Темпоральна логіка

Т е м п о р а л ь н о ю, або часовою, логікою назива­ють розділ модальної логіки, який досліджує природу, ознаки, логічні зв’язки часових висловлювань.

Дамо визначення часового висловлювання.

Ч а с о в и м висловлюванням називається вислов­лювання, в якому часовий параметр включається до його логічної форми.

Тобто до складу темпорального висловлювання входять модальності P, F, H, G (відповідно «було так, що...», «бу­де так, що...», «завжди було так, що...», «завжди буде так, що...»).

Темпоральна логіка як самостійний розділ починає формуватися в ХХ ст. Фундаторами темпоральної логіки є А.Прайор, Г.Х. фон Врігт, М.Решер, Х. Укварт та інші. Але перші дослідження в галузі темпоральної логіки зна­ходимо в часи античності у Арістотеля, у середньовіччі у Діодора Кроноса, У.Оккама, Ж.Бурідана, Альберта Саксонського.

Темпоральна логіка розробляє апарат, за допомогою якого можна було б більш адекватно дослідити міркування про предмети і явища, які залежні від часу. Звідси і поділ часових логік за часовими рядами. Часові ряди незалежні один від одного, вони не зводяться один до одного, вони не повторюють один одного, нарешті, вони не перети­наються один з одним. Завдяки цьому часові ряди охоп­люють, характеризують речі, явища, події, які відбували­ся, відбуваються і будуть відбуватися у світі. Чи це буде світ описуваний гуманітарними науками, чи — природни­чими.

Таких рядів існує два.

Один з них позначають буквою А, другий — В.

Ряд А охоплює часовий простір з оцінками «буде», «було», «завжди буде», «завжди було».

Ряд В відображає часовий простір з оцінками «рані­ше», «пізніше», «одночасно».

Той розділ темпоральної логіки, який описує ряд А, називають А-логіка, а той розділ темпоральної логіки, який описує ряд В — часовою В-логікою.

а) Мова темпоральноїлогіки висловлювань

Висловлювання 1 істинне раз і назавжди.

Наведені приклади показують, що істинна оцінка ви- словлюванння змінюється залежно від просторово-часової локалізації. Але треба мати на увазі, що не простір і час сам по собі змушують змінюватися істинністні оцінки висловлювання, а відмінність між різними час­тинами світу і змінами в одній і тій же частині світу.

Іншими словами, існує тісний зв’язок між часом і змі­ною, між простором і відмінністю. Зміна має місце, коли дещо збільшується або зменшується у розмірах, або змінює свій колір чи температуру. Зміна включає в себе стан справ, подію і процес.

Стан справ, як один із видів факту, виражає інваріант­ність знання (з точки зору логіки і методології науки) і фі­ксується висловлюваннями (пропозиціями). Стани справ — це ті цеглинки, із яких будуються події, процеси, зміни.

Для більш ефективного аналізу поняття «зміна» введе­мо темпоральну логічну зв’язку «і потім». Цей сполучник є бінарним. Позначається він символом Т.

Оскільки ми домовилися, що стани справ представля­ють пропозиції, то аргументами Т, як і для істинністних сполучників, виступають пропозиційні змінні — p, q, r,.... Проте необхідно враховувати, що аргумент, який сто­їть зліва від Т, — це стан, який існує в даний момент (існує зараз), а аргумент, який справа, — це стан, який описує наступний момент часу.

Сполучник Т нагадує кон’юнкцію, тому його можна на­зивати темпоральною кон’юнкцією. Але на відміну від звичайної кон’юнкції темпоральна кон’юнкція асимет­рична і не асоціативна.

Використовуючи сполучник Т, ми можемо спостерігати, що відбуватиметься з елементарним станом справ.

Тут можливі чотири варіанти стану справ:

1) має місце стан «р» і він продовжує залишатися — «рТр»;

2) «р» є, але зникає (перестає існувати) — «рТ~р»;

3) «р» немає місця, але виникає (стає існуючим) — «~рТр»;

4) «р» немає і продовжує бути відсутнім — «~рТ~р».

Випадок 2 і 3 свідчать про наявність зміни, а 1 і 4 — про її відсутність. Будемо називати 2 і 3 варіанти елеме­нтарними змінами.

