Ізоморфізм множин (понять)
Поняття лінійного простору складається з двох різноманітних частин:
I. Лінійний простір є сукупністю векторів.
II. На лінійному просторі діють операції додавання та множення на число.
При аналізі лінійного простору, або множин, визначають як природу і властивості векторів, так і властивості арифметичних операцій, незалежно від природи елементів, над якими вони відбуваються.
Двї множини, влаштовані однаково стосовно операцій додавання і множення на число, володіють однаковими властивостями, які називають ізоморфними.
Поняття ізоморфізму формулюється таким чином:
Два лінійних простори над одним і тим самим тілом коефіцієнтів, або дві множини, називаються ізоморфними, якщо між їх елементами можливо встановити таку взаємно однозначну відповідність, при якій сумі векторів першого простору буде відповідати сума відповідних векторів другого простору, а добутку якогось числа на вектор першого
простору буде відповідати добуток того ж числа на відповідний вектор другого простору.
Взаємно однозначна відповідність, яка володіє зазначеними властивостями, називається ізоморфізмом.
Властивості ізоморфізмів
• При ізоморфній відповідності нульовий вектор першого простору обов’язково переходить у нульовий вектор другого простору. 
З двох останніх властивостей безпосередньо витікає:
База першого лінійного простору, при ізоморфізмі, переходить в базу другого лінійного простору. Таким чином, ізоморфні лінійні простори, а також ізоморфні множини, мають однакову розмірність.
Зворотне так само справедливо:
Якщо два лінійних простори над одним тілом коефіцієнтів мають однакову розмірність, то вони ізоморфні.
Виходячи з того, що відповідні коефіцієнти в вищезазначених розкладаннях рівні, аа та αb будуть відповідними векторами, тобто добуток числа на вектор першого простору переходить у добуток того ж числа на відповідний вектор другого простору.
Аналогічно доводиться і та властивість, що сума векторів одного простору переходить у суму відповідних векторів другого простору.
Тому побудована відповідність являються ізоморфізмом, що і було потрібно довести.Перераховані вище властивості ізоморфних відповідностей показують, що при заданому основному тілі K кожний лінійний простір визначається своєю розмірністю з точністю щодо ізоморфізму. Простір рядків довжини п, з елементами тіла К, при п = 1, 2,..., з точністю до ізоморфізму вичерпує взагалі всі простори кінцевої розмірності над К. Зокрема, звичайний простір спрямованих відрізків, изоморфний просторові рядків, певні довжини 3 над полем речовинних чисел. Простір функцій, визначених на множині 3, що містить s елементів, із значеннями в тілі K изоморфний простору рядків ДОВЖИНИ S з елементами з K і т. д.
Унітарним модулем над кільцем K з одиницею називається алгебра, сигнатура якої складається з бінарної операції та символу, Fcx (а ∈ К) одномісних операцій, за умови, що в цій алгебрі виконуються тотожності:
Основне кільце K нескінченне. В якості окремих основних операцій, множення елементів основної множини (векторів), на любий фіксований елемент застосовуються вираз a ∈ К. При такому визначенні, сигнатура модуля так само нескінчена. Змінюючи кільце К, змінюємо і сигнатуру класу модулів.
2.2.7.