Упорядкування в системі множин (понять)

Якщо P - упорядкована множина, то Р* - подвійна упорядкована множина, отримана обертанням відношення порядку у множині Р. Якщо P містить єдиний мінімальний елемент, то він називається найменшим, або О-елементом, та позначається 0.

• Атоми - це елементи, які покривають 0 (якщо 0 існує).

• Коатоми - елементи, що покриваються одиницею.

Упорядкована множина P подається за допомогою її діаграми, орієнтованого графа Р, у якому з вершини а до вершини b проведене орієнтоване ребро. Це можливо лише тоді, коли b покриває а. Діаграма будується знизу нагору і без стрілк.

Приклад

І Ланцюг - це упорядкована множина, у котрій будь-які два елементи

При відображенні f: N → N кінцевої множини N на себе поняття сюр’єктивності, ін’єктивності та бі’єктивності збігаються. Для безкінечної множини це не вірно. Наприклад, ін’єктивно, але не сюр’єктивно.

Припустимо, що множини N та R частково упорядковані (рис. 11)

Алгебраїчний аналіз призводить до відомого класу відображень:

Припустимо, що N і R визначені структури одного типу, наприклад групи, кільця або векторні простори з однією і тією же областю скалярів. Відображення f: N → R, яке зберігає всі операції називається гомоморфізмом.

За допомогою перетинання алгебраїчних структур утворюються класи сюр’єктивних монотонних відображеннь або ін’єктивні гоморфізми.

Дискриптивні уявлення відображень

У морфізма (N, R, f) є дві корисні інтепретації:

І Нехай множина N упорядкована за допомогою фіксованого відношення повного порядку. Елементи множини N представимо як номера букв у слові. У цьому випадку на місці з номером і ∈ N стоїть буква L ∈ R, за умовою, що f(i)=L. У цьому випадку, відображення f можна розглядати як слово довжини п, що складене з букв алфавіту R, з індексами з N.

II Упорядкуємо за допомогою відношення повного порядку всі елементи множини R і розглянемо їх як блоки розбивки множини. Якщо f(a) = Ь, то предмет a∈ N втілений у блок Ь, та блок Ь містить предмет а.

Таким чином, інтепретуємо морфізм f: N → R як засіб заповнення блоків множини R предметами з множини N. У результаті одержуємо:

Якщо ланцюг N = {aι, a2,..., a∏} то відображенн f =

ґ a_l...a_n

можна однозначно зіставити слово f(aι) f(a2)... f(a_n).

Існує рівно стільки монотонних слів довжини п, складених з алфавіту R, скільки п-мультимножин на множині R. У прикладі наведеному вище, 3-мультимножини перераховані в двох перших стовпчиках. Якщо обмежиться строго монотонними словами, то утвориться сімейство всіх підмножин потужності п множини R.

2.3.