Алетична логіка

У попередньому розділі розглядалися результати дослі­джень в галузі модальної логіки, що належать її засновни­кам К.Льюїсу та Я.Лукасевичу. Результати цих дослі­джень є своєрідною новітньою історією модальної логіки, з одного боку, а з іншого — вони послугували сильним по­штовхом для сучасних досліджень модальної логіки.

Роботи К.Льюїса та Я.Лукасевича були пов’язані, в ос­новному, із синтаксичною побудовою модальної логіки.

Семантика модальних логік починає розроблятися лише в 50 — 60-х роках ХХст. завдяки працям Р.Кар- напа, С.Кріпке, Я.Хінтікки. Кожен із цих вчених зробив вагомий внесок у розробку сучасної модальної логіки.

Так, Р.Карнап, досліджуючи модальності, розробляє концепцію «опису станів».

С.Кріпке та Я.Хінтікка формулюють метод семан­тики можливих світів. Тобто, фактично на сьогоднішній день модальна логіка знаходиться в стані систематичного дослідження та вивчення.

Виходячи із типології модальних операторів, виділяють різні види модальних логік.

Серед найбільш канонічних є такі види модальних логік:

— алетична;

— темпоральна;

— деонтична;

— епістемічна.

Знайомство з цими системами розпочнемо з алетичної логіки.

а) Мова алетичноїлогіки висловлювань

Назва «алетична логіка» походить від грецького слова — «aletheia» (що означає істина).

А л е т и ч н о ю л о г і к о ю називають розділ мо­дальної логіки, яка досліджує модальності: «необхідно», «можливо», «випадково».

Ці модальності трактуються як близькі до істини, тому ця логіка отримала назву «алетична».

Дослідження алетичних модальностей починається ще за часів античності, що значною мірою сприяло розгляду алетичної логіки як бази для всієї модальної логіки.

Для того, щоб утворити мову алетичної логіки ви­словлювань, необхідно до мови класичної пропозиційної логіки додати. знаки ал.ети.чни.г модальностей:

Дефініція Фоомули:

Опишемо основні алетичні модальності.

І. ?

Виділяють два види необхідності:

а) логічну і

б) фізичну.

Логічною називається необхідність, яка випливає із законів логіки і заперечення якої є несумісною з ними.

Істинність логічно необхідного висловлювання обгрун­товується лише логічними підставами.

Фізична необхідність обумовлюється законами при­роди і не суперечить їм.

Відношення між логічною і фізичною необхідністю можна сформулювати у вигляді такої залежності:

«Все, що логічно необхідно, є і фізично необхідно, але не все, що фізично необхідно є логічно необхідно».

Схематично це записується у вигляді такої формули:

де ' _л — знак логічної необхідності, а ?φ — знак фізичної необхідності.

Наприклад, відповідно до закону тотожності істинним є висловлювання: «Якщо метал — електропровідник, тоді він завжди проводитиме електричний струм». Цей логіч­ний наслідок є також істиною фізики. Але те, що у металу є певна кількість вільних електронів на зовнішній орбіті, регламентується законом фізики, а не логіки.

II. О

Існує два види можливості:

а) логічна і

б) фізична.

Л о г і ч н а можливість пов’язана із внутрішньою несуперечливістю висловлювання. Логічно можливим є те, що не суперечить законам логіки, є сумісним із ни­ми і заперечення якого не випливає з них.

Ф і з и ч н о можливим є те, що узгоджується із за­конами природи, не суперечить їм і заперечення якого не випливає з них.

Зв’язок між логічною можливістю (Ол) і фізичною (Оф) можливістю можна зафіксувати у вигляді такої залеж­ності:

«Все, що можливо фізично, те можливо і логічно, але не все, що можливо логічно є можливим фізично».

Схематично це записується у вигляді такої формули:

Наприклад:

а) якщо фізично можливо побудувати міст через певну річку, то й теоретично можливо здійснити проектування цієї дії;

б) якщо теоретично можна спроектувати вічний двигун, то фізично це неможливо.

III. V

Випадковість визначають через можливість. якщо мож­ливість — це те, що може бути, то випадковість — це те, що може бути, а може й не бути.

Випадковість теж поділяють на:

а) логічну та

б) фізичну.

б) Алетична логіка і теорія «можливих світів»

Щоб установити логічне значення дескриптивного ви­словлювання, ми співставляємо дане висловлювання з тим, про що в ньому йдеться (або з дійсністю).

Якщо маємо відповідність висловлювання з дійсністю, то фіксуємо за ним значення «істина», а якщо ні — зна­чення «хиба».

Так, наприклад, «Варшава — столиця Польщі» — це висловлювання відповідає дійсності, отже воно є істинним, а висловлювання «Авраам Лінкольн відкрив Америку» не відповідає дійсності, отже, є хибним.

