2.7. Преобразования и принцип относительности Галилея

Уравнение , выражающее второй закон Ньютона, показывает, что этот закон не может быть справедлив в любой системе отсчета.

Второй закон Ньютона выполняется в инерциальных системах отсчета. Их множественность и равноправие при описании движения тел, а вследствие этого эквивалентность состояния покоя и прямолинейного равномерного движения доказываются так называемыми преобразованиями Галилея, связывающими значения характеристик тела в различных системах отсчета.

При описании движения тел в ряде случаев бывает удобно использовать несколько различных систем отсчета. Обычно одну из них, условно неподвижную, называют лабораторной системой отсчета (ЛСО), другую – движущейся (ДСО).

Пусть ЛСО является инерциальной. Докажем, что если ДСО не имеет относительно нее ускорения, то она также инерциальная.

Положение тела в ЛСО зададим радиусом-вектором , в ДСО – радиусом-вектором (рис. 2.3). Положение начала отсчета ДСО – точки О' – описывается в ЛСО вектором . Из геометрических соображений очевидно, что

.

В классической механике постулируется, что время во всех системах отсчета течет одинаково: t = t'.

Если ДСО движется равномерно вдоль оси х ЛСО со скоростью , то , так что

.

В координатной форме это выражение можно записать так:

(2.7а)

Эти соотношения и называются преобразованиями Галилея для координат.

Возьмем от уравнения (2.7) производную по времени:

,

т.е.

. (2.8)

Это уравнение связывает скорости тела в ЛСО и ДСО и носит название классического закона сложения скоростей.

Возьмем еще раз производную по времени:

,

что дает

.

Таким образом, ускорение тела в рассматриваемых системах отсчета одинаково, а потому система отсчета, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно инерциальной системы отсчета, также является инерциальной. Поскольку масса тела считается в классической механике одинаковой во всех системах отсчета, то это означает, что закон движения (второй закон Ньютона) во всех инерциальных системах отсчета имеет одинаковый вид.

В результате Галилей сформулировал принцип относительности: во всех инерциальных системах отсчета все механические процессы описываются одинаковыми законами и происходят одинаково.

Иначе говоря, уравнения механики Ньютона, описывающие движение физических тел инвариантны относительно преобразований Галилея.

А. Эйнштейн обобщил этот принцип: во всех инерциальных системах отсчета все физические процессы описываются одинаковыми законами и происходят одинаково.