Подія — це одноразовий перехід від одного стану справ до іншого. Процес — це багаторазовий прехід від станів до станів.

Таким чином, подія і процес — це різновиди зміни, яле якщо подія трапляється, то процес триває.

Подію треба рогзлядати як таку зміну, яка є парою ста­нів, справ (початкового і кінцевого), що упорядковані у ча­сі. Але будь-яка подія відбувається у часі. Мірилом пере­бування подій у часі (одиницею виміру) є момент часу. Саме момент часу детермінує істинісні оцінки темпораль- них висловлювань.

Момент часу — це множина подій, які одночасно від­буваються.

Момент часу можна порівняти із математичною точкою на часовій прямій, але скоріше це проміжок часу, самото- тожність якого гарантована тим, що ніяка заміна не може відбутися протягом нього. Фактично момент часу фіксує конкретну подію, що пов’язана з ним, або множину подій, які знаходяться у відношенні часової координації.

Момент часу в темпоральній логіці є аналогом по­няття «можливий світ». У зв’язку з цим відношення до­сяжності між можливими світами R розглядається тут як часове відношення між моментами часу. Звідси й характер­ні властивості відношення досяжності в темпоральній ло­гіці.

Відношення R може бути:

— транзитивним;

— лінійним;

— дискретним;

— безкінечним;

— скінченним;

— циклічним.

Під часовою координацією розуміють співставлення частин подій на основі відношень «раніше», «пізніше» або «одночасно».

Наприклад, вираз «Битва при Бородіно відбувалася ра­ніше битви при Ватерлоо» означає, що будь-яка частина першої події відбувалася раніше, ніж будь-яка частина другої.

У тому випадку, коли події не можуть координуватися, говорять, що вони належать до різних часових потоків. Дамо визначення часового потоку.

Часовий потік — це множина моментів часу, які фіксу­ють події, що можна порівнювати за часом.

Найпростіший часовий потік складається з одного мо­менту часу.

Комбінації часових потоків утворюють часові структури. Найбільш характерними є такі:

І. Лінійний час.

Схема І відповідає найпростішій часовій структурі, що є реальним курсом подій.

Схема ІІ представляє таке відношення між потоками, коли усі події потоків х і у до певного моменту часу спів­падають, а потім ні. З цього моменту часу відбувається розгалуження потоків, виникають можливі напрямки, за якими піде курс подій. Таке відношення між потоками на­зивається розгалуженням.

Схема ІІІ фіксує відношення між потоками, коли події потоків х та у до певного моменту не мають нічого спіль­ного, а потім із цього моменту співпадають. Іншими сло­вами, схема ІІІ представляє можливості, які були в мину­лому.

Схема ІV показує, що час, який розгалужувався в мину­лому, із певного моменту розгалужується в майбутньому.

Наведені схеми співвідношення часових потоків свідчать про те, що коли потоки х та у мають спільну подію, то це дає можливість порівнювати решту подій цих потоків.

в) Метод аналітичних таблиць у темпоральній логіці

Введемо аналітичні правила для темпоральних модаль­ностей. Всього цих правил вісім відповідно до кількості модальних операторів (P, F, H, G).

I.

— читається: подія А завжди буде в деякий момент часу t^,, якщо А буде істинним у будь-який наступний момент часу, який є досяжним із t (tRt^,, t^, — будь-який наступний момент часу, який є досяжним із t).

II.

— читається: подія А ніколи не буде в деякий момент ча­су t, якщо А буде хибним хоча б в один наступний мо­мент часу t^,, який є досяжним із— деякий

наступний момент часу, який ще не зустрічався в попе­редніх рядках тієї гілки таблиці, де застосовується пра­вило F_g, і який є досяжним із t).

— читається: події А не було в деякий момент часу t, як­що А було хибним у будь-який попередній момент часу t^,, який є досяжним із— будь-який попередній

момент часу, який є досяжним із t).

За допомогою наведених аналітичних правил можна по­будувати аналітичні таблиці для будь-яких формул темпо- ральної логіки з метою встановлення їх семантичного ста­тусу.

Звернемося до ілюстрації.

Маємо формулу

Шляхом побудови аналітичної таблиці з’ясуємо, чи є ця формула логічним законом, чи протиріччям, ви викону­ваною:

3.