Філософсько-логічні засади теорії множин Г. Кантора

До ідей теорії множин, як зазначає Ф. Медведев, у XIX столітті зверталися чимало математиків, проте найбільше - Р. Дедекінд. Для Г. Кантора безпосереднім стимулом до теоретико-множинних досліджень стало його зайняття теорією тригонометричних рядів. Після того, як він довів теорему єдиності представлення функції тригонометричним рядом загального вигляду, що сходиться до неї на відрізку, його зацікавило питання можливості узагальнення теореми в 40 разі, коли ряд співпадає в усіх точках відрізка.

Розкриємо філософсько-логічні підстави теорії множини Г. Кантора. Осмислення змісту філософських категорій континуального, дискретного хараткеру, що сформувалися в античності, середньовічній культурі, епоху Нового часу, дало змогу німецькому математикові сформулювати теорію нескінченних упорядкованих множин, або трансфінітну арифметику.

Ідеї теоретико-множинного пояснення діалектичних і математичних побудов імпліцитно були присутні в працях мислителів античності й середньовіччя. У діалогах Платона «Парменід», «Філеб» (до останнього безпосередньо звертається Г. Кантор), такі ідеї можна виділити під час аналізу з’ясування античним мислителем суті «єдиного». У «Парменіда» в межах визначення абсолютного та відносного значення єдиного Платон виголошує вустами Парменіда фразу: «А будучи більше або менше тих величин, з якими воно сумірно, воно в порівнянні з меншими міститиме більше заходів, а в порівнянні з великими - менше»^[41], сенс якої може бути інтерпретований як основа теореми про лінійні точкові множини, та й увесь діалог Аристотеля та Парменіда, що стосується з’ясування уявлень про єдиний, нагадує положення загального вчення про множини Г. Кантора.

У платонівській діалектиці єдиного й іншого, наявній у «Парменід і», представлено декілька видів єдиного. Перший - протилежний будь-якій множині. Другий є поєднанням множинного, його Платон називає «єдине існуюче». Третій вид єдиного - це одиниця, з якої розпочинається відлік, і яка протилежна будь-якому іншому числу. Платон визначає єдине і як безмежне, нескінченне, незмінне. Ідея про єдине, що перебуває в «собі самому», ґрунтується на визначенні відношення цілого й частини. Платонівський Парменід говорить про «хитромудру гру». Спочатку він береться довести наявність єдиного, а потім - відсутність. У бесіді з Аристотелем він стверджує, що зміна з буття в небуття випробовує не «єдине існуюче», а передбачуване «єдине неіснуюче».

У контексті вчення про «єдине» можна інтерпретувати ідею межі. Єдине постійно змінюється. Переходячи від «було» до «буде», воно зустрічається з «тепер» як межею між минулим і майбутнім.

Г. Кантор безпосередньо не аналізує платонівське обґрунтування єдиного в діалозі «Парменід», але розглянуті нами визначення, представлені в ньому, дають змогу краще зрозуміти категорії «єдиного» та «багато чого» у «Філебі», до якого звертається німецький математик у статті «Про єдину властивість усіх дійсних чисел». У ній показано, що сукупності як раціональних, так і алгебричних чисел підпадають під єдине поняття рахункових множин. Лише після доказу того, що існують і цілком певні «численні» математичні множини, поняття рахунку отримує в Г. Кантора сенс і значення. Платон у «Філебі» порівняльну характеристику задоволення й розуміння розпочинає з аналізу категорій єдиного та багато чого. Античний філософ згодом замінює ці категорії з посиланням на Божественне одкровення на категорії безмежного та межі. На думку Г. Кантора, число в діалозі «Філеб» визначене як синтез межі та безмежного. Граничне, описуване Платоном у «Філебі», розглядається німецьким математиком як обмеження (межа) множинності. Межу усвідомлюють як «упорядковану сукупність» різних множин.

Осмислюючи зміст філософських категорій єдиного та багато чого, Г. Кантор трактує множину в платонівському контексті, розглядаючи його як низку абстрактних об’єктів інтуїції. Множина постає як клас, сукупність об’єктів будь-якої якої природи. Істотно передусім те, що збори об’єктів розцінюються як один об’єкт (мислиться як єдине ціле). Кожен елемент множини розглядається з позиції ознак, що утворюють зміст певного поняття. Платон математичним об’єктам приписує самостійне існування, вони розглядаються як побудови розуму, який, використовуючи діалектичну здатність, «не видає свої гіпотези за щось первинне, навпаки, вони для нього - лише припущення, тобто деякі підступи та розсуд до початку всього, яке вже не є ймовірним»^{[42] [43]. Знання філософії та математики, за Платоном, належать до постійних і вічних ейдосів, до яких дослідники сходять від гіпотез.}

Число в Платона постає як кількісний знак, математичний образ та ейдетичний символ. Сенс ейдетичного числа філософ вбачає в тому, що воно - ідея, яка породжує модель буття й пізнання. Можна з достатньою впевненістю екстраполювати наше пояснення числа в Платона й Аристотеля на ідею множин Г. Кантора, що розкривається у вигляді знака й образу, в онтологічному та гносеологічному контексті виступає як пізнана змістовність образу. Так, «числам можна приписувати реальність настільки, каскільки їх можна розглядати як вирази чи відображення процесів і стосунків у зовнішньому світі...»43.

Для Г. Кантора математичні об’єкти (числа, побудовані числові множини) - це особливий спосіб ставлення до буття як природи, за якого чуттєво сприймане мислиться у вигляді нескінченних числових рядів. Множину логік визначає не лише як знакові позначення, а й як структуру та зміст. Наприклад, v - актуальна нескінченна множина всіх позитивних чисел, μ +vi - множина всіх комплексних чисел. Водночас μ і V набувають незалежно один від одного всіх цілочисельних позитивних значень.

При конструюванні поняття трансфінітного, або створеного актуально нескінченного німецький математик аналізує ідеї континуального та дискретного обґрунтував Аристотель у творах «Фізика», «Про небо». «Якщо ми звернемося до історії, - пише Г. Кантор, - то побачимо, що погляди на нескінченне висловлювалися часто, і що вони зустрічаються також в Аристотеля. Аргумент, висунений Аристотелем проти реальності нескінченного, полягає у твердженні, що якби існувало нескінченне, то кінцеве було б 44 зруйноване».

Під час побудови трансфінітної арифметики німецький математик детально вивчав переконання Августина Блаженного щодо нескінченності й упорядкованості, висловлені в трактаті «Про град Божий». Так, Августин Блаженний пише: «Усе, що вимірюється знанням, обмежується свідомістю того, хто пізнає; так само і кожна нескінченність буває деяким непрореченим чином обмеженою в Бога, адже недосяжна для його бачення»^{[44] [45].}

Г. Кантор під час побудови трансфінітної арифметики досліджував традиції осмислення континуального - дискретного не лише античності і середньовіччя, а й Нового часу. «Розмірковуючи про традиції, я розумів їх не у вузькому сенсі особисто пережитого, а зважав на засновників нашої філософії та природознавства»^[46]. Німецький математик розглянув уявлення про нескінченність, розроблені Ф. Беконом, Р. Декартом, Б. Спінозою, Г. Лейбніцом, Г. Галілеєм, впритул наблизившись до ідеї трансфінітних множин, водночас уважаючи її помилковою. Вона суперечила його уявленням, представленим у роботі з кінцевими рахунковими множинами. У «Бесідах і математичних міркуваннях» аналізуються два ряди нескінченних натуральних чисел:

1, 2, 3,...п,...,

1, 2, 9,...п2,...,

перший містить натуральні числа, а другий - квадрати цих чисел.

