Система багатозначної логіки Я.Лукасевича.

а) Тризначна логіка Я.Лукасевича

Відомий польський логік Я.Лукасевич, досліджуючи природу модальних висловлювань, прийшов до висновку, що для оцінки модальних висловлювань засобів класичної логіки недостатньо.

При цьому необхідно підкреслити, що навіть у тих випадках, коли поняття «істинно», «хибно», «можли­во» виконують роль предикатів (наприклад, «висловлю­вання р — істинне», «висловлювання р — хибне», «ви­словлювання р — можливе»), суть справи не змінюється. Тобто, у цих випадках відбувається утворення нового ви­словлювання, де назва «висловлювання «р» є суб’єктом, а оцінка «істинно» («хибно», «можливо») — преди­катом.

Якщо прийняти трактовку принципу багатозначності як поділ усієї множини висловлювань на «істинні», «хибні», «можливі» («нейтральні»), то справедливим буде поло­ження:

Для будь-якого висловлювання правильно, що воно або «істинне», або «хибне», або «нейтральне» — четверто­го не дано.

При побудові тризначної логіки Я.Лукасевич істинніст- ні значення позначає таким чином:

«істинно» — 1,

«хибно» — 0,

Третє значення «нейтрально» може тлумачитися у ви­гляді положення: «може бути істинним, а може бути хибним».

Враховуючи значенняі визначення пропозиційних зв»язок у двозначній логіці, Лукасевич задає нове табличне визначення логічних сполучників:

Тут матимемо таку ситуацію:

Отже, імплікація при такому наборі значень, де анте­цедент істинний (1), а консеквент невизначенний (½) ма­тиме значення.

і

Виходячи із формули побудови таблиці істинності в тризначній логіці, така таблиця матиме 27 рядків:

Закінчення табл.

Окрім табличного способу визначення пропозиційних сполучників існує ще спосіб визначення даних сполучни­ків у формі рівностей.

Скористаємося позначенням логічних сполучників, яке вживає Я. Лукасевич:

Тепер логічні сполучники, як пропозиційні функції мо­жна записати у вигляді таких рівностей:

Прокоментуємо кожну із наведених рівностей:

Розглянемо всі варіанти:

Якщо співставити табличне визначення пропозиційних зв’язок (яке наводилося вище) із визначенням їх у формі рівностей, то їх ідентичність буде очевидною.

Як і у двозначній логіці, в якості тавтологій (стверджу­ваних, доказових, завжди істинних тощо висловлювань) вважаються ті, які набувають лише значення «і», так і в трьохзначній логіці Я.Лукасевича законом є формула, яка при будь-яких наборах значень пропозиційних змінних на­буває значення «1».

У зв’язку з цим виникає закономірне питання: «Чи співпадає клас тавтологій двозначної логіки із класом тавтологій тризначної логіки?»

Виявляється, що не всі тавтології двозначної логіки є тавтологіями у тризначній.

Не відноситься до числа тавтологій і правило зведення до абсурду:

оскільки —

Як ми вже переконалися, закон виключеного третього і закон протиріччя не є тавтологіями в тризначній логіці, але й такими не є їх заперечення.

Переконаємося у цьому, здійснивши заперечення даних законів.

Візьмемо спочатку заперечення закону виключеного третього:

Із наведених фактів випливає, що багатозначна логіка не є запереченням (відкиданням) двозначної логіки (поді­бно до того, як поява фізики Енштейна не була заперечен­ням, в негативному розумінні, фізики Ньютона), а багато­значна логіка є узагальненням двозначної. Адже при зна­ченнях «1» та «0», коли виключати проміжні значення, то двозначна логіка виступає як граничний (частковий) випа­док багатозначної.

б) Чотиризначна логіка Я.Лукасевича

У творі «Арістотелівська силогістика з точки зору су­часної формальної логіки» Я.Лукасевич розробляє чотири­значну логіку.

Для цього він бере два вихідні значення «1» та «0» і ут­ворює з них чотири впорядковані пари: (1, 1), (1, 0), (0, 1), (0, 0). Які розглядаються як елементи нової таблиці істин­ності. Значення істинності для вихідних (в його логіці) ло­гічних зв’язок імплікації та заперечення Я.Лукасевич за­дає відповідними рівностями:

Упорядковані пари відповідно позначимо:

Побудуємо таблицю істинності для імплікації із ураху­ванням введених рівностей:

Перепишемо дану таблицю, застосовуючи введені раніше скорочення:

Дамо табличне визначення заперчення (N):

Враховуючи скорочення, дана таблиця набуде вигляду:

Задамо значення для кон’юнкції, диз’юнкції та еквіва- ленції:

Введемо табличне визначення для кон’юнкції (К), диз’юнкції (А) та еквіваленції (Q).

