Мова алгебраїчної системи логіки висловлювань

Мова алгебраїчної системи логіки висловлювань, або мова морфологічної системи логіки висловлювань, є своє­рідною формально логічною теорією (ФЛТ). Структура мови логіки висловлювань складається із двох компоне­нтів: об’єкт-мови (OL) та метамови (МЬ).

Об’єкт-мова — це сукупність правильно побудованих формул^[XXXIV] (ППФ), в яких фіксується, відображається, ко­дується певний фрагмент наукової теорії або контекс­ту природної мови.

Метамова — це мова, засобами якої досліджуються і описуються властивості об’єктної мови.

Метамова повинна задовольняти такі вимоги:

а) наявність засобів для опису синтаксичних власти­востей об’єктної мови, а саме засобів для побудови ви­разів ОЬ;

б) метамова повинна бути достатньою з точки зору виразних можливостей настільки, щоб для кожного ви­разу OL в ній існувала формула, яка була б перекладом цього виразу;

в) логічний словник повинен бути (в крайньому випа­дку) настільки ж багатим, як і словник OL;

г) в ML повинні бути додаткові змінні (метазмінні), які належать до більш високого типу ніж змінні OL.

OL та ML називають відповідно синтаксичною части­ною формально логічної теорії (Sin ч.ФЛТ) і семантич­ною частиною формально логічної теорії (Sem ч. ФЛТ).

ML складається із:

— синтаксису метамови (Sin ML) та

— семантики метамови (Sem ML).

Мову алгебраїчної системи логіки висловлювань як певну формально логічну теорію позначають символом S¹. Sin ML у S¹ представлений правилами утворення (ПУ).

Правила утворення в S¹ включають в себе:

1) алфавіт; і

2) визначення правильно побудованих формул (Df — ППФ).

Sem ML в S¹ представлена правилами інтерпретації (ПІ). Правила інтерпретації складаються із:

1) правил інтерпретації для пропозиційних змінних;

2) правил інтерпретації для пропозиційних зв’язок. Структура S¹ має таку схему:

Виходячи із структури S¹, більш аргументовано поясни­мо, чому S¹ називають алгеброю, або морфологічною сис­темою.

Взагалі алгебру можна визначити як непорожню множину об’єктів із визначеними на них операціями.

Стосовно нашої ситуації такими об’єктами є пропози- ційні змінні, а операціями — пропозиційні зв’язки¹.

Характерною особливістю S¹ є те, що Sin ML має лише один вид правил, а саме правила утворення. Це обумовлює те, що в S¹ формули розглядаються в статично­му варіанті, де не досліджується перехід від одних формул до інших, тобто не досліджується процес доведення. А от­же, завдання, які розв’язуються засобами S¹, такі:

1) типологія ППФ на синтаксичному рівні;

2) типологія ППФ на семантичному рівні;

3) систематичний огляд логічних законів;

4) визначення відношення логічного слідування;

5) систематичний аналіз логічних відношень.

Після цих зауважень перейдемо до побудови мови сис­теми S¹. Перш за все потрібно описати (задати) алфавіт.

Алфавіт — це сукупність вихідних символів даної формалізованої мови. Алфавіт S¹ складається із:

а) нелогічних символів;

6) логічних символів;

в) технічних символів.

Розглянемо послідовно кожну складову частину алфаві­ту мови логіки висловлювань.

Нелогічні символи

Нелогічними символами є множина пропозиційних змінних: p, q, r, s, p₁, q₁, r₁, s₁...

Пропозиційні змінні використовуються для позначення простих висловлюваннь природної мови. Іншими словами, пропозиційні змінні — p, q, r, s тощо використовуються як замінники простих висловлювань при виявленні логічних форм контекстів природної мови.

Наприклад, пропозиційна змінна р може позначати мно­жину конкретних простих висловлювань типу: «Місяць — природний супутник», «Всі планети — космічні об’єкти», «7 є простим числом», «Книга є джерелом інформації» тощо.

Тобто, тут йдеться про словесну, вербальну подібність S¹ з алгеброю як від­повідним розділом математичної науки.

Логічні символи

Логічними символами в системі S¹ є істинністно- пропозиційні зв’язки:

1 — заперечення;

& — кон’юнкція;

V — слабка диз’юнкція;

V — сильна диз’юнкція;

∞ — еквіваленція.

Технічні символи

До технічних символів у системі S¹ відносяться:

— ліва та права дужка ( ; ) і

— кома (, ).

Переліком вихідних символів завершується побудова алфавіту системи S¹.

Наступним етапом у побудові S¹ є задання дефініції ППФ.

4. Ніякі інші вирази, окрім вказаних у пунктах 1,2,3, не є формулами класичної логіки висловлювань.

Зауважимо, що латинські літери А і В, які вживаються у дефініції формули, належать не до OL, а до ML в S¹. Ін­шими словами, вони належать тій мові, на якій ми гово­римо про вирази OL в системі S¹, і слугують для позначен­ня довільних формул із OL. На відміну від букв p, q,r, s..., які є пропозиційними змінними, вони називаються мета- змінними, або метабуквами.

За синтаксичними ознаками формули в S¹ поділя­ються на:

— елементарні (атомарні) і

— складні (молекулярні).

Елементарною або атомарною формулою називаєть­ся така формула пропозиційної логіки, яка не має само­стійних частин. Тобто, це формули, які відповідають пункту 1 наведеної дефініції:p, q, r, s....

Прийняттям цих угод завершується побудова словника у системі S¹. Після цього розглянемо, як можна виразити логічну форму висловлювань природної мови засобами сло­вника системи S¹.

Для прикладу візьмемо конкретне висловлювання: «Якщо студент здібний, але не старанний, то він може мати посередні результати на сесії або високі».

Щоб виявити логічну форму конкретного висловлю­вання засобами словника системи S¹, необхідно здійс­нити такі діі:

1) виписати всі прості висловлювання, що входять до складу складного;

2) кожному простому висловлюванню поставити у відповідність конкретну пропозиційну змінну;

3) виділити логічні терміни, що входять до складу складного висловлювання;

4) встановити порядок і спосіб поєднання простих висловлювань у складне за допомогою логічних сполуч­ників.

Прокоментуємо кожну дію окремо.

І. Наведене вище складне висловлювання складається із чотирьох простих висловлювань:

1. «Студент — здібний».

2. «Студент — старанний».

3. «Студент має посередні результати на сесії».

4. «Студент має високі результати на сесії».

IV. Необхідно виділити головний логічний сполучник. Тільки після цього можна встановити порядок поєднання простих висловлювань у складне.

Таким способом можна записати логічну форму будь- якого складного висловлювання природної мови.

У літературі іноді зустрічається мова S¹, де не викорис­товуються дужки. Йдеться про бездужкову логічну мову запропоновану Яном Лукасевичем. Розглянемо послідовно складові словника цієї мови.

Алфавіт ^[XXXV]

2.