Г. Галілей визначив, що загальна кількість усіх чисел - ряду, що містить натуральні числа, і ряду, що містить їх квадрати, - більше, ніж одних лише квадратів, або ряду, що містить натуральні числа. «З іншого боку якщо запитати, скільки цих квадратів, то можна справедливо відповісти, що їх стільки ж, скільки існує коренів, адже кожен квадрат має корінь, який має свій квадрат»^[47]. Формулюється твердження, що спирається на ідею взаємної та поелементної відповідності двох множин, що поелементно співвідносяться між собою. У працях Г. Кантора саме так формулюється поняття функції, тобто поелементного співвіднесення (відображення) двох множин за допомогою деякого коефіцієнта.

Загальна думка філософів і математиків Нового часу відносно нескінченного була така, що під час аналізу доводиться мати справу лише з фінітними, але не трансфінітними класами як нескінченно великих, так і малих змінних. Обґрунтувавши з філософської позиції роботи з теорії множин, Г. Кантор писав: «Я точно знаю, що розглянута мною тема, завжди була об’єктом найрізноманітніших думок і тлумачень і що ні математики, ні філософи не дійшли цілковитої згоди. Тому я... не можу остаточно розв’язати проблему нескінченності»^[48].

Теоретико-множинні побудови Г. Кантора зумовлені тими суперечливими результатами, які виникли в численні нескінченно малих і спонукали Г. Лейбніца та інших математиків і філософів Нового часу обчислювати нескінченно малі як неподільні величини. Г. Лейбніц у «Нових дослідах про людське розуміння автора системи передвстановленої гармонії» розглядав нескінченно малі не як реально існуючі, а як фіктивні величини. Німецький філософ намагався обґрунтувати взаємовиключні властивості нескінченно малих, використовуючи принцип безперервності. «Ніщо не відбувається відразу, і одне з моїх головних і найбільш достовірних положень - це те, що природа ніколи не робить стрибків»^[49].

Поступовість переходу здійснюється за допомогою нескінченно малих. Але під час обчислень їх не слід ураховувати. У філософському сенсі нескінченно мала у Г. Лейбніца символізує специфіку відмінності кожної субстанції - монади від її умовних «сусідів» - відмінності, яка якісно та кількісно менша, ніж будь-яка певна величина та інтенсивність (згідно з принципом безперервності), і все-таки, що в кожному конкретному випадку є досить визначеним, оскільки (згідно з принципом загальної дискретності) монада неодмінно відрізняється від інших, навіть дуже на неї схожих. Філософські нескінченно малі - це ні нулі, ні деякі певні величини. Вони у Г. Лейбніца не зводяться до символів мислення, це динамічні центри буття й свідомості, тобто «монади». Пояснення нескінченно малої величини, обґрунтоване Г. В. Лейбніцом, Г. Кантор не прийняв.

Підбиваючи підсумок свого осмислення традиції Нового часу відносно континуального - дискретного німецький математик робить висновок: «Різноманітні вчення низки авторів (Г. Кантор вказує на Б. Спінозу та Г. Лейбніца) під час обговорення питання про кінцевість і нескінченність сходяться на тому, що до поняття числа належить його кінцівка і що істинне нескінченне або абсолютне, таке, що не передбачає ніяких визначень»^[50].

Побудова нової логіко-математичної теорії Г. Кантора, незважаючи на його спекулятивне мислення, була б неможливою без осмислення ним сутності фундаментальних філософських категорій континуального - дискретного в традиціях античності, середньовічної культури, Нового часу.

Виникнення теорії множин Г. Кантора - це також і результат його досліджень можливості арифметизації математичного аналізу, визначення його вихідних понять за допомогою арифметики. Водночас німецький математик використовує висновки теорії меж О. Коші. Г. Кантор здійснює спробу уточнення теорії дійсних чисел: «Коли я говорю про числову величину в загальному значенні, то це відбувається, передусім, у тому випадку, коли запропонована нескінченна послідовність раціональних чисел al, а2,... an,..., задана за допомогою деякого кінцевого закону і володіє такою властивістю, згідно з якою різниця an + m - an стає нескінченно малою в разі зростання п, яке б не було ціле позитивне ш, або, іншими словами, що для довільно обраного (позитивного раціонального) ε існує таке ціле число п, що an+m - an < ε, якщо n ≥ пі, і m - будь-яке позитивне число»^[51].

На думку логіка, результати дослідження нескінченно малих можна звести до зіставлення гранично малих відрізків, усередині яких вони перебувають або точкових множин. Такий підхід передбачає введення в математику нових абстрактних об’єктів, головними з яких у теорії множин є потужність точкової множини й актуальна нескінченність послідовно впорядкованих точкових множин. Німецький математик розробив і такі поняття, як: «невласне нескінченна» - змінна, яка або збільшується, долаючи всі межі, або зменшується до довільно малої величини, але завжди залишається величиною кінцевої; «власне нескінченна» - змінна, яка завжди набуває цілком конкретної форми. Перша форма - невласне нескінченна - визначається як змінна кінцева, а друга - як певне нескінченне.

Г. Кантор розвиває уявлення про абстракції нескінченного, в основі яких лежать припущення про його здійсненності. Найбільш простою серед них є абстракція фактичної здійсненності, вона враховує різницю між побудовою одного об’єкта і сукупності об’єктів. При цьому встановлення кордонів здійсненного (того, що можливо побудувати) має динамічний характер і цілком визначається конкретними умовами вирішуваної проблеми. Спираючись на абстракцію фактичної здійсненності, науковець розглядає нескінченність як актуальну. «У своїх дослідженнях я довів, що після кінцевого існує Transfinitum (яке можна було б назвати Suprafinitum), тобто безмежна ієрархія певних модусів, що за своєю природою не кінцеві, а нескінченні, і які, водночас, охарактеризовані за допомогою відповідних чітко визначених і відмінних один від одного чисел»^[52]. Гіпотеза фактичної здійсненності, яка лежить в основі абстракції актуальної нескінченності, передбачає побудову будь-якого об’єкта, у тому числі й нескінченної кількості об’єктів, якщо його можна мислити без протиріч. Нескінченна множина натуральних чисел Г. Кантором розглядається не лише як необмежено продовжене, а вже як побудоване, відразу ж задане з усіма своїми елементами. Абстракція ж потенційної нескінченності, розглянута раніше математиками та філософами, ураховує можливість побудови подальшого об’єкта лише в тому разі, якщо побудовано попередній.