У скороченому варіанті дана таблиця матиме вигляд:

Таблиця для диз’юнкції виглядатиме так:

Скорочений варіант таблиці:

Запишемо таблицю для еквіваленції:

Скорочений варіант таблиці для еквіваленції:

Нові символи, які введені для таблиць істинності «2» і «3», можна тлумачити: «2» — «ближче до істини», «3» — «ближче до хиби». Оскільки «2» і «3» взяті як додаткові істинісні значення, то їх можна ототожнювати з «1» і «0» байдуже як саме.

Візьмемо, наприклад, таблицю для імплікації і прийме­мо умову: 2 = 1, а 3 = 0.

Таблиця 1

А тепер перепишемо дану таблицю за умови 2 = 0, а 3 = 1.

Таблиця 2

Аналізуючи таблицю 1, ми бачимо, що:

а) другий рядок ідентичний першому, а третій —четвер­тому;

б) друга колонка ідентична першій, а третя — чет­вертій.

Якщо викреслити менші проміжні рядки і колонки, то отримаємо таблицю істинності для імплікації в двозначній логіці. Це ж саме можна спостерігати, аналізуючи табли­цю 2.

Отже, як і у випадку із тризначною логікою, чотири­значна логіка так само є узагальненням двозначної логіки. Все це дає право стверджувати, що будь-яке числення не- класичної логіки у своїй основі як базову утримує двозна­чну логіку.

Наприкінці знайомства з чотиризначною логікою задамо алгоритм побудови таблиці істинності і знайдемо значення для довільного виразу.

Таблиця істинності будується тут за формулою «4^п», де «4» — це кількість значень, що приймає одне висловлювання, а «п» — це кількість простих вислов­лювань, що входять до складу вихідного висловлю­вання.

Наприклад, маємо вираз:

Побудуємо для нього таблицю істинності. Відповідно до формули 4ⁿ вона буде мати 16 рядків.

Отже, даний вираз є доказуваним у чотиризначній ло­гіці.

Перевіримо, чи будуть тавтологіями в чотиризначній логіці закон виключеного третього і закон протиріччя:

Виходить, що закони виключеного третього і проти­річчя залишаються тавтологіями і в чотиризначній логіці.

Це означає, що багатозначна логіка не завжди від­кидає закони класичної логіки, тому більш конкрет­ним буде все ж таки визначення багатозначної логіки як такої, що визнає за висловлюванням більш ніж дві оцінки.

Критика законів виключеного третього та протиріччя є лише зовнішнім виявом тих процесів, які визначають від­ношення між класичною та некласичною логікою. І це по­трібно мати на увазі, даючи дефініцію класичної логіки.

Прокоментуємо дане положення.

Враховуючи факт існування класичної та некласич- ної логіки, закон виключеного третього матиме три рі­зні за формою дефініції:

а) «Будь-яке висловлювання або істинне, або хибне».

б) «Будь-якому висловлюванню або притаманне деяке значення істинності, або ні».

У наведених дефініціях закону виключеного третього визначальними є характеристики диз’юнкції та заперечен­ня. В усіх цих дефініціях диз’юнкція та запереченння ви­ступають в узагальнюючому вигляді. Це означає, що для одних визначеньзалишається законом (чотирьох-

значна логіка Я.Лукасевича), а для інших — ні (тризначна логіка Я.Луксевича). Якщо ми приймемо, що тавтологією є висловлювання, яке завжди приймає одне з двох значень виявиться тавтологією:

Третя дефініція закону виключеного третього(як

і закону протиріччяє приблизним позначенням

цього закону (тобто цей закон не можна зводити до відпо­відної тотожньо-істинної формули, це лише певна експлі­кація цього закону). І коли в підручниках з логіки в роз­ділі «Закони логіки висловлювань» приводять закони тотожності, виключеного третього, протиріччя як відпові­дні тавтології то це не зовсім

коректно.

Особливо це відчутно, коли задається інтерпретація диз’юнкції та заперечення в багатозначній логіці, при

452

А.

цьому виразє законом (наприклад, в чотиризначній

логіці), то формулане буде законом виключеного

третього у власному розумінні.

Виходячи з цього, завжди треба підходити прискіпливо до тези: «закон виключеного третього в даній системі не діє».

Якщо взяти чотиризначну логіку Я.Лукасевича, то заява, що «кожне висловлювання або істинне, або хиб­не» буде некоректною. Тут прийнятним є твердження: «Будь-яке висловлювання має значення «1», або «2», або «3», або «0». В іншому формулюванні: «Будь-яке вислов­лювання або має значення істинності, або не має його (має якесь інше з чотирьох можливих)».

Це ж саме стосується і закону протиріччя, але тут із трьох можливих дефініцій перша зберігає силу і в багато­значній логіці:

1. «Не може бути, щоб висловлювання було істинним і одночасно хибним».

2. «Не може бути, щоб висловлювання мало і одноча­сно не мало хоча б одне значення із числа можливих».

Такі основні риси багатозначної логіки Я. Лукасевича.

2.