5.5. Затухающие колебания

Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, то колебания будут затухать.

. (5.49)

Здесь r - постоянная величина, называемая коэффициентом сопротивления среды. Знак минус обусловлен тем, что сила и скорость v имеют противоположные направления, поэтому их проекции на ось х имеют разные знаки.

Уравнение второго закона Ньютона при наличии сил сопротивления имеет вид

. (5.50)

Применив обозначение

, (5.51)

(r - коэффициент сопротивления среды, т.е. коэффициент пропорциональности между скоростью и силой сопротивления; k – коэффициент квазиупругой силы; w₀ – собственная частота колебания системы), перепишем уравнение (5.50) следующим образом:

. (5.52)

Это дифференциальное уравнение описывает затухающие колебания системы.

При не слишком сильном трении общее решение уравнения (5.52) имеет вид:

x = A₀ e^{-b t} cos (w t+a) . (5.53)

Здесь А₀ и a - произвольные постоянные;

, (5.54)

w - частота, с которой система совершает затухающие колебания.

На рис.

В соответствие с видом функции (5.53) движение системы можно рассматривать как гармоническое колебание частоты w с амплитудой, изменяющейся по закону

А(t) = А₀ e^{-b t}. (5.55)

Верхняя из пунктирных кривых на рис. 5.14 дает график функции А(t), причем величина А₀ представляет собой амплитуду в начальный момент времени. Начальное смещение х₀ зависит, кроме А₀, также от начальной фазы a:

х₀ =А₀ cos a .

Скорость затухания колебаний определяется величиной b= r/2m, которую называют коэффициентом затухания.

Определим физический смысл коэффициента затухания. Для этого найдем время t, за которое амплитуда уменьшается в е раз. По определению е^-bt = e^-1, откуда bt = 1. Следовательно, коэффициент затухания обратно пропорционален по величине тому промежутку времени t, за который амплитуда уменьшается в е раз (е = 2,72 – основание натурального логарифма). Согласно формуле (5.5) период затухающих колебаний

. (5.56)

При незначительном сопротивлении среды (b²