Нові теоретико-множинні побудови - це не лише конструювання відповідних логіко-математичних понять, а й встановлення співвідношень між ними, це створення специфічних теоретичних методів дослідження. Теорія нескінченних упорядкованих точкових множин Г. Кантора тісно пов’язана з логікою. Під час розробки структур множин використано дедуктивний метод - ієрархічний рух зверху вниз, за якого загальне (множина всіх дійсних чисел) мислиться як первинне відносно приватного, насамперед гносеологічно, є більш пізнаваним, але водночас і онтологічно, тобто як більш реальне. Ідею впорядкованого нескінченного різноманіття німецький математик розвиває, розглядаючи принципи побудови числових класів або природних відрізків та їх обмежень. Для впорядкування всередині числових класів конструюється поняття потужності множини, під яким мається на увазі кількість елементів, що належать до конкретної множини. Кожній множині визначається своя потужність або кардинальне число. Двом множинам приписується одна і та ж потужність, якщо їх можна зіставити одну з одною поелементно. «Можна зробити висновок, що кардинальні множини завжди мають одну і ту саму потужність, або кардинальне число, і що, навпаки, множини мають одне і те саме кардинальне число, є еквівалентними»^[53]. Кардинальне число характеризує загальну якість, властиву всім еквівалентним між собою множинам. Еквівалентність пов’язана з встановленням взаємооднозначної відповідності між множинами. Г. Кантор визначає кардинальне число як загальне поняття, що виникає завдяки абстрагуванню як щодо конкретної природи елементів, так і щодо порядку в множині. З нескінченних множин найменшим кардинальним числом володіє безліч натуральних чисел, позначене німецьким математиком K(O) (алеф-нуль). Дії над алеф відрізняються від операцій зі звичайними числами. Наприклад, при визначенні кардинального числа множини, утвореного шляхом об’єднання кінцевого безлічі, що містить k елементів, і нескінченної кількості натуральних чисел спочатку перелічуються всі елементи кінцевого безлічі, а потім (так як об’єднання множин не залежить від порядку елементів у ньому) нумеруються елементи натурального ряду чисел. Якщо останній елемент кінцевого безлічі отримує номер к, то перший елемент натурального ряду чисел к + 1. Використовуючи такий прийом, елементи нового множини можна співвіднести з рядом натуральних чисел, хоча він є складовою нової множини:

1, 2, 3,... k, k+ 1, к + 2,...

На відміну від кардинального, ординальне число Г. Кантор визначив як загальну якість, властиву всім множинам, що зберігає порядок своїх елементів. У цьому разі відбувається абстрагування лише щодо природи елементів множини, а не від їх порядку. У сучасній літературі з вивчення математичної логіки та дискретних методів у математиці ординальним числом названий тип цілком упорядкованої множини.

Числові класи - це природно зростаючі послідовності потужностей чітко визначених множин. «Інша позитивна сторона нових чисел (числових класів) полягає, на нашу думку, у понятті кількості елементів цілком упорядкованого нескінченного різноманіття... Поняття кількості набуває предметного вигляду завдяки зв’язку між кількістю та числом, що доводить підкреслену нами реальність актуально 54

нескінченного».

На сторінках своїх праць Г. Кантор зазначає, що до ідеї актуальної нескінченності він прийшов проти власної волі, усупереч сформованим у математиці традиціям. Вивчаючи тригонометричні ряди, він виявив, що поняття граничної точки й ірраціонального числа вимагають використання нових дослідницьких принципів, зокрема класифікації нескінченних множин. «Як у геометрії, так і в теорії функцій утворився інший, настільки ж правомірний рід поняття нескінченності. Так, наприклад, під час дослідження аналітичної функції комплексної змінної величини стало необхідним і загальновживаним уявлення в площині, що становить комплексну змінну, одну-єдину, що лежить у нескінченності. Ідеться про дослідження поведінки функції поблизу точки, що є нескінченно віддаленою. Водночас поведінка функції навколо нескінченно віддаленої точки виявляє точно такі самі явища, як і навколо будь-якої іншої, розташованої на кінцевій відстані точки. Таким чином, можна зробити висновок про те, що нескінченне розташоване в деякій цілком певній точці»^{[54] [55]. Німецький математик довів, що множини цілих, раціональних і навіть алгебраїчних чисел еквівалентні безлічі натуральних чисел, які називають лічильно нескінченним або просто рахунковим. Елементи різноманітних множин чисел можна нумерувати за допомогою необмежено зростаючої послідовності натуральних чисел. Г. Кантор не обмежився порівнянням нескінченних множин. Він створив особливу трансфінітну арифметику, закони якої передбачають узагальнення законів арифметики кінцевих множин. Водночас німецький математик підкреслював, що сфера певних величин не вичерпується величинами кінцевими.}

Теорія Г. Кантора протягом досить тривалого часу слугує зразком дослідження в математиці, визначає домінуючий стиль логіко- математичного та філософського осмислення як нескінченно малих, так і нескінченно великих величин, набуває парадигмального характеру.

Теоретико-множинні принципи використав Л. Кронекер для обґрунтування натуральних чисел, до яких вдалося звести раціональні, а потім і дійсні числа. У контексті зазначених напрацювань Н. Лузін здійснив дослідження дескриптивної теорії множин. У подальшій розробці дескриптивної теорії множин брали участь Л. Канторович, Л. Келдиш, А. Колмогоров, М. Лаврентьев, П. Новіков та інші.

Підбиваючи підсумки, можна констатувати, що значення праць Г. Кантора вийшло далеко за межі нової логіко-математичної дисципліни. Теорія множин посіла чільне місце, передусім, у системі математичного аналізу, слугуючи фундаментом теорії функцій дійсного змінного. Теоретико-множинні методи було застосовано в теорії ймовірностей, математичній логіці, що підтверджує неабияку цінність праць Г. Кантора.

Філософсько-семантичні основоположення парадоксів теорії множин Г. Кантора

У другій половині XIX століття теорія нескінченних впорядкованих множин, сконструйована Г. Кантором, отримала визнання серед математиків. Але вже в 1895 році сам автор виявив певні суперечності в обґрунтованій ним теорії. Так, наприклад, безліч ординальних чисел (згідно з Г. Кантором, ординальне число позначає порядок елементів в аналізованих підмножинах), розташованих у зростаючому порядку, може бути охарактеризоване загальним ординальним числом. Будучи найбільшим серед усіх ординальних чисел, загальне ординальне число повинно перевершувати будь-яке число безлічі власне ординальних чисел. Будучи елементом множини, загальне ординальне число не повинно бути більшим, ніж безліч ординальних чисел. Так, розглянута безліч містить усі ординальні числа, які характеризують універсум якісно, але не кількісно.