А як себе поводять в такій ситуації модальні вислов­лювання? Виявляється, що модальні висловлювання не є ні категорично істинними, ні категорично хибни­ми, а є істинними або хибними в деяких або усіх ви­падках.

Проілюструємо зазначене на прикладах.

Візьмемо дескриптивне висловлювання:

1) «Всі планети мають атмосферу» (р). Утворимо від нього модальне висловлювання:

2) «Необхідно, що всі планети мають атмосферу» (?p).

Отже, можемо сформулювати відповідний постулат:

«Якщо дескриптивне висловлювання хибне, то утво­рене від нього необхідне висловлювання буде хибним»:

Маємо висловлювання:

і

Якщо в ситуації (1, 2) ми із істинного дескриптивного висловлювання отримуємо істинне модальне висловлюван­ня, то у ситуації (1', 2') — сумнів, що висловлювання «?р» фіксує безумовність і неминучість даного факту.

Звідси випливає постулат: «Якщо дескриптивне висло­влювання істинне, то утворене від нього необхідне ви­словлювання може бути будь-яким (як істинним, так і хибним)»:

Подібним чином, але тільки у зворотньому розумінні, поводить себе оператор можливості (О).

Звернемося до прикладу:

1) «Всі учасники конференції підготували змістовні до­повіді» (р);

2) «Можливо, що всі учасники конференції підготували доповіді» (Ор).

«Якщо дескриптивне висловлювання істинне, то утворене від нього можливе висловлювання також буде істинним»:

Наведемо ще такий приклад:

1) «Природні супутники мають атмосферу» (р);

2) «Можливо, що природні супутники мають атмосфе­ру» (Ор).

Ґ ) «Метали — рідини» (р);

2') «Можливо, що метали — рідини» (Ор).

Якщо у ситуації (1, 2) із хибності дескриптивного ви­словлювання ми отримуємо хибність модального вислов­лювання, то у випадку (1', 2') із хибності дескриптивного ви­словлювання ми маємо істинне модальне висловлювання.

Отже, якщо дескриптивне висловлювання хибне, то утворене від нього можливе висловлювання може бути будь-яким (як хибним, так і істинним).

Із наведених прикладів випливає, що для встановлен­ня логічного значення модальних висловлювань недо­статньо лише співставити його із реальною дійсністю, а треба мати на увазі всю множину варіантів ситуації, з якими є смисл співставляти дане висловлювання. При цьому необхідно враховувати ці ситуації стосовно ми­нулого, майбутнього, просторової координації прийня­тих моральних, правових норм системи оцінок, стан­дартів пізнавальної діяльності тощо.

У пізнавальній, практичній діяльності у нас постійно виникає потреба оцінювати свої дії, поведінку інших лю­дей, прогнозувати події, виражати своє ставлення до ре­зультатів як своєї діяльності, так і оточуючих. Іншими словами, ми постійно вимушені припускати стосовно пев­ного факту, події довільне число можливостей, альтерна­тив, підходів, які забезпечують їх інтерпретацію.

У зв’язку з цим множину альтернативних підходів, множину припустимих варіантів пояснення ситуацій, розв’язання проблем, прогнозування подій, оцінки ре­зультатів діяльності тощо прийнято називати мож­ливими світами.

Фундатор теорії «можливих світів» — Г.Лейбніц. Саме він, досліджуючи природу істини розуму та істини факту, звертається до поняття «можливий світ». Трактовка ГЛейбніцем «можливого світу» переобтяжена гносеологі­чним змістом. Це наклало відповідний відбиток при ви­значенні необхідного висловлювання як істинного у всіх можливих світах, а можливого — хоча б в одному.

У сучасній логіці «можливий світ» розглядається як теоретико-множинне поняття. Навіть тоді, коли ми гово­римо, що дескриптивне висловлювання співставляється для визначення його значення з дійсністю, реальним ста­ном справ, то мається на увазі не реальна дійсність, яка є незалежною від суб’єкта, що пізнає, а «істина» не як то­тожність мислення і буття, а «хиба» як спотворене відо­браження дійсності, а маються на увазі теоретико- множинні поняття «належності», чи «не належності» еле­мента до множини, «включення» чи «не включення» одні­єї множини в іншу. Тим більше це стосується «можливого світу».

Оскільки, можливі світи моделюють різні обставини, альтернативні стани справ, різноманітні гносеологічні стандарти, припустимі і неприпустимі норми, оцінки відносно якогось випадку чи умови, то кожен можливий світ розглядається як елемент деякої множини можли­вих світів.

