4.6. Силы и потенциальная энергия

Зная потенциальную энергию как функцию координат взаимодействующих материальных точек, можно вычислить действующие на эти точки силы.

Рассмотрим сначала отдельную материальную точку, находящуюся в силовом поле неподвижных тел.

. (4.23)

В проекциях x, y, z уравнение (4.23) запишется в виде

F_xdx + F_ydy +F_zdz = - dE_п . (4.24)

Допустим, что смещение происходит вдоль какой-либо одной координатной оси, например х. Тогда F_xdx =- [dE_п]_y,z и, следовательно,

.

Индексы y, z означают, что при смещении, а следовательно, и при дифференцировании координаты y и z не должны изменяться. Величины, получающиеся в результате такого дифференцирования, называются частными производными функции Е_п. Они обозначаются символом ¶, в отличие от символа d, применяемого при дифференцировании функций одного независимого переменного. Аналогичные соображения справедливы и для проекций силы вдоль остальных двух осей y, z. Таким образом,

F_x = - (∂Е_п/∂х), F_y = - (∂Е_п/∂y), F_z = - (∂Е_п/∂z) . (4.25)

Три формулы (4.25) можно объединить в одну векторную формулу. Для этого умножим их на единичные векторы координатных осей и сложим. В результате получим:

F = - grad Е_п , (4.26)

где

. (4.27)

Вектор, определяемый выражением (4.27), называется градиентом скаляра Е_п. Для него наряду с обозначением grad Е_п применяется также обозначение ÑЕ_п, значок Ñ (набла) означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона или набла-оператором:

. (4.28)