Інший парадокс Г. Кантор виявив у 1899 році. Він пов’язаний із визначенням кардинального трансфінітного числа (характеризує потужність або кількість елементів в аналізованій підмножині). Водночас значну тривогу серед математиків викликав парадокс, виявлений у 1902 році Б. Расселом. Він пов’язаний не зі спеціальними питаннями теорії множин, а із власне канторівським трактуванням множини. Йдеться про однорідність (згідно з Г. Кантором, консистентність елементів множин і, з огляду на це, множину всіх множин, які не є елементами самих себе).

Кількість наукових напрацювань, присвячених математичному осмисленню теорії множин і її парадоксів, є досить значною. Тому посилаємося лише на найбільш доступні дослідження, у яких бібліографію може бути істотно доповнено. Зазначеній проблематиці присвятили свої праці А. Бар-Хіллел, І. Буран-Форті, Д. Гільберт, X. Kappi, А. Пуанкаре, А. Френкель та інші. Парадокси теорії нескінченності розглядали П. Брауер, К. Вейєрштрасс, К. Гедель, К. Кліни, Б. Рассел, А. Уайтхед, Г. Фреге, Е. Цермело, дослідницька група Н. Бурбаки.

Низка математиків, у тому числі Д. Гільберт, П. Коен, Е. Бет, X. Kappi, стверджували, що виявлені суперечності є вкрай штучними. Ні в математичному аналізі (теорія Г. Кантора спрямована, зокрема, і на арифметизацію аналізу), ні в геометрії такі парадокси не були виявлені. На їхню думку, не слід турбуватися про парадокси, що виникають на «межі» теорії множин. У математиці використовуються лише певні типи множин, і тому не застосовуються лінгвістичні побудови під час утворення понять, що зумовлюють парадокси. Д. Гільберт зауважував, що ніхто не може вигнати математику з раю, який створив Г. Кантор^[56].

Протилежні точки зору висловлювали Б. Рассел, А. Уайтхед, К. Кліні, Ч. Буралі-Форті та інші математики. Б. Рассел, щоб уникнути парадоксу безлічі всіх множин запропонував теорію типів, згідно з якою елементи й сама множина належать до різних ієрархічних типів об’єктів.

Метою аналізу філософських засад парадоксів теорії множин Г. Кантора є розкриття актуальної та потенційної нескінченності - лише регулятивних форм математичного мислення. У контексті зазначеного представимо дві різні за своїм змістом сфери знання для математика та логіка. Визначимо характер парадоксів у світлі семантики як пов’язаних із використанням лінгвістичних (слова, символи, пропозиції) і нелінгвістичних (числа, множини як об’єкти аналізу, поняття) об’єктів.

Осмислення парадоксів і їх причин у теорії Г. Кантора не може бути здійснене односторонньо, з позиції або математичної, або філософської. Аналіз може різнитися власними засобами, проте не цілями. Філософське осмислення проблеми не передбачає математичної суворості, але без філософської рефлексії неможливо визначити засад, які зрештою зумовлюють твердження, що здаються парадоксальними.

Математичне мислення - одна з форм міркувань, за допомогою якої людина прагне вийти за межі власного досвіду. На думку І. Канта, це - необхідна апріорна форма наочного внутрішнього міркування, що забезпечує уявлення власне предметів. Математика - це і особлива знаково-символічна система описів, що завжди вимагає достатніх лінгвістичних визначень. Теорія множин, на думку Г. Кантора, а згодом Г. Фреге, Б. Рассела, не може розглядатися лише як математична побудова. Вона має власні онтологічні, гносеологічні, методологічні засади, посідає особливе місце в обґрунтуванні математичного аналізу.

У контексті сучасної математики обґрунтування кожної теорії зводиться до з’ясування її логічної несуперечності, що завжди було математичною проблемою. Природним у цьому напрямі є зведення питання про несуперечність складних теорій до несуперечності теорій простіших і менш проблематичніших. У другій половині XIX століття проблема логічної несуперечності виникла в контексті теорії множин і арифметизації аналізу.

Незважаючи на те, що принципи арифметики відображені в ключових поняттях теорії множин, це насправді хоча й взаємодоповнюючі, проте різні теорії. Посереднє місце між ними посідає теорія чисел, яка є основою математичного аналізу. З одного боку, вона спирається на положення алгебри, що мають фінітну і дискретну природу, з іншого - на ідею безперервності, що відображає континуальный характер безлічі дійсних чисел. Починаючи з античності, положення арифметики й теорії чисел доведені до досить змістовної ясності і стабільності принципів.

Сьогодні обговорення проблем математики вкрай рідко відбувається в контексті філософських міркувань. Здебільшого йдеться про дедуктивні процедури виведення. Онтологічне обґрунтування математичних теорій необхідно перетворити з епізодичного на систематично використовуваний засіб, що було властиво математиці античності й Нового часу. Так, наприклад, твердження, які Евклід подає у своїй геометрії, це не просто аксіоми, а опис онтології геометрії. Подальший розвиток геометрії відсунув онтологію вбік, зробивши підґрунтям математичного мислення формальний зв’язок суджень. Осмислення парадоксів теорії множин вимагає звернення до онтології математики.

Спробуємо розглянути парадокси теорії множин з позиції онтології математики. Вона розрахована на подолання лише формально- логічного підходу до теорії множин. Засадничою позицією є переконання в несуперечності вихідних математичних принципів трансфінітної арифметики, що визначають категоріальні структури мислення. І. Кант у «Пролегоменах до кожної майбутньої метафізики, яка може постати як наука» зауважує: «Особливість кожного математичного пізнання полягає в тому, що воно має виявляти своє поняття, передусім, у спогляданні, до того ж апріорному, а отже чистому, а не емпіричному. Без цього математика не може зробити жодного кроку, тому її судження завжди є інтуїтивними. Водночас філософія повинна задовольнятися дискурсивними судженнями із самих лише понять, пояснюючи свої аподиктичні вчення завдяки 57 спогляданню, не маючи змоги на основі них нічого вивести». Спираючись на твердження І. Канта, який стверджує, що підґрунтям математики завжди є чисте споглядання, виділимо найбільш значущі аспекти існування будь-якої математичної теорії, які, звісно, стосуються і теорії Г. Кантора.

Перший - обов’язковість виведення математичних суджень з основоположної теорії. Другий - необхідність семантичної визначеності, яка дає змогу використовувати принципи однієї формальної теорії на об’єктах іншої формальної теорії. У нашому випадку будемо розглядати здійсненність принципів арифметики й теорії дійсних чисел у трансфінітній арифметиці Г. Кантора. Третій аспект означений співвідношенням загальних принципів побудови математичної теорії та системи аксіом, що становить її зміст. Четвертий аспект - обов’язковість інтерпретації формальної теорії як системи опису, тобто її універсальність. Математичний апарат повинен бути застосовний у межах моделювання різноманітних фізичних об’єктів. Цей аспект є особливо важливим, адже відображає співвідношення принципів формальної теорії та описуваних у сконструйованих нашим мисленням категорій картини світу.

