§ 2.12. ПОДОБИЕ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ МАШИН, КОЭФФИЦИЕНТ БЫСТРОХОДНОСТИ, ФОРМУЛЫ ПОДОБИЯ

Движение жидкостей (газов) в проточной полости машины весьма сложно. Поэтому точный расчет рабочих элементов машины представляет большие трудности. При проектировании насосов и компрессоров широко используют опытные данные,

полученные при исследовании машин, аналогичных проектируемой.

В современном гидромашиностроении широко применяется метод моделирования, т. е. испытания моделей, позволяющий проверить проект и внести в него практические коррективы. Модели строят, как правило, с соблюдением законов подобия.

Рис. 2.33. Параллелограммы скоростей подобных центробежных машин

Физические явления, протекающие в геометрически подобных пространствах, называются подобными, если в соответственных точках этих пространств сходственные физические величины находятся в постоянных соотношениях. Эти соотношения называются коэффициентами или масштабами подобия.

Пусть машины а и b(рис. 2.33) подобны. Условия геометрического подобия этих машин заключаются в равенстве сходственных углов и постоянстве отношений сходст­где δ_c- коэффициент кинематического подобия.

где δ_l - коэффициент геометрического подобия.

Кинематическое подобие состоит в постоянстве отношений скоростей в сходственных точках геометрически подобных машин и равенстве сходственных углов параллелограммов скоростей:

Динамическое подобие выражается постоянством отношений сил одинаковой природы, действующих в сходственных точках геометрически и кинематически подобных машин:

I где d_P- коэффициент динамического подобия.

Из изложенного следует, что доказательство подобия течений в двух насосах заключается в обнаружении постоянства коэффициентов подобия для сходственных точек.

Если известны коэффициенты подобия двух машин, то по известным характеристикам одной машины l_ia, β_ia, c_ia, P_iaможно получить значения сходственных характеристик другой машины:

Общие критерии подобия потоков, известные в гидроаэромеханике как числа Рейнольдса, Фруда, Эйлера и Струхала, применимы и к потокам в центробежных машинах. Напомним выражения этих чисел через основные параметры потоков:

Re = cl/n;Er = c²/gl;Eu = p/ pc²;Sh = nl/c.

Подобие течений характеризуется следующими равенствами безразмерных критериев, вычисленных для сходственных точек машин:

^Rea = ^Reb'^;EUa = ^EUb'^;Fra = ^Frb'^;Sha = ^Sh■ ^(2.79)

Для компрессоров число Эйлера выражают через местную скорость звука aи показатель адиабаты k, между которыми существует зависимостьСледова­

тельно, p = a²p / k, и поэтому

Безразмерную скорость c/ aобозначают через М. Тогда Eu = 1 /(kM²), откуда следует, что для подобных компрессоров M_a= M_b.

Таким образом, условия подобия компрессоров выражаются следующими равенствами:

Поскольку в процессе работы компрессоров проявляется теплоотдача, для строгого соблюдения подобия следует сохранять еще и постоянство критериев Прандтля и Грасгофа.

Заводы, изготовляющие центробежные машины, обычно имеют в производстве не случайные типы машин, различающиеся и размерами, и геометрической формой, а серии геометрически подобных машин. Поэтому важно установить соотношения между основными параметрами машин данной серии.

Предположим, что две подобные машины aи bс радиальным входом работают в подобных режимах (см. рис. 2.33). При этом должны соблюдаться условия кинема­тического подобия [см. (2.77)].

Объемная подача для обеих машин

Рассмотрим отношение этих подач:

Из подобия планов скоростей на выходе и условия пропорциональности окружной скорости частоте вращения рабочего колесамашины следует

Поэтому

Вследствие геометрического подобия машин

еледовательно, в окончательном виде

Объемные подачи центробежных машин, работающих в подобных режимах, относятся как кубы наружных диаметров рабочих колес и первые степени частот вращения валов и объемных КПД.

