2.7. Правила Кирхгофа

Простые электрические цепи достаточно легко рассчитываются с применением законов Ома и законов последовательного и параллельного соединения проводов. Более сложные разветвленные электрические цепи удобнее рассчитывать при помощи правил Кирхгофа.

Рассмотрим произвольную разветвленную цепь, на отдельных участках которой включены источники тока с известными характеристиками. Точка цепи, в которой сходится более двух проводов (рис. 2.13), называется узлом.

Первое правило Киргхофа. Сумма токов втекающих в узел равна сумме токов, вытекающих из узла:

. (2.19)

Эквивалентная формулировка первого правила Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю - . При этом втекающим и вытекающим из узла токам приписываются противоположные знаки. В нашем случае (рис. 2.13): .

Первое правило Кирхгофа, по сути, является следствием закона сохранения заряда. Оно также отражает тот факт, что при постоянном токе в узле не происходит нарастающее во времени накопление заряда того или иного знака. Для этого нужно, чтобы количество заряда, втекающее в узел в единицу времени, было равно количеству заряда, вытекающего из него.

Второе правило Кирхгофа. В произвольном замкнутом контуре алгебраическая сумма ЭДС, действующих в этом контуре, рана сумме падений напряжений на отдельных участках этого контура:

(2.20)

Некоторые слагаемые в (2.20) как слева, так и справа могут быть отрицательными.

Для доказательства второго пра­ви­ла Кирхгофа рассмотрим произ­вольный замкнутый контур в цепи, который в общем случае может включать в себя внешние сопротивления и ЭДС на каждом участке (от узла до узла). Положительным будем считать направление по часовой стрелке. Пусть для определенности наш контур включает три участка (рис. 2.14). Направление токов расставим произ­воль­но. Применим закон Ома (2.18) к каж­до­му из трех неоднородных участков цепи. Для первого участка 2-1 работа элек­три­ческого поля положительна, а работа источника (он заряжается) отрицательна, поэтому:

.

На втором участке цепи 2-3 также работа электрического поля положительна, а работа источника отрицательна, поэтому:

.

На третьем участке цепи 3-1 работа источника положительна, поэтому:

.

Сложим правые и левые части трех последних уравнений, предварительно домножив первое уравнение на «-1». Тогда все потенциалы сократятся, в результате получим:

.

Последнее уравнение совпадает с формулировкой второго правила Кирхгофа (2.20) с учетом всех замечаний, сделанных по поводу знаков токов и ЭДС (выражения типа можно формально рассматривать как падения напряжений на внутренних сопротивлениях).

Отметим, что второе правило Кирхгофа, являясь следствием закона Ома для неоднородного участка цепи, по сути дела является следствием закона сохранения энергии.

Правила Кирхгофа применимы и в том случае, когда в цепь включены неомические, т.е. не подчиняющиеся закону Ома () элементы. Такие элементы еще называются нелинейными, поскольку зависимость напряжения на них от силы тока нелинейная. Нелинейными являются, например, большинство радиотехнических элементов: диоды, транзисторы, электронные лампы. Расчеты ведутся также, только падение напряжения на нелинейном элементе следует обозначать не , а . Второе правило Кирхгофа при этом имеет вид: .

Рассмотрим примеры.

Пример 2.9. Параллельное соединение источников тока. В схеме на рис. 2.15 e₁=14 В, Ом, e₂=12 В, Ом, Ом. Определить токи во всех ветвях.

Решение. Произвольно расставим токи во всех ветвях (рис. 2.15).

В цепи имеется два узла: В и Е. Запишем первое правило Кирхгофа для узла В (для узла Е получится то же самое уравнение):

.

Так как в задаче три неизвестных тока, необходимо три уравнения. Для этого достаточно рассмотреть какие-либо два замкнутых контура цепи и записать для них второе правило Кирхгофа.

Контур АВЕFA: .

Контур АВСDEFA: .

Отметим, что положительное направление обхода контуров задает последовательность букв, которыми они обозначены. Например, в контуре АВЕFA положительное направление обхода – по часовой стрелке. Напомним, что ЭДС первого источника взята со знаком «+», так как при движении вдоль контура по часовой стрелке он проходится от клеммы «-» к клемме «+». ЭДС второго источника взята со знаком минус, так как при движении по часовой стрелке он проходится от клеммы «+» к клемме «-». В правой части уравнения оба тока взяты знаком «+», поскольку они текут вдоль положительного направления обхода - по часовой стрелке. Такие же правила использованы и для контура АВСDEFA.

Перед решением полученной систему из трех уравнений удобно подставить в них известные величины:

В результате решения системы получаем ответ: А, А, А. Так как все токи получились положительными, их направления были случайно указаны верно.

Анализируя полученный результат, можно сделать вывод, что первый источник питает не только нагрузку , но и заряжает второй источник.

Пример 2.10. В схеме на рис. 2.16 Ом, Ом, В, В. Определить токи во всех ветвях цепи. Внутренними сопротивле­ниями источников пренебречь.

Решение. Произвольно расста­вим токи на всех участках цепи (от узла до узла).

В цепи четыре узла. Применяем первое правило Кирхгофа для трех узлов D, Н и В:

Узел D: .

Узел Н: .

Узел В: .

Уравнение для узла F записывать нет необходимости, поскольку оно является просто следствием (линейной комбинацией) уравнений для узлов D, В и Н. Можно сформулировать общее правило: если в цепи имеется n узлов, то первое правило Кирхгофа имеет смысл применить для (n-1) узла.

Так как в задаче шесть неизвест­ных, для ее решения нам необходимо записать шесть уравнений. Оставшиеся три уравнения получим, применяя второе правило Кирхгофа для каких-либо трех замкнутых контуров в цепи таким образом, чтобы все ЭДС и сопротивления входили в систему уравнений. Учитывая, что внутренние сопротивления пренебрежимо малы, получим:

Контур АВНFGA: .

Контур ВСDHB: .

Контур DEFHD: .

Далее подставляем численные значения ЭДС и сопротивлений и решаем систему уравнений. Ответ: А, А, А, А, А, А. Токи и получились отрицательными, следовательно, они направлены в стороны, противоположные указанным на рис. 2.16.