В «Науці та гіпотезі» А. Пуанкаре висловив думку про те, що істинність або хибність можуть бути приписані до математичної теорії лише в зв’язку з певною її інтерпретацією - лише відносно комплексу (М + Ф), де M - математична теорія, Ф - ї"ї фізична інтерпретація^{[57] [58]. Для аналізу філософських підстав парадоксів теорії нескінченних упорядкованих множин Г. Кантора всі виділені нами аспекти є значущими. Теорія, сконструйована німецьким математиком, - абстрактна побудова. Логік розвиває уявлення про абстракції нескінченного, в основі якої лежать припущення про його здійсненності. Найбільш простий серед них є абстракція фактичної здійсненності, що враховує різницю між побудовою одного об’єкта і сукупності об’єктів. Водночас встановлення меж нездійсненного (того, що можливо побудувати) має рухливий характер і цілком визначається умовами розв’язуваної проблеми. З позиції онтології математики положення про нескінченність ряду натуральних чисел логічно доказати не можна. Якщо тлумачити його як можливість постійно добудовувати нескінченну сукупність об’єктів, то істинність твердження актуальної нескінченності все ж буде проблемною внаслідок того, що фізична нескінченність для нас недоступна. Загальна значущість та аподиктична очевидність цього положення базується не на досвіді чи логіці, а на інтуїтивних ідеалізованих побудовах. Ідея нескінченності ряду натуральних чисел виникає з припущень математичної онтології. Ряд натуральних чисел, будучи конструкцією нашого інтелекту, продиктований орієнтацією свідомості як понятійний корелят необхідних уявлень про ідеальну предметність. Математична безперервність не може бути виправдана досвідом, її не можна ввести на підставі математичних постулатів. В основі математики лежить не лише ідея предметності, а й ідея екстенсивної величини, якій властива однорідність, нескінченна неподільність і безперервність.}

Обґрунтовуючи ідею актуальної нескінченності, німецький математик бере до уваги вчення І. Канта, у працях якого продемонстровано зразки конструктивістського й антиномічного мислення. Ідею нескінченного І. Кант аналізує через уявлення про простір: «Простір є нескінченно даною величиною. Кожне поняття, звісно, треба тлумачити як уявлення, наявне в нескінченній безлічі інших різних уявлень (як можливу ознаку). Водночас жодне з понять не можна усвідомлювати як нескінченну сукупність уявлень»^[59]. Одне з основних кантівських тверджень про ідеї розуму як регулятивні поняття, які не мають насправді корелята, позначають лише внутрішню логіку руху думки. Від кінцевої кількості причинових зв’язків, представлених у досвіді, ми, згідно з вченням І. Канта, звертаємося до ідеї Природи, від уявлень про окремі конкретні психічні акти до поняття Душі як безумовної цілісності. Необхідність ідеальної цілісності лежить в основі людського мислення. Це положення І. Канта неодноразово розглядалося Г. Кантором. Ідеальна цілісність, як результат завершеного руху, натільки ж звична для мислення, як і ідея нескінченного становлення (потенційної нескінченності), обґрунтована ще Аристотелем.

Уявлення як про потенційну нескінченність, так і про актуальну, уже сформовану, водночас таку, що постійно ділиться всередині себе на класи нескінченності, зовсім не стосуються ні нашого досвіду, ні конструювання картини світу. Ці ідеї - лише регулятивні форми нашого мислення. Г. Кантор обґрунтовує ідею актуальної нескінченності, класифікуючи кінцеві множини, аналізуючи їх як складові нескінченної безлічі елементів (за його словами, об’єктів інтуїції), розглядаючи кінцеві множини як лінійно впорядковані точкові різноманіття. Ідею прийнятності актуальної нескінченності, на основі її зв’язку з потенційною, у логічному контексті достатньою мірою розкрито німецьким математиком. Г. Кантор був переконаний у тому, що актуальна нескінченність, як і потенційна, слугує основою математичного мислення. Розглядаючи логічний зв’язок актуальної та потенційної нескінченності, німецький математик пише: «У першій формі, невласно нескінченній, вона постає як змінне нескінченне. В іншій формі, у якій я називаю її власне нескінченним, вона усвідомлюється як цілком певне нескінченне. Реальним нескінченним цілим числам, які я хочу визначити в подальшому і до яких я прийшов вже багато років тому, не усвідомлюючи того, що в них ми маємо конкретні числа з реальним значенням, з невласно-нескінченним, - навпаки, їм притаманний той же характер визначеності, який ми спостерігаємо в разі нескінченно впорядкованої точки в теорії аналітичних функцій»^[60].

Крім логічної необхідності, існує методологічна, визначальна можливість аналізу кожної побудови. Г. Кантор уважав, що в разі постійної побудови відсутній метод міркувань. Методологія математичного аналізу переконує, що цілісний об’єкт, заданий з усіма його елементами, завжди піддається аналізу його складових, отже, стала (актуальна нескінченність) неможлива без потенційної нескінченності.

Якщо стверджується наявність потенційної нескінченності, допускається можливість побудови подальшого об’єкта лише в тому разі, якщо побудовано попередній. Так, неминуче затверджується і наявність породжуючої функції, що належить до нескінченної кількості елементів, обов’язково еквівалентних один одному щодо приналежності до породжуючої функції. Розглянуті елементи мають певні порядкові значення. Клас як обов’язкова умова має еквівалентність складових його елементів, що розглядаються як єдина і завершена цілісність. У методологічному аспекті уявлення про актуальну нескінченність передбачає не лише ідею завершених класів еквівалентних елементів, а й наявність функцій чинників, що створюють такі класи. Аналізуючи функції, Г. Кантор вибудовує нескінченні множини як класи, задані цими функціями.

Німецький математик, створюючи теорію трансфінітних чисел як некількісну алгебру, використовує логіку для виправдання математичних міркувань. У його працях математична символіка набуває характеру, що більшою мірою притаманний логіці. Вводячи поняття кардинального числа як потужності множини та ординального (як такого, що визначає порядок усередині множини) Г. Кантор оперує формулами, які реалізовують послідовність міркувань. Теорію множин можна визначити як одну з математичних дисциплін, завдяки якій математика в XIX столітті стає наукою про порядок. Так, прагнення Г. Кантора позначити чіткі межі прийнятності, охарактеризувати поняття актуальної нескінченності в подальшому призводить до лінгвістичної невизначеності. Актуальну нескінченність в описах німецького математика можна розглядати не просто як завершену, а й також як «замкнуту» в собі систему об’єктів, що поділяються на різнорідні за своїм якісним складом класи.

Р. Кантор поєднує між собою різнозмістові класи, характеризуючи кожен із них кількісно. При цьому якісні властивості класів (ординальні числа), що містять різні за своїм складом елементи, однакові. Ординальне число дає уявлення лише про структуру (порядок), але не зміст класу. Г. Кантор зазначає: «Серед трансфінітних чисел системи Ω, яким у якості кардинального числа не відповідає жодна система з K із кінцевим V, знову таки є найменше, яке ми позначимо як ωωθ та з його допомогою отримаємо новий алеф KωO = ωωθ, визначений рівністю KωO = ∑v = 0, 1,2... = Kv, і він називається кардинальним числом, безпосередньо наступним за усіма Kv. Ми переконані, що цей процес освіти алефов і відповідних числових класів системи Ω є абсолютно безмежним... Тепер постає питання: чи всі трансфінітні кардинальні числа наявні в цій системі?»^[61].