Если рассматривается центробежная машина данного размера, то D_2a = D_2bи, следовательно,

При изменении частоты вращения вала центробежной машины объемные подачи ее в подобных режимах относятся как первые степени частот вращения вала и объемных КПД.

Пользуясь соотношениями (2.15) и (2.18),получаем

По условиям кинематического подобия

Кроме того, следовательно,

Полные напоры, создаваемые центробежными машинами в подобных режимах, относятся как квадраты наружных диаметров рабочих колес, квадраты частот вращения вала и первые степени гидравлических КПД.

Для данной машины при переменной частоте вращения

При изменении частоты вращения вала центробежной машины напоры, создаваемые ею в подобных режимах, относятся как квадраты частот вращения вала и первые степени гидравлических КПД.

Соотношение между давлениями, создаваемыми машинами, получается умножением обеих частей уравнения (2.83) на соответственные значения плотностей:

Для данной машины при разных частотах вращения ее вала

Давления, создаваемые центробежной машиной в подобных режимах, пропорциональны плотности перемещаемой ею среды (жидкости или газа).

Из формулы для расчета мощности на валу центробежной машины следует

Соотношение между мощностями на валах двух центробежных машин, работающих в подобных режимах,

Учитывая выражения (2.81) и (2.83) получаем

Мощности центробежных машин, работающих в подобных режимах, относятся как пятые степени наружных диаметров рабочих колес, кубы частот вращения валов, первые степени плотностей перемещаемых машинами сред и обратно пропорциональны КПД.

При небольшой разнице в размерах и частотах вращения машин можно полагать ha = hb .

Для данной машины, подающей несжимаемую жидкость (вода, нефтепродукты, растворы), p_a= p_b;D_2a= D_2bи формула (2.87) приобретает простейший вид

Соотношения (2.82), (2.84), (2.88) называют формулами пропорциональности.

Применяя формулы пропорциональности, можно принимать КПД машин, работающих в подобных режимах, практически одинаковыми.

При строгих расчетах следует иметь в виду некоторое повышение КПД при увеличении размеров машины. Не следует, однако, думать, что пересчет Q, Н и Nпо формулам пропорциональности приводит к правильным результатам независимо от условий, в которых работает центробежная машина. Работа машины определяется также свойствами трубопроводной системы, подключенной к ней. Поэтому определение основных параметров Q, Н и Nмашины, включенной в трубопроводную систему, должно производиться, как указывается ниже, с учетом рабочих свойств последней.

Важной величиной, определяющей подобие течений в насосах, является коэффициент быстроходности n_s.

Коэффициентом быстроходности n'данной машины (насоса, вентилятора, компрессора) называют число, равное частоте вращения машины, геометрически подобной данной, но имеющей подачу Q' = lм³/с и напор H' = 0,102 м (соответственно L' = gH'=lДж/кг) в режиме максимального КПД.

Полагая в уравнениях подобия (2.81) и (2.83) Q'=l м³/с и gH' = lДж/кг, получаем

Решение этих уравнений дает:

(2.91)

Коэффициент быстроходности n^/- безразмерная величина, являющаяся коэффициентом подобия. Однако в практике насосостроения в качестве коэффициента быстроходности до настоящего времени применяют размерную величину

(2.92) отнесенную к единичным величинам Н'= 1 м; N'=1 л. с. Формула (2.92) получается из условий подобия (2.81), (2.83), (2.87).

Понятие n_sпо (2.92) перешло в насосостроение из области гидротурбостроения, где в качестве единичных эталонных величин были приняты H'=1 м, N' = 1 л. с и следующий отсюда единичный расход Q' = 0,075 м³/с.

Коэффициент быстроходности n_sопределяется величинами Q, Н и n; при регулировании машины он может изменяться в пределах от 0 до ∞.

Характеризуя машину при помощи n_s, обычно относят его к режиму с максимальным КПД.

Значения n_sдля различных типов насосов следующие: