Визначення логіки предикатів

В атрибутивній логіці внутрішня структура простого судження, яка виражена у простому висловлюванні, збігається із граматичним складом простого речення. Суб’єктно-предикатна одномісна структу­ра простого судження та граматична структура правильно побудо­ваного простого розповідного речення тотожні між собою.

У граматичних термінах внутрішня суб’єктно-предикатна одно­місна структура простого судження, як правило, виражається у явному вигляді. Так, просте судження «Сократ є людина» у граматичній формі може бути представлено так:

- логічний підмет (суб’єкт) - «Сократ»-,

- логічний присудок (предикат) — «людина»-,

- логічна зв’язка (копула) - дієслово «є».

Логічна зв’язка в атрибутивній логіці, яка відображає відношення між суб’єктом та предикатом, є двозначною або афункціональною, семантично навантаженою. Вона вказує на належність або неналеж- ність предмету визначеної властивості та на факт існування або неіснування предмета. Звідси поділ атрибутивних суджень на власне атрибутивні та екзистенційні судження (від лат. existentio - існування).

Якщо розглядати факт існування або неіснування предмета як належну йому властивість, екзистенційні судження із певним засте­реженням можна витлумачити як власне атрибутивні.

Прикладом такого тлумачення є наступне перетворення:

«Безпричинних явищ (S) не [є] буває (Р)» ? «Кожне явище (S) [є] має свою причину (Р)».

З метою максимально точного виразу думки у простому вислов­люванні, смисл якого виражений простим судженням із двозначною суб’єктно-предикатною зв’язкою, логіка предикатів пропонує роз­глядати та будувати внутрішній суб’єкгно-предикатний склад прос­того судження як однозначне функціональне відношення із пропо- зиційно-функціональною структурою простого висловлювання.

Схематично це можна представити так:

- в атрибутивній логіці внутрішня суб’єктно-предикатна струк­тура простого судження із одномісним предикатом виражена у граматичному вигляді:

- у логіці предикатів внутрішня структура простого описового висловлювання виражена у функціональному вигляді:

F(x),

де х - аргумент (індивід, який представляє одиничний або окремий предмет), a F - однозначна пропозиційна функція (предикат).

Розглянемо зазначену відмінність на прикладі простого описового висловлювання «Студент вивчає логіку». Це висловлювання, виражене простим судженням, в атрибутивній логіці представлено так:

«Студент (S) [є] вивчає логіку (Р)»,

а у логіці предикатів воно може бути подане за схемою ФУНКЦІЯ {аргумент) кількома способами:

- ВИВЧАЄ ЛОГІКУ {студент)-,

- ВИВЧАЄ {студент, логіка).

Отже, якщо атрибутивна логіка досліджує смислове значення або смисл простого описового висловлювання через аналіз внутрішньої суб’єктно-предикатної структури простого судження із одномісним предикатом, то логіка предикатів, навпаки, вивчає предметне значення простого описового висловлювання за допомогою аналізу його внутрішньої пропозиційно-функціональної структури.

Атрибутивна логіка орієнтована на час, часовий простір. У граматичній структурі простого судження, яке вона вивчає, присутні часові форми. Логіка ж предикатів зорієнтована на простір, зокрема, на геометричний простір. У логіко-математичній функції, на якій вона базується, представлені просторові відношення. У цьому принципова розбіжність між методологічним підходом даних класичних логік до дослідження простого описового висловлювання (або судження).

Для виявлення в представлення внутрішнього пропо- зиційно-функціонального ядра простого описового висловлю­вання логіка предикатів ввела особливі засоби-терміни: універсум міркування, ім’я, ім’я власне, ім’я загальне, терм, предметна змінна, предметна постійна, функція, функція пропозиційна, функція інтерпретаційна, предикат, предикат унарний, предикат поліарний, квантор, квантор спільності, квантор існування та припущення непорожнечі універсуму, екстенсіональності та бівалентності.

Універсум міркування у логіці предикатів - це множина предметів або клас об’єкті» із заданими властивостями та відношеннями. Його ще називають основною множиною, сферою розгляду або областю інтерпретації. Він позначаєгься символом «U» (від лат. universum - світ як ціле, множина усіх світів).