У канторівському визначенні континууму як безперервного творення дискретних сукупностей лінійних точкових многовидів і потужності всіх потужностей множин немає прямого протиріччя виду «А і не А». Але в теорії кардинальних кінцевих чисел відсутнє чітке понятійне визначення кінцевих множин, які можна отримати, розглядаючи не лише впорядковані структури множин, а й визначаючи безлічі змістовно, про що згодом писав Б. Рассел: «Знадобилося чимало століть, щоб зрозуміти, що пара фазанів і пара днів є прикладом числа два. Відкриття того, що один є числом, було важким»^[62]. Проблему математичних описів і пояснень у теорії Г. Кантора аналізував Д. Гільберт, який переконливо довів, що Г. Кантор «...звузив коло допустимих тверджень про елементи множин,... побудував теорію таким чином, що, незважаючи на ці обмеження, вона не втратила своєї цінності»^{[63] [64]. Канторівська система основоположних аксіом не викликала ніяких серйозних заперечень у середовищі як математиків, так і філософів. Цілком очевидно, що суперечності виникають не із задачі, яка вирішується завдяки введенню системи аксіом. У зазначеній теорії вони полягають у системі опису та пояснення. Пошуки адекватного опису системи онтологічно несуперечливого пояснення континуум- гіпотези здійснювали Д. Гільберт, К. Гедель, а також П. Коен, який у 1966 році на Московському міжнародному конгресі математиків за реалізацію логічно несуперечливої системи опису континуум-гіпотези був нагороджений премією Філдса.}

Основоположення канторівської теорії за необхідності мають бінарний характер. У якості аксіом розглянуті принципи розширення і вибору. До перших належать аксіоми, з допомогою яких з еквівалентних кінцевих множин утворюються більш великі. Це відбувається за допомогою логічних операцій об’єднання, перетину, утворення множини-ступеня. Під час аналізу структур множин використано дедуктивний метод - ієрархічний рух зверху донизу, де загальне (множина всіх дійсних чисел) усвідомлюється первинним відносно його частин, передусім, гносеологічно - більш пізнаваним, і водночас, онтологічно більш реальним. «Найістотнішою ознакою кінцевих множин слід уважати те, що вони не еквівалентні стосовно кожної зі своїх основних частин. Актуально нескінченна безліч завжди володіє тією властивістю, що в ньому багатьма способами можна 64

виділити складову частину, яка еквівалентна йому».

Поряд з аксіомами, що дають змогу виконувати логічні операції щодо збільшення потужності еквівалентних множин, німецький математик розглядає метод вибору елементів, який в явному вигляді так і не було сформульовано, але, тим не менш, використовувався Г. Кантором. Обґрунтовуючи вчення про кардинальні числа, Г. Кантор розкриває сутність методу вибору елементів із множин. Унаслідок громіздкості наведемо лише його фрагмент: «Окремої речі EO, коли ми підведемо її під поняття множини EO = (еО), відповідає як те, що ми називаємо одиницею і позначаємо через 1: маємо 1 = ЕО. Приєднаємо тепер до EO деяку іншу річ еі і позначимо через El суму множин, так що El = (ЕО el) = (еО еі). Додаванням нових членів отримуємо послідовність множин Е2 = (El е2), ЕЗ = (Е2 еЗ)..., яка при необмеженому продовженні приводить нас до так званих основних кардинальних чисел»^[65]. Надалі канторівський метод вибору елементів із множин Е. Цермело назвав аксіомою вибору, яку сформулював та обґрунтував Д. Гільберт. Суперечки навколо аксіоми вибору тривали три чверті століття. Вони були зумовлені відношенням загальних принципів побудови теорії множин до змісту правила вибору (тобто аксіоми вибору).

Метод вибору, запропонований Г. Кантором, підтверджує можливість побудови нової безлічі в межах виділення по одному елементу з довільної сукупності множин, прийнятих у теорії. Онтологічний аспект вибору методу полягає в його очевидності, несуперечності основним принципам теорії множин. У ньому закладено поняття одиничного об’єкта й логічної операції диз’юнкції як категоріально осмислених сутностей.

Одиничний об’єкт і логічна операція задають ряд арифметичних об’єктів, де кожен наступний збільшує сукупність на одне значення. Можливість вибору елемента з будь-якої безлічі дає уявлення про дискретності множин у континуумі, що власне не може бути джерелом протиріч. Але метод вибору орієнтований лише на «правильні» в канторовському розумінні безлічі, що обмежує його беззастережну застосовність теорії.

Гносеологічний аспект правила вибору полягає в тому, що нове, отримане шляхом вибору елементів безліч, сама є об’єктом аналізу, у конструюванні функції, за допомогою якої здійснюється вибір елементів. У найпростіших випадках, наприклад, якщо родина складається з множин виду {а, Ь}, де а, Ь - дійсні числа, у якості опції вибору служить мінімальне значення з двох чисел: f = ({a, b}) = min (а, Ь). Але в загальному випадку Г. Кантором не вказано жодного правила, з допомогою якого можна було б вибрати елементи представників сімейства переданих множин. Пізніше Д. Гільбертом сформульовано загальне твердження, як правило вибору елементів. «Якщо для будь-

якого об’єкта X виду (Gattung) Gl існує щонайменше один об’єкт Y виду G2, пов’язаний з X відношенням β(x, у) то існує функція ф, яка кожному об’єкту X, виду Gl обов’язково зіставляє такий об’єкт ф(х) виду G2, який пов’язаний з X відношенням β(x, φ(x)), при цьому а - 1/х < у ≤ а функція ф, існування якої витягується з аксіоми вибору, являє собою зіставлення дійсного числа сх з його номером X»^[66].

