Відношення між формулами у пропозиційній логіці

В якості фундаментальних видів логічних відношень між складними описовими висловлюваннями, записаними у вигляді формул, у логіці висловлювань виокремлюють:

- відношення логічної сумісності;

- відношення логічної рівносильності;

- відношення логічного випливання.

Відношення логічної сумісності - це відношення, яке має місце між складними описовими висловлюваннями, які при однакових наборах логічних значень простих описових висловлювань, що їх складають, можуть одночасно приймати однакове значення істинності.

У логіці висловлювань розрізняють два типи відношень логічної сумісності між складним описовими висловлюваннями:

- відношення логічної сумісності за істинністю;

- відношення логічної сумісності за хибністю.

Відношення логічної сумісності за істинністю — це відношення, яке має місце між складними описовими висловлюваннями, які можуть бути істинними при однакових наборах логічних значень простих описових висловлювань, що їх складають. У протилежному випадку ці складні описові висловлювання будуть несумісними за істинністю.

Відношення логічної сумісності за хибністю - це відношення, яке має місце між складними описовими висловлюваннями, які можуть бути хибними при однакових наборах логічних значень простих описових висловлювань, що їх складають. У протилежному випадку ці складні описові висловлювання будуть несумісними за хибністю.

Визначити, чи є деякі формули логічно сумісними можна за допомогою методу таблиць істинності. Для визначення відношення логічної сумісності між декількома формулами за допомогою методу таблиць істинності необхідно побудувати спільну таблицю істинності для цих формул.

Якщо в цій таблиці знайдеться хоча б один рядок, де кожна із досліджуваних формул приймає значення «істина», тоді ці формули сумісні за істинністю. Якщо рядок, де формули є істинними, відсутній, тоді вони є несумісними за істинністю.

Якщо в цій таблиці знайдеться хоча б один рядок, де кожна із досліджуваних формул приймає значення «хиба», тоді ці формули сумісні за хибністю. Якщо рядок, де формули є хибними, відсутній, тоді вони не є сумісними за хибністю.

Визначимо за допомогою методу таблиць істинності, чи є формули55" class="lazyload" data-src="/files/uch_group88/uch_pgroup293/uch_uch6851/image/image055.jpg">логічно сумісними за істинністю

або логічно сумісними за хибністю. Побудуємо для цих трьох формул таблицю істинності.

Із цієї таблиці видно, що досліджувані формули є логічно сумісними за істинністю, оскільки в їхній спільній таблиці є 6-ий рядок, де усі вони приймають значення «істина».

Із цієї таблиці також випливає, що досліджувані формули не є сумісними за хибністю, оскільки в їхній спільній таблиці немає рядка, де вони були б усі хибними.

На підставі фундаментального відношення логічної сумісності у логіці висловлювань визначають інші типи відношень за істинністю й хибністю між формулами:

— відношення протиріччя (контрадикторносгі);

- відношення протилежності (контрарності);

- відношення підпротилежності (субконтрарності).

Формули знаходяться у відношенні протиріччя тоді і тільки тоді, коли вони несумісні за істинністю й несумісні за хибністю.

Формули знаходяться у відношенні протилежності тоді і тільки тоді, коли вони несумісні за істинністю, але сумісні за хибністю.

Формули знаходяться у відношенні підпротилежності тоді і тільки тоді, коли вони сумісні за істинністю, але несумісні за хибністю.

Відношення логічної рівносильності - це відношення, яке має місце між складними описовими висловлюваннями, які будуть істинними або хибними при однакових наборах логічних значень простих описових висловлювань, що їх складають. Таблиці істинності рівносильних висловлювань повинні співпадати, мається на увазі останній стовпчик таблиці, який фіксує логічні значення всього висловлювання.

Побудуємо таблицю істинності для формул p^~q та ~(~pv~q).

Таблиця істинності першої і другої формул збігаються. Отже, ці формули є рівносильними.

Рівносильності ще називають правилами перетворення описових висловлювань або правилами еквівалентної заміни.

Рівносильнісгь двох формул логіки висловлювань, а також двох описових висловлювань, що відповідають цим формулам, символічно записується у такий спосіб: A ? В. Цей запис читається так: «Формула А є рівносильною формулі В».

Логічну рівносильність можна виразити і через логічний закон. Формули А і В називаються рівносильними, якщо їх еквіваленція

AB є логічним законом. Усі рівносильності логіки висловлювань є її логічними законами.

Основні рівносильності пропозиційної логіки:

За допомогою рівносильності можна одні формули перетво­рювати на інші. Такі перетворення можугь приводити до спрощення формул, їхньої мінімізації.

Еквівалентні перетворення відіграють важливу роль у пропози- ційній логіці. Звідси таке її визначення:

Логіка висловлювань - це розділ класичної логіки, який вивчає складні описові висловлювання, закони їх утворення та перетворення.

