5.6. Вынужденные колебания

Теперь пусть колебательная система подвергается действию внешней силы, изменяющейся со временем по гармоническому закону:

F_x = F₀ cos Wt . (5.59)

В этом случае уравнение второго закона Ньютона имеет вид:

.

Используя обозначения (5.51), запишем это уравнение следующим образом:

, (5.60)

где

f₀ = F₀ /m (5.61)

является амплитудой удельной силы (т.е. силы на единицу массы).

Уравнение (5.60) описывает вынужденные колебания. Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка.

Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения, совпадающее с уравнением (5.53),нам уже известно. Оно имеет следующий вид:

x = A₀ e^{- bt} cos (w t + a) , (5.62)

где . Найдем частное (не содержащее произвольных постоянных) решение уравнения (5.60). Для этого воспользуемся методом векторных диаграмм.

Предположим, что частное решение уравнения (5.60) имеет вид

x = A cos (Wt - j) . (5.63)

Тогда

= - wA sin (wt - j) = wA cos (wt - j +p/2) , (5.64)

= - w²A cos (wt - j) = w²A cos ( wt - j + p) . (5.65)

Подстановка выражений (5.64) и (5.65) в уравнение (5.60) приводит к соотношению

w²Acos(wt - j + p) + 2bwAcos (wt - j + p/2) + A cos (wt - j) = f₀ cos Wt.(5.66)

Из (5.66) следует, что постоянные А и j должны иметь такие значения, чтобы гармоническая функция f₀ cos Wt была равна сумме трех гармонических функций, стоящих в левой части уравнения.

Из рис. 5.15 , видно, что такое совпадение возможно лишь при значении амплитуды А, которое определяется условием

(- w²) А² + 4b²w²А² = , (5.67)

откуда

. (5.68)

Рис. 5.15 позволяет получить также и значение j, которое представляет собой величину отставания по фазе вынужденного колебания (5.63) от обусловившей его вынуждающей силы. Из рисунка следует, что

. (5.69)

Подставив в (5.63) значения А и j, определяемые формулами (5.68) и (5.69), получим функцию, представляющую собой решение неоднородной части уравнения (5.60):

cos (wt – arctg ) . (5.70)

Функция (5.70) в сумме с (5.62) дает общее решение уравнения (5.60), описывающее поведение системы при вынужденных колебаниях:

cos (wt – arctg ) + A₀ e ^{- bt} cos (Wt + a) (5.71)

Второе слагаемое в уравнение (5.71) играет заметную роль только в начальной стадии процесса, при так называемом установлении колебаний (рис. 5.16).

Таким образом, функция (5.70) описывает установившиеся вынужденные колебания. Они представляют собой гармонические колебания с частотой, равной частоте вынуждающей силы. Амплитуда (5.68) вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы. Для данной колебательной системы амплитуда зависит от частоты вынуждающей силы. Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы, причем величина отставания j также зависит от частоты вынуждающей силы (см. (5.69)).

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие вынуждающей силы при этой частоте.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний называется резонансом.

Исследуем зависимость амплитуды вынужденных колебаний от параметров w и b и построим кривые (рис. 5.17). Из выражения (5.68) следует, что независимо от величины b при w = 0 амплитуда А = const = А₀ (действует стати­ческая сила)

. (5.72)

При w А. Явление резонанса возникает при частоте w_рез, которую можно найти, исследовав на экстремум функцию (5.68). Эта функция максимальна, когда ее знаменатель минимален. Продифференцировав подкоренное выражение в знаменателе (5.68) по w и приравняв это к нулю, получим условие для определения w_рез.:

-2(2w_резb² = 0,

откуда

.

Таким образом, максимум резонансной кривой смещен влево по оси w от w₀; это смещение будет тем больше, чем больше коэффициент затухания b. Подставив (5.73) в (5.68), получим выражение амплитуды при резонансе:

. (5.74)

Формула (5.74) показывает, что, чем меньше коэффициент затухания, тем сильнее изменяется с частотой амплитуда вблизи резонанса и тем «острее» и выше получается максимум кривой вплоть до ее разрыва при b = 0 (см. рис. 5.17).

Вредные и полезные явления резонанса широко распространены в природе и технике. Явление резонанса важно в тех случаях, когда необходимо обнаружить слабые колебания или усилить их. На этом явлении основана вся аппаратура, воспринимающая и усиливающая звуковые и электрические колебания.

Нередко явление механического резонанса служит причиной катастроф. Например, собственная частота вибраций корпуса корабля или крыльев самолета должна сильно отличаться от частоты колебаний, которые могут быть возбуждены вращением гребного винта или пропеллера. В противном случае могут возникнуть разрушения. При вращении плохо отцентрированного мотора вследствие явления резонанса может произойти его поломка и повреждение фундамента здания, на котором расположен мотор.