Підтримуємо позицію Д. Гільберта, який, аналізуючи канторівське правило вибору, стверджує, що в теорії множин уведено фундаментальні уявлення, що не належать до «...галузі наочності арифметичного мислення. Сувора побудова аналізу призвела нас до розуміння того, що цих небагатьох фундаментальних припущень достатньо для побудови теорії величин як теорії числових множин»^[67]. Д. Гільберт відносить правило вибору до основоположень теорії множин. Воно конкретизує поняття безлічі правила визначення через рід і вид, яке необхідно для осмислення будь-якого предмета. Аксіома вибору може бути зрозуміла як результат застосування універсального логічного принципу відносно предметної області, що гарантує умови його здійсненності. Методологічний аспект аксіоми вибору полягає в тому, що вона, будучи необхідною для доказу низки теорем, визначає, що кожну множину можна зробити цілком упорядкованою. Канторівський метод вибору, під час його детального аналізу, на відміну від аксіом розширення, вимагає додатково низки визначень, які стосуються, зокрема, впорядкування в підмножинах, з яких обираються елементи. Способи впорядкування розглядаються німецьким математиком лише формально. Змістовне онтологічне обґрунтування впорядкування всередині класів згодом запропонував Б. Рассел. «У пошуках визначення порядку перша річ, яку слід зрозуміти, - це те, що безліч термінів не має єдиного порядку, наявність якого виключало б наявність інших. Безліч термінів має всі порядки, на які лише здатна. Іноді один порядок більш знайомий і звичний для нашого мислення, і тому ми схильні вважати його єдиним порядком для безлічі термінів.... Ми могли б, наприклад, спочатку розглядати всі непарні числа, а потім всі парні числа, або спочатку 1, а потім всі парні числа, всі непарні числа, а потім всі непарні числа, що діляться на 3, а потім всі, які діляться на 5, але не на 2 або на 3, а потім всі, котрі діляться на 7, але не на 2 або на 5 і так далі в усьому ряду простих чисел»^[68]. Порядок, на думку Б. Рассела, полягає не в класі термінів, а у відносинах між елементами класу. Ураховуючи встановлений нами порядок, одні терміни всередині класу з’являються раніше, інші пізніше. Поняття порядку сутнісно важливо в математиці. Не лише цілі, а й раціональні, усі дійсні числа розташовані в порядку величин. Порядок розташування точок на лінії в геометрії є важливим. Геометричне поняття просторових вимірів є розвитком поняття порядку. Концепція межі, будучи порядковою, слугує підґрунтям математичного аналізу. Лише деякі нечисленні розділи математики не залежать від порядку. Канторівське лінгвістичне визначення класу з точки зору формальної логіки є бінарним, адже містить як судження щодо властивості, так і стосовно відносин. Перше володіє структурою суб’єкт - зв’язка - предикат.

У теорії множин для кожного класу визначена своя потужність, або кардинальне число K (алеф). Щодо другого виду визначення - класу притаманна «сумісність буття його елементів»^[69], у кожному класі задано відношення між елементами. З огляду на власне лінгвістичне визначення класу, німецький математик висловлює припущення про те, що весь числовий ряд Ω повинен проектуватися на всю множинність v (кардинальних чисел), загальне кардинальне число якої не є K. «Дійсно, можна констатувати, що в межах зробленого припущення вся система Ω проектується у всю множинність V, тобто повинна існувати підмножинність v/ множинність V, яка еквівалентна системі Ω»^[70]. Водночас підмножинність v/ визначена як система неконсистентних множин, що перебувають у системі Ω, спільно з консистентними V множинами. У цьому контексті потребує роз’яснення канторівське трактування множини. З онтологічної позиції, це єдина, цілісна побудова. Г. Кантор - платоник, який трактує безліч як єдине, ряд об’єктів, що володіють однаковими властивостями. Його згадка в листуванні з Р. Дедекіндом про неконсистентні множини, неконсистентності в системі Ω дійсних чисел свідчить про подвійність трактування природи його чисел. Одна з основних тез Г. Кантора полягає в тому, що носієм числа є не річ, а поняття. Процесу рахунку повинно передувати уявлення про рахункову множину та її елементи, що відповідають поняттю єдиного об’єкта. «Безліч кольорів веселки (червоний, оранжевий, жовтий, зелений, блакитний, синій, фіолетовий) і безліч музичних тонів (C, D, Е, F, G, А, Н) є еквівалентними множинами. Обидві вони підпадають під загальне поняття сім. Безліч моїх пальців рук і безліч точок в так званому арифметичному трикутнику еквівалентні, їм відповідає число десять. Актуально безліч (v) усіх позитивних кінцевих чисел V еквівалентно безлічі (μ + vi) всіх комплексних чисел виду μ + vi, де μ + V отримують незалежні один від одного цілочисельні позитивні значення»^[71]. Для Г. Кантора числа не є самостійними сутностями, відверненими від зовнішніх речей. Останні ж трактуються ним не лише як дискретні одиниці, вони становлять обмежені групи, які розглядаються як єдине ціле, як безлічі, кожному з яких приписується число як предикат.

Приналежність числа до поняття не є суттєвою для арифметики. Арифметичні одиниці поводяться незалежно від їх інтерпретації - від поняття, з яким вони в даній побудові пов’язані. Закони арифметики задані не сферою їх застосування, а властивістю абстрактної предметності.

У своєму розумінні числа Г. Кантор обстоює позицію Г. Лейбніца, який писав: «немає нічого такого, що не могло б бути виражене через число. Отже, число є ніби метафізичною фігурою, арифметика - своєрідною статистикою універсуму, за допомогою якої досліджуються потенції речей»^[72]. Г. Кантор аналізує властивості груп речей, абстрагуючись від самих речей. Аксіоми теорії множин, будучи несуперечливими з принципами теорії, все ж інтерпретуються за допомогою математичних, а не фізичних об’єктів. Вони не є гіпотезами про властивості реального світу, що виявляються або істинними, або хибними. Теорія множин є узагальненням принципів таких абстрактних теорій, як арифметика й теорія чисел. У теорії множин стикаємося з абстракціями від абстракцій. З огляду на крайні абстракції, її поняття й принципи можуть відігравати досить незначну роль для описів у фізичних теоріях. Г. Кантор, не вводячи поняття «предикат», оперує певними предикатами множин. Німецький математик використовує підходи класичної логіки, зокрема силлогистичні побудови в знаково- символічному позначенні за межами значущості класичної логіки. Канторівська арифметична інтерпретація ґрунтується на відповідності між змінними силогістики і впорядкованими числовими класами. Мова арифметики й теорії чисел Г. Кантор перекладає мовою математичних символів, якими є предикати множин, або кардинальні числа. Водночас закони класичної логіки - це лише закони мови математики. Парадокси в теорії множин виникли там, де закони мови математики поширилися на мову математичних слів, який не пов’язаний із математикою. Г. Кантор розглядає математику не як попередню логіку. У своєму розвитку логіка залежить від об’єктів мислення й змінюється зі зміною змісту мислення. Традиційна логіка математичного доказу сформувалася через оперування з кінцевими сукупностями об’єктів. За звичкою її законам був приписаний апріорний характер, відповідно, були загублені уявлення про умови її застосування, пов’язані з її походженням. Збої, які виявила класична логіка в застосуванні щодо теорії нескінченних множин, цілком природні. У зв’язку з вищевикладеним необхідно висловити свою позицію щодо логіки й математики як двох різних за своєю структурою та змістом видів знання. Логіка відрізняється від математики як знання змістовне від формального знання. Математичні теорії, за своєю суттю, завжди є формальним знанням. Особливо це стосується арифметики, до якої безпосередньо звертається Г. Кантор, ставлячи перед собою як одну з цілей, при створенні трансфінітного впорядкованих множин - арифметизацію математичного аналізу. Формальна складова логіки, загалом осмислена й описана ще Аристотелем, розглядалася в християнській середньовічній культурі Алкуіном, П. Абеляром та іншими мислителями як суто зовнішня її складова. Від початку свого створення логіка існує як система лінгвістичних побудов, аподиктичних доказів і визначень. Я. Лукасевич у праці «Аристотелівська силогістика з погляду сучасної формальної логіки»^[73], з великою проникливістю розкрив особливості підходу Аристотеля до вирішення проблем силогістики та ї"ї кодифікації, показав неспроможність поглядів філософів і математиків на логіку Аристотеля, як на єдину підставу математичної логіки.