Універсум U арифметики - числа, хімії- органічні та неорганічні елементи, зоології - тварини, соціології - групи, колективи, класи, спільноти, суспільства й відповідні соціальні структури.

Для визначення універсуму міркування потрібно з’ясувати, чи належить даний предмет думки множині, яка представляє універсум чи ні.

Однією з причин введення універсуму U в логіку предикатів є необхідність обмеження предмета міркування певними смисловими рамками. Якщо їх не встановити, то кванторні вирази - «для кожного», «для ніякого» та «для деяких» - не отримують однозначної інтерпре­тації й можуть приводити до двозначностей.

Щоб розглядати й обговорювати елементи універсуму мірку­вання, необхідно для кожного з них отримати ім’я.

Ім’я в логіці предикатів - це термін, який позначає будь-який предмет.

Приклади імен: «Аристотель», «Дніпро», «столиця Франції».

Залежно від того, вказує ім’я на індивідуальний предмет чи вирізняє якийсь окремий предмет із множини предметів, усі імена поділяють на власні та загальні.

Ім’я власне у логіці предикатів - це терміп який позначає індивідуальний предмет.

Приклади власних імен: «Платон», «автор «Енеїди»», «Варшава».

Ім’я загальне в логіці предикатів - це термін, який позначає один, окремий предмет із множини предметів.

Приклади загальних імен: «місто», «книга», «держава», «природний супутник».

Власне та загальне ім’я можна розрізняти як індивідуальне та індивідуалізоване загальне.

Імена природної мови у логіці предикатів представлені термами.

Терм в логіці предикатів - це термін, який позначає індивідуальні, окремі предмети або індивіди.

Терми бувають предметними змінними та предметними постійними.

Якщо терм нічого не позначає й не представляє, його називають змінним.

У природній мові предметні змінні виражаються загальними іменами. їх головна функція полягає в тому, щоб позначити усі входження одного й того ж імені у формулу логіки предикатів. Іншими словами, на місце кожної предметної змінної одне й теж ім’я повинно підставлятися стільки разів, скільки є її входжень у правильно побудований вираз логіки предикатів. Зазначена вимога називається правилом підстановки.

Якщо терм іменує конкретний елемент із певної множини предметів, його називають постійним.

У природній мові предметні постійні виражаються власними іменами.

Важливою особливістю логіки предикатів є використання терміна «функція», запозиченого логікою із математики.

Функція в дискретній математиці та логіці предикатів - це термін, що виражає залежність одних змінних величин від інших. Ця залежність виступає такою відповідністю між змінними х та у, за якою кожному значенню х зіставляється одне-едине значення у. Вона зазвичай записується у вигляді формули: y=f(x), яка є одномісною або одноаргументною функцією. Узагальненням одномісної функції є багатомісна функція.

Прикладом функціонального відношення може бути «у батько х», оскільки у кожної людини («х») є лише один-єдиний батько («у»).

У логіці предикатів з метою аналізу простих описових висловлю­вань широко застосовують особливий вид функцій - так звані пропозиційні функції (або функції висловлювання, функції речення).

Пропозиційна функція в логіці предикатів — це функція, областю значення якої є просте описове висловлювання, в якому йдеться про певну властивість предмета чи відношення між предметами за невизначеності самого предмета чи предметів. У зв’язку із цим її ще називають предметною функцією, або предметно- істиннісною функцією.

Аргументи пропозиційних функцій насамперед виражаються власними іменами й кількісними числівниками («один», «два», «три» і т.д.). До слів, які виконують роль пропозиційних функцій, відносять­ся іменники («людина», «рослина», «місто», «брат»), прикметники («рівний», «червоний», «електропровідний», «гарний»), порядкові числівники («другий», «п ’ятий»), дієслова («біжить», «зупиняє»).

При перетворенні пропозиційної функції на змістовно визначене просте описове висловлювання предметні змінні замінюють пред­метними постійними, вираженими засобами природної мови, й відповідний вираз набуває вигляду розповідного речення.

