Символьне визначення висловлювань

Закони логіки висловлень застосовують при побудові будь-якої із сучасних мов програмування. Задача формальної логіки складається у встановленні методів правильних умовиводів. Це робиться двома засобами:

1.

2. за допомогою логічних законів.

Законами логіки висловлень називають схеми побудови істинних та помилкових суджень. Закони логіки висловлень ще називають теоремами або тезами логіки.

Закон виключного третього

р або (невірно, що р).

Якщо в запропоновану схему замість р підставити осмислене речення, то завжди утвориться істина складна пропозиція. Наприклад, якщо замість р підставимо речення: «Під час своїх мандрівок Платон побував в Індії», то одержимо складне речення:

Під час своїх мандрівок Платон побував в Індії = р.

(Під час своїх мандрівок Платон побував в Індії) або (невірно, що під час своїх мандрівок Платон побував в Індії).

Виконується одна з можливостей: або Платон побував в Індії, або ні. Якщо перше висловлення істина, тоді р = 1; якщо лож, тоді р = 0.

Якщо, р = 1 або р = 0 то стає неможливим будь-яке третє припущення. Саме тому наведений закон зветься законом виключного третього.

Закон непротиріччя

Невірно, що [р і (невірно, що р)].

Закон формулюється й таким чином: Невірно, що [р і (не р)].

Наприклад: Невірно, що {(Колумб був в Індії) і [не (був Колумб в Індії)]}.

Кожне з речень по одинці істинна. Людина, не може одночасно бути і не бути в якомусь місці. Колумб не міг одночасно бути і не бути в Індії. Якщо р = 1 стає суперечливим, що р = 0.

У законах непротиріччя і виключного третього формулюються пропозиції виду р і не р. Таку пару називають суперечними пропозиціями. Закон непротиріччя іноді формулюють у такому виді: дві суперечні пропозиції не можуть бути одночасно істинними.

Закон подвійного заперечення

Якщо заперечити двічі деяке припущення, то в результаті утвориться, начебто ніякого заперечення не було.

Загальний вид закону: Якщо [невірно, що (невірно, що р)], то не р.

Оборот «невірно, що р» замінимо на «не р» (~ р). У такому випадку закон формулюється у вигляді: Якщо [не (не р)], то р.

Пропозиція приймає значення лож р = 0, лише тоді, коли, те що заперечиться істинно. Навпаки, якщо пропозиція є неправильною ~ р = 0 (не р), то її заперечення є істинною

Зв’язок висловлюють символічно:

1. якщо р істинно, то ~ р (не р) лож;

2. якщо р лож, то ~ р (не р) істинно.

Форма запису відповідно прийнятої символіки:

У таблиці в колонку під р записані символи пропозицій, які може приймати довільне речення. Застосовується й інша форма запису:

Заперечення висловлення) необхідно розглядати, як

функцію однієї перемінної.

Закон контрапозиції

Закон контрапозиції називають законом подвійного якщо:

Якщо (якщо р, то q), то [якщо не q, то не р)].

Якщо [(у Яна буде час), то (Ян відвідає Петра), але якщо (Ян не відвідає Петра), то в (Яна не було часу).

1. Ян відвідає Петра = р;

2. Ян не відвідає Петра = q. У Яна буде час = п;

3. у Яна не було часу = ш.

Форма запису відповідно прийнятої символіки:

Закон контрапозиції дає уявлення про логічну функцію двох змінних.

Закони алгебри логіки, які характеризують кон’юнкцію

Застосування союзу і при побудові висловлень зветься кон’юнкцією. Наприклад: (Дніпропетровськ розташований на Дніпрі) і (Київ розташований на Дніпрі).

Скопочена (Ьопма запису:

У логічних схемах існує правило, яке дає змогу застосовувати кон’юнкцію двох і більше істинних пропозицій:

Якщо р, то [якщо q. то (р і q)].

Форма запису відповідно прийнятої символіки:

Якщо істині висловлення, які складають, кон’юнкцію, то кон’юнкція істина, і навпаки, якщо кон’юнкція істина, то істина кожна її

складова. Кон’юнкція помилкова якщо помилкова хоча б одна її

складова.

Закони імплікативних спілок

Імплікативними силогізмами є теореми, які подібні логічним схемам, називаним силогізмами. У традиційній логіці силогізмами вважають схеми умовиводів, які призводять від двох посилань до висновку, котрий має визначений вид. В імплікаціях обидва посилання, як і висновок, мають однаково визначений вид.

Наприклад:

• якщо завтра буде ясна погода, то не буде снігопаду;

• якщо завтра буде ясна погода, то з’являється можливість приємної прогулянки;

• якщо [(завтра буде ясна погода), то (не буде снігу), висновок, (з’явиться можливість приємної прогулянки)].

Завтра буде ясна погода посилання = р;

не буде снігу посилання = q;

з’явиться можливість приємної прогулянки висновок = г.

Скорочена форма запису:

якщо [(якщо р, то q) і (якщо р то г)], то [якщо р, то (q і г)].

Фонма запису відповідно пиийнятої символіки:

Коли обидві посилки вірні, то висновок вірний. Якщо одна з посилок зрадлива, то і весь алгоритм зрадливий.

Закони, які характеризують диз’юнкцію.

Диз’юнкція завжди є комунікативною. Вона характерна спілкою або.

Наприклад:

• завтра буде дощ або завтра буде сонячно;

• завтра буде сонячно, або завтра буде дощ.

Завтра буде дощ р;

завтра буде сонячно q.

Якщо (р або q), то (q або р).

При диз’юнкції можливі підстановки: Якщо вірно, що завтра буде дощ, то одночасно не може бути сонячно.

Форма запису відповідно прийнятої символіки:

Диз’юнкція істина тоді, коли один з її членів є істинним.

Закон, що характеризує еквівалентність

Якщо (р тоді і лише тоді, коли q), то (q тоді і лише тоді, коли р).

Наприклад:

Якщо [(наступає туман) тоді і лише тоді, коли відносна вологість повітря перевищує 100%)], [(відносна вологість повітря перевищує 100% тоді і лише тоді, коли наступає туман)].

Еквівалентність комунікативна.

Якщо (р тоді і лише тоді, коли q), то (якщо р то q).

Форма запису відповідно прийнятої символіки:

Еквівалентність істинна коли обидва її члена одночасно або істинні, або помилкові.

Закони де-Монгана

Обидва закони мають численні застосування, у першу чергу при підстановках.

Наприклад

[Краще: Невірно, що завтра буде сонячно і завтра буде дощ тоді і лише тоді, коли завтра не буде сонячно або завтра не буде дощ]

Всі підстановки при використанні законів де-Моргана істині з винятковою очевидністю. Ці закони можна характеризувати як: заперечення диз’юнкції еквівалентно кон’юнкції заперечень, тоді коли заперечення кон’юнкції еквівалентно диз’юнкції заперечень.

2 А.