Побудови логіки, на відміну від математичних формалізацій, свідчать не про особливі об’єкти, якими є числові послідовності, ряди, функції, а про лінгвістичні форми, поняття, їх обсяги, що безпосередньо запозичено Г. Кантором із логіки для визначення кількості елементів у множині.

Побудови логіки обґрунтовують зв’язки між поняттями. На відміну від математики, логіка є безгіпотезним знанням, зумовленим лише мовними побудовами та його осмисленням. Логіка за способом своєї появи жодним чином не залежить від математики, або будь-якої іншої науки. Більш того, вона протистоїть математиці як знання універсальне - спеціальному; як знання аналітичне - синтетичному; як знання змістовне - формальному. Логіка й математика - це галузі знання, що не залежать один від одного.

І. Кант поділяє логіку на аналітику та діалектику. Аналітика відкриває за допомогою розчленування всі дії розуму, діалектика містить правила, завдяки яким ми могли б дізнатися «що щось не узгоджується з формальними критеріями істини, хоча і здається прямо погодженим із ними»^[74]. Німецький філософ відкидає поділ логіки на природну та популярну, теоретичну й практичну. «Загальна логіка, будучи лише каноном, відволікається від всяких об’єктів, не може мати практичної частини.Остання була б Contradictio in adjecto, оскільки практична логіка представляє знання відомого роду предметів, до яких вона додається»^{[75] [76]. Практична, або технічна логіка, за думки І. Канта, лише техніка вченості, органон шкільного методу. Практична логіка, в його розумінні, ставиться до мистецтва впорядкування мовних побудов, є вченням про метод. І. Кант пише про прикладну логіку як про метод науки, як про її підґрунтя. «У такому разі, починають будувати, ще не маючи матеріалу, і дають форму, коли ще немає змісту. Техніка 76 повинна викладатися для кожної науки».}

Спираючись на канторівські побудови, з’ясуємо місце й обсяг логіки в математиці. У математиці обов’язковою передумовою є дедуктивні та індуктивні процедури, що належать до нелінгвістичних об’єктів. Але математичні міркування та висновки ґрунтуються не лише на правилах логіки, а й на власне математичних очевидностях. Переходи від однієї формули до іншої ґрунтуються на визначеннях математичних об’єктів і не завжди вимагають застосування логічних схем. Так переходячи від виразу (а + Ь * і) * (а - Ь * і) до виразу а2 + Ь2, ми спираємося на алгебраїчні правила виконання операцій із дійсними числами та уявною одиницею. У цьому переході не йдеться про логічні правила роботи з лінгвістичними структурами, але наявна процедура дедуктивного виводу. Усі докази в алгебрі, математичному аналізі, теорії функцій пов’язані з конструюванням об’єктів, які є поза логічними. Усі докази в геометрії ґрунтуються на наочних геометричних перетвореннях. Необхідно все ж визнати, що в математичному мисленні присутня компонента, яка безпосередньо спирається на логічні побудови та лінгвістичні структури. Це обґрунтування дедуктивних висновків. Існує кілька незалежних типів аподиктичної наочності, що визначають математичне міркування. Логіка в математичному міркуванні, по-перше, - встановлює правила побудови визначень, по-друге, - виробляє мову адекватного уявлення математичних міркувань.

Обсяг підрозділу не дає змогу розкрити всі відмінності логіки та математики, розглянути всіх функцій першою в математичних побудовах. Ми перелічили лише основні, необхідні для обґрунтування нашої тези про те, що парадокси теорії множин Г. Кантора пов’язані із застосуванням підходів класичної логіки, зокрема силогістичних побудов у знаково-символічному позначенні, за межами значущості власне класичної логіки.

Теорія Г. Кантора - одна з перших фундаментальних логіко- математичних теорій, що виникли в той період, коли математична логіка та її семантика перебували на стадії становлення. Високий ступінь абстрактності, «універсальність» поняття множини, не могли не призвести до труднощів відомих у філософії під час роботи з універсалами. Природно, лише сильна теорія могла бути піддана настільки детальному аналізу та критиці, що й сталося з теорією множин Г. Кантора, яку жорстко критикували як філософи, так і математики. У другій половині XIX, початку XX ст. і математики і логіки цілком перебували під впливом ідей формальної строгості доказів. Основна проблема, з якою стикаємось у теорії Г. Кантора, її джерело суперечностей - надійність змістовних міркувань, про що писав пізніше Б. Рассел, намагаючись сформулювати однозначне визначення класу. «Передусім, слід усвідомити, що класи не можна розглядати як остаточну складову світу... не існує символів ні для класу загалом, ні для кожного конкретного з них, які не були б включені в цей апарат невизначених символів. Водночас усі індивідуальні речі у світі повинні мати імена, які будуть фігурувати серед невизначених символів... Ми не можемо розглядати класи суто екстенціонально, як просто сукупності речей або конгломерату. Якщо ми спробуємо зробити це, то ми з’ясуємо, що неможливо зрозуміти, як можуть існувати такі речі, як нуль - клас, який взагалі не має членів і не може вважатися «сукупністю»; ми також виявимо, що дуже важко зрозуміти, яким є клас, що має лише один член»^[77]. Наведена цитата підтверджує, що стосовно основних понять теорії множин ми потребуємо не окремо її аксіоматизації, яка дала змогу лише частково уникнути суперечностей, або ж окремо у філософському дискурсі, а системний аналіз усієї теорії та основних її складових.

Отже, з формально-логічної позиції досить одного прикладу для виявлення суперечностей у логіко-математичній теорії. Аналіз онтологічного та гносеологічного аспектів дає змогу зробити висновок про те, що теорія множин під час свого функціонування містить суперечності, які пояснюються розходженням трактувань ї"ї ключових понять, використанням різних систем пояснення та опису. Системний підхід (з позицій як філософської, так і математичної), будучи на перший погляд гранично абстрактним, насправді усуває абстрактність формально-логічного розгляду з огляду на те, що розкриває внутрішню динаміку теорії Г. Кантора як генетично несуперечливої. Коли стверджується, що змістовно доказ на певному етапі вдосконалення теорії досягає повної надійності, що структура логічних зв’язків у неї прагне до однозначної визначеності або що стабільна аксіоматика неминуче є мінімальною, то висловлюється щось таке, що не може бути віднесено або до логіки, або до математики. Факт надійності доказів (навіть формалізованого) логічно визначити неможливо. Ми не можемо визначити, що стабільна аксіоматика мінімальна, але ми знаємо, що це так, оскільки не допускаємо, що надмірність посилань в елементарних допущених не була б помічена і усунута кимось із математиків. У теорії Г. Кантора необхідно передбачати розв’язність протиріч за умов відсутності достатніх логічних аргументів.

1.2.7.