Синтаксис логіки предикатів

Мова логіки предикатів - це штучна мова, призначена для аналізу логічної структури простих описових висловлювань. Вона характеризується синтаксисом та семантикою.

Синтаксис логіки предикатів створюється шляхом розширення синтаксису логіки висловлювань та включає в себе перелік знаків алфавіту логіки предикатів й правил побудови із них термінів та формул логіки предикатів.

Усі знаки алфавіту логіки предикатів поділяються на технічні й нетехнічні. До нетехнічних знаків належать нелогічні й логічні знаки: предметні (індивідні) константи, предметні (індивідні) змінні, предикатні символи, знаки логічних сполучників й знаки кванторів.

Алфавіт логіки предикатів:

І. Нетехнічні знаки:

1. Предметні (індивідні) константи:

Ці знаки призначені для позначення власних імен природної мови.

2. Предметні (індивідні) змінні:

Предметні змінні призначені для позначення загальних імен природної мови.

3. Предикатні символи:

Ці знаки призначені для позначення предикаторів природної мо­ви. Верхній індекс вказує на їх місткість, а нижній - на порядковий номер.

4. Знаки логічних сполучників. Ці знаки відомі з логіки висловлювань:

5. Знаки кванторів. Ці знаки відомі з атрибутивної логіки:

II. Технічні знаки:

Перелічені технічні знаки в логіці предикатів слугують своєрід­ними знаками пунктуації.

Визначення правильно побудованих виразів

У мові логіки предикатів є два види правильно побудованих ви­разів (п.п.в.) - це терми та формули.

Визначення терма:

1. Будь-яка предметна константа є терм.

2. Будь-яка предметна змінна є терм.

3. Ніщо, окрім вказаного в пунктах 1 й 2, не є термом у мові логіки предикатів.

Визначення формули:

5. Ніщо, окрім зазначеного в пунктах 1 - 4, не є формулами.

Формули, які відповідають пункту 1 дефініції, називаються простими, елементарними або атомами, а у пунктах 2 - 4 - складними або молекулярними.

Для визначення того, які послідовності знаків будуть формулами логіки предикатів, введемо визначення підформули, яке значною мірою повторює визначення, наведене для формул логіки вислов­лювань.

Підформула - це формула логіки предикатів, яка входить до складу іншої формули логіки предикатів.

Формули А і В, що зустрічаються у визначенні формули, називають підформулами відповідних формул.

Назвемо логічним оператором формули логіки предикатів логіч­ний сполучник або квантор, який до неї входить. Звідси наступне визначення:

Головний логічний оператор неатомарно!' формули логіки предикатів - це сполучник або квантор, який при її побудові вводиться останнім.

Зазначимо при цьому, що формула підкреслюється у тому випадку, якщо вона виступає підформулою наступної формули.

Головним логічним оператором формулиє квантор

існування Зу, оскільки при її створенні він вводиться останнім. Якби цього квантора не було, головним логічним оператором був би знак заперечення « ~ ».

Введемо точні визначення області дії логічного сполучника, яке повторює визначення для формул логіки висловлювань, та квантора.

Область дії логічного сполучника утворюють усі підформули, які він зв’язує.

Область дії квантора складає підформула, яка починається одразу після квантора.

Область дії квантора обмежують дужками. Початок області дії позначається лівою дужкою, а відповідна їй права дужка означає закін-

Приписування до предметноїзмінної квантора спільності чи квантора існування називається операцією зв’язування кванто­ром, або квантифікацією.

Змінна, яка розташована безпосередньо після квантора та входить у сферу його дії, називається зв’язаною змінною, а змінна, яка не входить до сфери дії квантора, - вільною. Одна й та ж сама змінна в конкретній формулі може мати зв’язане й вільне входження. Справжніми змінними є тільки вільні змінні. Зв’язані змінні назива­ються фіктивними змінними.

У формулівільні змінні

підкреслено.

Формули, або терми, у яких усі індивідні змінні зв’язані, на­зиваються замкненими, а формули, або терми, до складу яких входять вільні індивідні змінні, називаються відкритими.

Якщо деяка формула містить входження вільних змінних, то на їх місце можуть підставлятись терми.

Умови правильності підстановки:

1. Якщо терм t- індивід на константа, то підстановка прово­диться без обмежень та є правильною.

2. Якщо терм t - індивідна змінна, то підстановка правильна тоді і тільки тоді, коли входження цієї предметноїзмінної не виявля­ється зв’язаним в результаті підстановки t на місце х у формулі А(х).

Приклад правильної підстановки:

Приклад неправильної підстановки:

На мову логіки предикатів можна перекласти прості описові висловлювання природної мови, в яких:

1) стверджується або заперечується наявність властивості у окремого предмета певного класу.

Приклади:

2) йдеться про існування якогось предмета, що задовольняє деяку умову.

2.3.3.