Якщо взяти просте описове висловлювання «Тарас Шевченко - український поет», то вираз «х - український поет» постає у ролі пропозиційної функції. Кожному значенню змінної х вона ставить у відповідність, замінюючи змінну х певними постійними, якесь просте описове висловлювання, істинне чи хибне. Так, просте описове висловлювання «Уолт Уїтмен-український поет» є хибним.

При здійсненні процедури інтерпретації в логіці предикатів враховують відмінності між предметними постійними та предметними змінними. Приписування їм значень здійснюсгься такими чином, що при фіксованій інтерпретації предметних постійних допускається варіювання значень предметних змінних. Таке приписування значень може бути здійснено за допомогою особливої інтерпретаційної функції.

Інтерпретаційна функція в логіці предикатів - це функція, роль якої полягає у співставленій кожній предметній постійній деякого предмета, який заданий на області інтерпретації U. Причому предметним постійним різного виду повинні співставлятися предмети різних типів. Інтерпретаційна функція позначається символом «І».

Так, за допомогою інтерпретаційної функції предметній постій­ній «український поет» у виразі «х - український поет» співставля- ються предмети думки «Тарас Шевченко» й «Уолт Уїтмен».

У логіці предикатів із пропозиційною функцією співвідноситься предикат. Він значно звужує й обмежує пропозиційну функцію. У пропозиційній функції, представленій предикатом, аргумент має бути власним ім’ям, а сама функція - загальним. Предикату цьому випадку є однозначною функцією. Однак власне пропозиційна функція є неоднозначною функцією, оскільки дозволяє розглядати в якості імен предметів не лише власні імена, а й порожні (нульзначні) імена (скажімо ім’я «король» при аргументі «Франція XX століття») та багатозначні імена (імена й прізвища людей, географічні назви, назви організацій тощо).

Предикат в логіці предикатів - це логічна функцій, яка відображає власні імена предметів (предметні постійні) на множину логічних значень {істина, хиба}.

Аргументами логічної функції є елементи універсальної множини - предметні змінні, що вживаються у простих описових висловлюваннях, а значеннями - прості судження про властивості аргументів або відношення між аргументами, які виражені у простих описових висловлюваннях, та оцінюються як істинні або хибні. Множину тих значень аргументів, на яких предикат перетворюється в істинне висловлювання, називають областю істинності предиката.

Предикат «Білий (х)» можна перетворити у просте описове висловлювання, замінивши його предметну змінну конкретними значеннями. Так, якщо взяти х = «сніг», чи х = «цукор», чи х = «папір» (де знак «=» - метамовна рівність, скорочення для слів «є», «нале­жить»), то прийдемо до істинних висловлювань: «Сніг білий», «Цукор білий», «Папір білий».

У логіці предикатів предикати часто називають пре- дикаторами.

За кількістю аргументів розрізняють унарні та поліарні предикати.

Предикати, які позначають та представляють властивості елементів (аргументів) відповідної множини, називаються унарними. Вони ще іменуються одномісними або одноаргументними предикатами.

Приклади унарних предикатів: «лекція», «число», «високий», «бути винним».

Предикати, які позначають та представляють відношення між елементами (аргументами) відповідної множини, називаються поліарними. Вони ще іменуються багатомісними або багатоаргументними предикатами.

Приклади поліарних предикатів: «.учитель», «бути сином» - бінарні предикати; «повідомляє», «знаходиться між» - тернарні предикати тощо.

Для кількісної характеристики простого описового висловлю­вання в логіку предикатів вводяться кванторні слова або квантори.

Квантор в логіці предикатів - це логічний термін, який вказує на належність предметів до універсуму міркування.

Розрізняють два основних види кванторів: квантор спільності та квантор існування.

Квантор спільності вказує, що предикат, позначений певним символом, належить усім об’єктам даною класу або універсуму мір­кування. Він позначається символом Х/х, що означає «для кожного х».

Квантор існування вказує, що предикат, позначений певним символом, належить тільки деякій частині об’єктів із даного універсуму міркування. Він позначається символом Зх, що означає «деякі х», «існує X».

