносно іншого, якщо йдеться, наприклад, про математичне завдання, або ж стосовно певного третього об’єкта (якщо йдеться, наприклад, про динамічні або оптичні завдання).

На думку Дж. Буля, перетворення логіки на строгу науку можливе завдяки трактуванню її предмета засобами математичного апарату.

Концепції Дж. Буля притаманне визнання існування законів думки як об’єктивних співвідношень, що не залежать від волі суб’єкта пізнання. Він стверджував, що закони міркування об’єктивно існують як закони людського мислення. Тому переконання в царині науки логіки повинні мати матеріальне джерело.

Згідно з Д. Булем, логіка загалом покликана пролити світло також на з’ясування природи інтелектуальних здібностей. Звідси можна лише зробити висновок, що він не ігнорував практичний аспект логічних досліджень. Особливе значення в цьому контексті набуває, на його думку, розкриття природи висновку. Виклад логіки у формі числення є не довільним актом, а наслідком тотожності формальних особливостей логічних перетворень і математичних операцій. З іншого боку, неправильна думка про те, що предмет математики обмежується лише поняттями числа й кількості. Науковець переконує, що вивчення ідей числа та кількості не є сутністю математики.

Побіжно розглянемо вчення Дж. Буля про мову. Так, він розрізняв живу розмовну мову та символічну мову як сукупність певних символічних засобів і способів оперування ними, наявних у точних науках. Обидві мови слугують інструментами людського міркування, що розняться лише мірою суворості й визначеності. Водночас Дж. Буль був глибоко переконаний у тому, що, вивчаючи закони знаків символічної мови, ми насправді пізнаємо засадничі закономірності міркування. На його думку, закони мислення відображаються в законах операцій із логічними символами, які вводять лише як допоміжний засіб для вивчення дійсного мислення та власне законів мислення.

Основні риси логічної системи Дж. Буля

Основними операціями в логіці Дж. Буля є:

1. Додавання, що позначалося в нього знаком «+» в численні класів. Булевій формулі х + у відповідає поєднання класів х і у з виключенням їх спільної частини.

2. Множення, що позначалося знаком «*» або просто записом одного виразу поряд з іншим (без знаків між ними); у численні класів цій операції відповідає перетин, у численні висловлювань - кон’юнкція.

Нероздільне «або» може бути виражене через булівське додавання за допомогою таких двох формул:

3. Додавання х до одиниці (відмітимо, що 1 - означає «істина», 0 - «брехня»), що позначалося записом «1 - х»; у численні класів формула 1-х означає доповнення до класу х; у численні висловлювань - заперечення х.

Основним відношенням, уживаним у логічній системі Дж. Буля, є відношення рівності. За посередництва цього відношення визначаються в ній інші стосунки і, передусім, з його допомогою визначається відношення включення для класів. Дж. Буль користується декількома визначеннями відношення введення. Одне з них свідчить: (ху) = (х (1 - у) - 0), де 0 є символом нульового (порожнього) класу.

Дж. Буль з’ясовує властивості введених ним операцій, визначаючи:

комутативний закон множення: х*у = у*х

асоціативний закон множення: z*(y*x) = (x*z)*y, а також аналогічні закони для операції логічного додавання.

Дж. Буль також формулює:

дистрибутивний закон множення відносно додавання: z*(x+y) = z^^λ'x + z*y,

дистрибутивний закон множення z*(x -у) = z*x-z^¹y∙

Основними властивостями рівняння Дж. Буль уважає такі його властивості: якщо х=у, то z'x = z*y і якщо х =у, то z+x = z+y.

Істотна відмінність між логікою та алгеброю полягає в тому, що в логіці завжди наявний закон

х*х =х (принцип ідемпотентності).

Водночас в алгебрі рівняння х2 = х виявляється правильним лише за умов, що х = 1 або х = 0, що є коренями рівняння

х2 - х = 0.

Таким чином, Дж. Буль помічає, що якщо уявимо собі алгебру, у якій символи допускають різні значення Oil, але лише ці значення, закони, аксіоми і перетворення в такій алгебрі будуть тотожні в усьому своєму об’ємі із законами, аксіомами та перетвореннями алгебри логіки. Слід припустити, що основні об’єкти, стосунки й операції логіки виражені за допомогою символів, що задовольняють закони елементарної алгебри до нуля й одиниці. Дж. Буль робить висновок, що на окремих етапах обчислювальних процедур алгебри логіки можна, нехтуючи безпосередньою логічною інтерпретацією символів, що

фігурують у них, розглядати останні як кількісні знаки, з якими можна оперувати відповідно до звичайних правил алгебри для Oil.

У цьому полягає основний принцип логічного обчислення Дж. Буля, що, на його думку, виражає формальне узгодження, наявне між кількісною алгеброю та алгеброю логіки, незважаючи на відмінність об’єктів дослідження цих двох дисциплін.

Особливу увагу науковець приділяє вивченню логічних функцій та операцій із ними. Він не визначає спеціально, що таке логічна функція, констатуючи лише, що у виразах виду f (x),f (х, у) й інші символи х, у... можуть розглядатися як логічні знаки, що передбачають значення лише 0 та 1.

Обчислення класів Дж. Буля фактично передбачає систему понять звичайної змістовної логіки, таких, як «логічний наслідок», «виведення» та інше. Трактуючи алгебру як науку про рівність, Дж. Буль у численні класи також записує логічні вирази у вигляді рівняння. Він прагне давати повні явні визначення, з яких можна було б вивести всі властивості визначуваного об’єкта. Висловлюючись сучасною мовою, це відповідає спробі замінити аксіоматичні визначення явними.

Аналогічно ж з алгеброю (арифметичною) Дж. Буль ставить також проблему про виключення яких-небудь термінів із заданих логічних рівнянь (проблема елімінації). Суть цієї проблеми полягає в такому: нехай є яке-небудь співвідношення, що містить певні класи х, у, z. Вимагається вивести з цього співвідношення нове співвідношення, еквівалентне кон’юнкції всіх таких наслідків із цього співвідношення, які містять лише які-небудь визначені з класів х, у, z..., - встановити, що можна сказати про співвідношення між класами на підставі відомостей, що містять, окрім цих, також й інші класи.

Підбиваючи підсумки, слід зауважити, що логічні досягнення Дж. Буля не були сприйняті його сучасниками, які не змогли осягнути сенсу булівської операції додавання, уважаючи загалом логічну систему науковця штучною та довільною. Така позиція є цілком закономірною, оскільки і сам учений не уявляв собі зв’язку операції строгої диз’юнкції із додаванням двох модулів, хоча фактично й користувався арифметикою. На думку окремих критиків творчості логіка (наприклад, П. Порецького), Дж. Буль іноді просто підганяв логічні операції під арифметичні, не розкриваючи справжнього секрету успіху свого методу та не розібравшись у тому, якою мірою та власне чому він використав аналогії.

1.2.6.