Логічне випливання (або логічне слідування) - це відно­шення, яке існує між засновками й висновком міркування.

Якщо засновки міркування представити у вигляді формули А, а його висновок - у вигляді формули В, тоді можна стверджувати, що із формули А логічно випливає формула В, коли імплікація A → В є законом логіки. Символічно логічне випливання у логіці висловлю­вань записують так:Вираз або групою слів («не є», «не належить», «не відноситься», «не зараховується», «не виявляється»), або тире («Знання-сила», «Логіка - наука»), або простим узгодженням слів («Троянда цвіте», «Сонце світить»).

Часто у судженні зв’язка буває невираженою у явному вигляді. Тоді вона домислюється та відтворюється. Відтворивши невиражену зв’язку у судженні «.Цукор солодкий», отримаємо судження «Цукор є солодкий».

• Квантор (від лат. quantum - скільки) - це частина судження, що займає місце, як правило, перед суб’єктом судження та вказує на те, яка частина його обсягу належить або не належить обсягу предиката.

Розрізняють два види кванторів: -

- квантор спільності та

- квантор існування.

Квантор спільності вказує на те, що кожен елемент обсягу суб’єкта належить або не належить обсяіу предиката.

Він виражається кванторними словами: «кожен», «жоден», «ніхто», «усі», «будь-який», або рівнозначними словами, й позначається символом VS, що означає «кожен S».

Квантор спільності ще називають загальним квантором або універсальним квантором.

Квантор існування вказує на те, що окремий елемент або частина елементів обсягу суб’єкта належить або не належить обсягу предиката.

Він виражається кванторними словами: «деякі», «окремі», «час­тина», «існує», «більшість», «меншість», або рівнозначними словами, й позначається символом 3S, що означає «існує S», «деякі S».

Квантор існування ще називають частковим квантором, або спеціальним квантором, або екзистенційним квантором.

Квантор у судженні може бути відсутній. Якщо він відсутній, у судження додатково вводиться кванторне слово. Введення у судження кванторних слів називається квантифікацією.

У судженні «Зірки є космічні тіла» відсутній квантор спільності. Ввівши відповідне кванторне слово, отримуємо судження «Усі зірки є космічні тіла».

Розповідне речення, в якому у явному вигляді виражені усі логічні характеристики судження за схемою «квантор - суб’єкт - зв’язка - предикат» називається нормальною формою судження.

За складом суб’єкта та предиката судження поділяють на прості та складні.

Простим називається судження, яке складається з одного суб’єкта та одного предиката.

Складним називається таке судження, в якому наявні декілька суб’єктів або предикатів.

Враховуючи внутрішню суб’єктно-предикатну структуру прос­того судження, формули складних описових висловлювань пропози- ційної логіки записують так:

Із наведених перетворень очевидно, що пропозиційна логіка розглядає прості описові висловлювання, які виражають прості судження як єдине ціле, без поділу на структурні елемента.

На відміну від логіки висловлювань, атрибутивна логіка (від лат. Ottributum - додане, невід’ємне, властивість) досліджує внут­рішню суб’єктно-предикатну структуру простого судження. Вона звертає особливу увагу на одномісні предикати, які позначають та представляють властивості суб’єктів судження. Атрибутивну логіку ще називають логікою атрибутивних суджень або логікою категоричних атрибутивних суджень (від грец. kategorikos - ясний, безумовний, чіткий, однозначний, який не припускає інших тлу­мачень).

Судження, предикат якого представляє таку ознаку, як властивість суб’єкта, називається атрибутивним. Його інша назва - судження про властивості.

Атрибутивне судження можна розглядати як судження про повне або часткове включення або невключения обсягу суб’єкта в обсяг предиката. Між суб’єктом та предикатом атрибутивного судження можливі такі відношення:

1. Рівнозначність. У судженні «Усі квадрати - рівносторонні прямокутники» суб’єкт (S) («квадрати») та предикат (P) («рівно- сторонні прямокутники») перебувають у відношенні рівнозначності, оскільки квадрат — це обов’язково рівносторонній прямокутник, а рівносторонній прямокутник - це обов’язково квадрат.

Схема відношення рівнозначності:

2. Перетин. У судженні «Деякі студенти - відмінники» суб’єкт (S) («студенти») та предикат (P) («відмінники») перебувають у відношенні перетину, оскільки студент може бути відмінником, а може ним не бути, так само й відмінник може бути студентом, але може ним не бути (наприклад, бути школярем).

Схема відношення перетину:

3. Підпорядкування. У судженні «Усі вовки - хижаки» суб’єкт (S) («вовки») та предикат (P) («хижаки») перебувають у відношенні підпорядкування, оскільки вовк - це обов’язково хижак, але хижак - не обов’язково вовк.

