4.2. Законы теплового излучения

Между спектральной плотностью энергетической светимости и поглощательной способностью любого тела имеется связь, которая выража­ется соотношением:

.

(Здесь и далее характеристики, отмеченные звездочкой, относятся к абсолютно черному телу). Соотношение (4.6) называется законом Кирхгофа, а r^*_l,T - универсальной функцией Кирхгофа. Этот закон формулируется сле­дующим образом: отношение спектральной плотности энергетической светимости любого тела к его поглощательной способности при дан­ной длине волны и температуре является величиной постоянной для всех тел и равной спектральной плотности энергетической светимо­сти абсолютно черного тела r^*_l,T при той же температуре и дли­не волны (так как a^*_l,T = 1).

Из закона Кирхгофа следует, что чем больше тело поглощает, тем больше оно излучает энергии, то есть спектральная плотность энер­гетической светимости любого тела в любой области спектра всегда меньше спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела при тех же значениях l и Т, так как a_l,T < 1. Так, например, если раскаленную белую чашку с черным рисунком быстро достать из печи в светлой комнате, то сначала темный рису­нок светится ярче белого фона. После охлаждения, когда собствен­ное излучение чашки становится исчезающе малым, вновь становится видным темный узор на белом фоне.

Кроме того, из закона Кирхгофа следует, что если тело не по­глощает электромагнитные волны какой-то частоты, то оно их и не излучает, так как при a_l,T = 0, r_l,T = 0.

Из закона Кирхгофа видно, что основной задачей при описании теплового излучения являлось нахождение зависимости спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела от температуры и длины волны (частоты), так как она универсальна для всех тел.

Зависимость функции R^*_T от температуры была получена Д.Стефаном (1879 г.) из анализа экспериментальных данных, а за­тем Л.Больцманом (1884 г.) - теоретическим путем. Эти ученые ус­тановили, что энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна его абсолютной температуре в четвертой степени:

, (4.7)

где s = 5,67?10^-8 Вт/(м^2?К⁴) - постоянная Стефана-Больцмана (найденная экспериментально). Формула (4.7) носит название закона Стефана - Больцмана.

Значительно сложнее оказалась задача отыскания универсальной функции Кирхгофа, то есть зависимости r^*_l,T от длины волны и температуры. Попытка получить теоретически вид функции r^*_l,T на осно­ве представлений классической физики не увенчалась успехом. Экс­периментально же была получена система кривых (рис. 4.2), дающих распределения r^*_l,T по длинам волн при фиксированных темпера­турах (Т = const). Исследование хода кривых на рис. 4.2 устанавливает следующие закономерности.

1. Зависимость r^*_l,T от длины волны изображается непрерыв­ной кривой, обращающейся в нуль при малых и больших длинах волн.

2. Энергия излучения абсолютно черного тела распределена по длинам волн неравномерно: кривая имеет ярко выраженный максимум.

3. По мере повышения температуры тела максимум кривой смеща­ется в область коротких длин волн.

4. Площадь, ограниченная кривой и осью абсцисс, равна энер­гетической светимости абсолютно черного тела R^*_T .

Зависимость длины волны l_max , соответствующей максимуму функции r^*_l,T от температуры, устанавливающая смещение l_max в коротковолновый диапазон длин волн при увеличении температуры тела была установлена немецким физиком В.Вином (1893 г.) и получила название закона смещения Вина:

, (4.8)

где b₁ = 2,9?10^{-3 м}?K - постоянная Вина.

Закон смещения Вина, таким образом, устанавливает: длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости абсо­лютно черного тела, обратно пропорциональна абсолютной темпера­туре этого тела.

Этот закон объясняет, почему доля энергии, приходящейся на видимые лучи, воз­растает, и свечение тела при нагревании переходит от красного к белому калению.

Аналитически установить вид функции r^*_l,T долгое время не удавалось. Только в 1900 году немецкий физик Макс Планк предположил, что энергия излучения испускается телом не непрерыв­но в виде волн, а отдельными порциями – квантами. Энергия одного кванта:

ε = hν , (4.9)

где n - частота излучения, а h = 6,62?10^-34 [Дж?с] – константа, получившая название постоянной Планка.

Исходя из этого предположения, М. Планк получил распределение для спект­ральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела:

, (4.10)

где l - длина волны излучения, c = 3?10⁸ м/с - скорость света, k =1,38?10^-23 Дж/К - постоянная Больцмана. Выражение (4.10) получило название формулы Планка для функции распределения r^*_l,T .

Из формулы Планка можно получить все законы теплового излу­чения. Действительно, интегрируя r^*_l,T по всем длинам волн от 0 до ¥, получим значение энергетической светимости абсолютно черного тела R^*_T (площади под кривой r^*_l,T =f(l)):

.

Полученное выражение совпадает с законом Стефана – Больцмана (4.7).

Взяв производную по l от функции Планка (4.10) и приравняв её к нулю, найдем положение максимума этой функции:

, (4.12)

Полученное выражение совпадает с законом смещения Вина (4.8).

Если подставить в формулу Планка (4.10) значение длины волны l_max =b₁/Т, то получим выражение, определяющее зависимость между значением максимальной спектральной плотности энергетичес­кой светимости и температурой

, b₂ = 1,29?10^-5 Вт/(м³?K⁵), (4.13)

и называемое вто­рым законом Вина. Этот закон гласит: максимальное значение спект­ральной плотности энергетической светимости абсолютно черного те­ла при данной температуре пропорционально абсолют­ной температуре этого тела в пятой степени.

Таким образом, формула Планка хорошо согласуется с экспери­ментальными данными, а также содержит в себе все законы теплового излучения. Кроме того, она позволяет вычислить постоянные в зако­нах теплового излучения.

Выдвижением гипотезы о дискретности излучения М.Планк зало­жил основы квантовой теории.