Між можливими світами існує відношення досяжно­сті, яке також має теоретико-множинний смисл. Це не відношення співставлення, яке має місце між дескрип­тивними висловлюваннями і реальним (дійсним) сві­том, а відношення обстеження перегляду множини мо­жливих світів, які якимось чином зв’язані, стосуються реального світу.

Відношенню досяжності (альтернативності) прита­манні такі властивості, як:

—рефлексивність,

— симетричність,

— транзитивність.

Якщо позначити можливі світи символами w₁, w₂, w₃,... w_n, а відношення досяжності — R, то названі властивості можна записати так:

Р.Карнап конкретизує поняття можливий світ через те­рмін «опис стану».

Опис стану — це один з можливих розподілів істині- сних значень для елементарних висловлювань.

Так, для висловлювання р ∧ q можливими є чотири комбінації розподілу істинністних значень:

Кожна з цих комбінацій є описом стану.

Можливий світ — це саме той світ, який є заданим пе­вним описом стану. Ми маємо чотири можливих світи. У нашому прикладі лише перший опис стану відповідає реаль­ному світові. Р.Карнап використовує поняття «опис стану» для дефініції логічної і фактичної істинності висловлювання.

Л о г і ч н о і с т и н н и м є висловлюваня, яке іс­тинне в усіх описах світів, а ф а к т и ч н о і с т и н - н и м — яке лише в деяких описах станів істинне.

Враховуючи вищезазначене, визначимо основні алетичні модальності і аналітичні правила для них.

Визначення у термінах можливих світів:

а) Висловлювання А буде необхідним у деякому мож­ливому світі w, якщо воно буде істинним в усіх можли­вих світах, досяжних із w:

де w' є будь-який можливий світ, який досяжний із wt.

б) Висловлювання А не буде необхідним у деякому можливому світі w, якщо воно буде хибним хоча б в од­ному можливому світі w, який є досяжним із w:

де w^, — є деякий можливий світ, якого ще не було в попе­редніх рядках тієї гілки таблиці, де застосовується це пра­вило, і який досяжний із w.

в) Висловлювання А буде можливим у деякому мож­ливому світі w, якщо воно буде істинним хоча б в одно­му можливому світі wT, якийє досяжним із w:

де w^, є деякий можливий світ, якого ще не було в попере­дніх рядках тієї гілки таблиці, де застосовувалося це пра­вило, і який досяжний із w.

г) Висловлювання А не буде можливим у деякому можливому світі w, якщо воно буде хибним у будь- якому можливому світі wτ, який досяжний із w:

де w^, є будь-який можливий світ, який досяжний із w.

496

А. Є. Конверський. Логіка

Застосування аналітичних правил ефективне для здійс­нення проблеми розв’язання в алетичній логіці.

При побудові аналітичних таблиць для формул але- тичної логіки треба мати на увазі, що таблиця вважа­ється замкненою лише тоді, коли одна і та сама пропо- зиціна змінна буде з індексом Т і F у тому самому мо­жливому світі.

Здійснимо побудову аналітичної таблиці для формули:

Аналітична таблиця є замкненою. Отже, дана формула є законом алетичної логіки і при цьому відношення досяж­ності R є рефлексивним: «Все необхідне є реальним».

Наведений закон відображає фундаментальне відношен­ня між необхідністю і дійсністю. Буквально він засвідчує те, що при істинності ?А А буде завжди істинним в усіх можливих світах і в дійсному також.

Ця залежність іноді може провокувати невірне обмеже­не твердження: «Все дійсне є необхідним». Але не завджи із дійсності випливає необхідність чогось. Для цього дійс­ність повинна мати атрибут необхідності.

Наприклад, із того, що «Всі мешканці нашого будинку знають англійську мову», не випливає необхідність цього факту.

Наведемо ше один приклад.

Побудуємо для неї аналітичну таблицю:

«Все необхідне є реальним».

Отже, формула є законом алетичної логіки, а відношен­ня досяжності R є транзитивним і рефлексивним.

Розглянемо ще два закониалетичної логіки.

«Все дійсне є можливим».

Аналітична таблиця цього закону матиме вигляд:

Даний закон регламентує той аспект відношення між реальним і можливим, коли визнання висловлюван­ня можливим означає його істинність хоча б в одному з можливих світів, але не виключено, що ним може бути дійсний світ.

Зрозуміло, що обернена залежність буде невірною: «Із того, що можливо, не випливає його дійсність».

Наприклад, із того, що «Київське Динамо» може ви­грати у черговому турі, не випливає його перемога.

«Все необхідне є можливим».

Цей закон є наслідком із попередніх двох законів:

У цьому законі зафіксована залежність: «Якщоіс­

тинне, то А буде істинним в усіх можливих світах, у тому числі і в дійсному, а, отже, ібуде істинним».

Даний закон перевіримо за допомогою аналітичної таблиці:

+

2.