Схема відношення підпорядкування:

66

4. Несумісність. У судженні «Жодна планета не є зіркою» суб’єкт (S) {«планета») та предикат (P) {«зірка») перебувають у відношенні несумісності, оскільки жодна планета не може бути зіркою, а жодна зірка не може бути планетою.

Схема відношення несумісності:

В атрибутивному судженні виокремлюють якісний та кількісний аспекти.

Якістю атрибутивного судження називається ствердний або заперечний характер його зв’язки.

Кількістю атрибутивного судження називається характер співвідношення обсягів двох його термінів - суб’єкта та предиката.

Атрибутивні судження поділяють на види:

- за якістю;

- за кількістю;

- за кількістю та якістю одночасно.

За якістю атрибутивні судження бувають ствердні та заперечні.

Ствердними називаються судження, в яких повідомляється про належність предиката суб’єкту судження.

Його формула: SeP.

Приклади: «Вітер (S) [є] холодний (Р)», «Полин (S) [є] лікарською рослиною (Р)», «Франція (S) є республіка (Р)», «Сократ (S) [є] мудрий (Р)», «Платон (S) [є] філософ (Р)».

Заперечними називаються судження, в яких повідомляється, що предикат не належить суб’єкту судження.

Його формула: S не є Р.

Приклади: «Троянди (S) не [є] червоні (Р)», «Дельфіни (S) не [є] риби (Р)», «Ідея (S) не [є] вдала (Р)», «Двері (S) не [є] закриті (Р)», «Аудієнція (S) не [є] відбулася (Р)».

Його формули:

Приклади: «Деякі (3) птахи ($) не [є] [такими, що] (-)літають (Р)», «Деякі (3) люди (S)неє(_) чесними(Р)», «Деякі(3)монархії(S) не [є] (-) парламентськими (Р)».

Ствердні судження позначають двома першими голосними бук­вами латинського слова affirmo (стверджую), заперечні - голосними буквами латинського слова nego (заперечую).

Формули атрибутивних суджень: «Усі S є Р», «Жодне S не є Р», «Деякі S є Р», «Деякі S не є Р» вважаються нормальними формами судження, або його стандартними формами, або його канонічними структурами.

Важливим для характеристики атрибутивних суджень є відно­шення між обсягами суб’єкта та предиката, яке називається розподі- леністю термінів.

Розподіленість термінів - це логічна характеристика міри входження сфери обсягу одного терміна атрибутивного судження у сферу обсягу іншого терміна, або міри вилучення з неї.

Термін вважається розподіленим, якщо його обсяг повністю включається або виключається із обсягу іншого терміна. Це озна­чає, що у судженні повідомляється про всі елементи обсягу терміна.

Термін вважається нерозподіленим, якщо його обсяг частко­во включається або виключається із обсягу іншого терміна. Це означає, що в судженні йдеться лише про окремий елемент або частину елементів обсягу терміна.

Розподілений термін позначають знаком (+), а нерозподілений - знаком (-).

Існують такі варіанти розподіленості термінів в атрибутивних судженнях.

Загальноствердне судження має два варіанти розподіленості термінів. У першому випадку, який найчастіше зустрічається, суб’єкт розподілений, предикат - нерозподілений.

Його схема:

Його схема:

Атрибутивна логіка, таким чином, - це логічна теорія, де досліджують судження про властивості та їх місце і роль у структурі міркувань.

Вона широко застосовується у гуманітарних та соціальних науках, соціогуманітарних науках (наприклад, соціології), природничо-гуманітарних науках (наприклад, психології¹), а також у повсякденних міркуваннях людей.

Атрибутивна логіка має такі характерні риси:

- вивчає тільки прості судження;

-основну увагу звертає на внутрішню суб’єктно-предикатну одномісну структуру простих суджень;

- є двозначною логікою;

- бере до уваги не тільки предметне значення, а й смисл (якісний та кількісний аспекти) атрибутивних суджень.

Атрибутивну логіку започаткував в античності Платон. Пізніше її розробляли Аристотель, його учні - Теофраст (371-285) та Евдем із Родоса (др. пол. IV cτ.). У добу Середньовіччя значний внесок у логічну теорію атрибутивних суджень зробили вчені-схоласти та богослови Северин Боецій (480 - 525), Михайло Псьолл (1018 - 1096), П’єр Абеляр (1079- 1149), Вільям Шервуд (пом. 1249), Жан Буридан (1300 - 1358). У період Нового Часу викінченого вигляду атрибутивна логіка набула завдяки працям Антуана Арно (1612 - 1694) й П’єра Ніколи (1625 - 1695), Томаса Гоббса (1588 - 1679), Іммануїла Канга, Ієремії Бентама (1748 - 1832). Сучасні інтерпретації атрибутивної логіки запропонували польський логік Ян Лукасевич, російські логіки Олександр Суботін (нар. 1927), Вячеслав Бочаров (нар. 1937), Володимир Маркін (нар. 1958), український логік Авенір Уйомов (нар. 1928).

2.2.2.