Логіка предикатів, як і атрибутивна логіка, зв’язана із при­пущенням неможливості існування порожніх імен (таких нелогічних термінів, яким у досліджуваному універсумі нічого не відповідає, які не позначають жодного предмета універсуму).

Припущення непорожнечі універсуму - кожному імені власному повинен відповідати деякий об’єкт універсуму.

У логіці предикатів неважливо, яким іменем позначається деякий об’єкт, важливо - який об’єкт названий. Тому, якщо двоє і більше імен позначають одне й те ж, незалежно від відмінності своїх смислів (інтенсіоналів), вони вважаються екстенсіонально взаємозаміню- ваними. Так, «автор «Енеїди»» та «Вергілій» - екстенсіонально вза- ємозамінювальні імена, оскільки позначають одну й ту ж людину. У протилежному випадку значення істинносгі висловлювання буде зале­жати від найменшої зміни смислу контексту, в якому воно вживається.

Припущення екстенсіональності (від лат. exstensivus — розширювальний) - якщо двоє різних імен позначають один й той же предмет, вони вважаються взаємозамінюваними та мають одне й те ж значення істинності.

Як й у пропозиційній та атрибутивній логіці, в логіці предикатів зберігається припущення двозначності або бівалентності. Тому логіку предикатів зараховують до класичної логіки.

Припущення бівалентності (від лат. ⅛⅛ - двічі, Valentia - сила) — кожне просте описове висловлювання логіки предикатів або істинне, або хибне.

Отже, логіка предикатів - це логічна теорія, в якій процес міркування аналізується з урахуванням не тільки істинності простих описових висловлювань, а також і їхньої внутрішньої структури. Вона ще називається кванторною логікою або функціо­нальною логікою (від i∖zn.fUiictio - здійснення, виконання).

Логіка предикатів є розширеним варіантом логіки висловлювань. Вона побудована на основі логіки висловлювань. Усі закони логіки висловлювань є законами логіки предикатів, але не навпаки. Усі міркування, які досліджуються в рамках логіки висловлювань, можуть бути також проаналізовані в рамках логіки предикатів, але не навпаки.

Виокремлюють логіку предикатів першого порядку, другого порядку, третього порядку чи будь-якого іншого ступеня порядку. У логіці предикатів першого порядку квантори зв’язують предметні змінні, завжди діючи лише на їхній множині. Логіка предикатів другого порядку дозволяє одному із кванторів зв’язувати не тільки предметні змінні, але й предикати та функції, діючи на підмножинах множин предметних змінних та пропозиційних функцій. Логіка предикатів третього порядку дозволяє діяти квантором на множині пропозиційних функцій і т.д.

Іншими словами, логіка предикатів є логікою предикатів першого порядку тоді, коли квантифікація в ній здійснюється тільки за індивідними змінними. Логіки більш високих порядків допускають квантифікацію і за іншими одницями мови, наприклад, за пропози- ційними, предикатними або функціональними змінними.

У цьому ряду логіка предикатів першого порядку відіграє особ­ливу роль, оскільки в ній виражається вся аксіоматика теорії множин, однак, коли виникає потреба у мові більш багатій виразними можли­востями, вдаються до логік іншого порядку.

Логіка предикатів широко застосовується у математичних, тех­нічних галузях, інформаційних технологіях, у різних сферах гумані- тарного пізнання, де використовуються методи й засоби логічного моделювання, зокрема, у лінгвістиці, економіці, соціології тощо.

Імена розробників логіки предикатів можуть скласти невелику галерею. Серед них чітко виокремлюється ім’я її засновника німець­кого математика Готлоба Фреге, а також його критиків та послідов­ників - британських філософів та математиків Альфреда Уайтхеда (1861 - 1947), Бертрана Рассела (1872- 1970), італійського логіка та математика Джузеппе Пеано (1858 -1932), німецького математика Давида Гільберта (1863- 1943) й американського логіка і математика Алонзо Чорча (1903 - 1995).

2.3.2.