Багатозначна логіка Брауера — Гейтінга

Як у розвитку будь-якої науки, так і у розвитку логіки визначальними є два види причин:

а) внутрішні і

б) зовнішні.

Для логіки внутрішніми стимулами розвитку є роз­робка та вдосконалення її апарату, а зовнішніми — ті процеси в науковому пізнанні, для аналізу яких потріб­ні засоби логіки.

Якщо для формування багатозначної логіки ЯЛукасе- вича таким зовнішнім поштовхом був аналіз модальних висловлювань, то для багатозначної логіки Брауера — Гейтінга — потреба обгрунтування математики на базі принципів інтуїціонізму.

Брауер виходить із положення: «Якщо закон виключе­ного третього діє в кінцевій математичній системі, то в системі з нескінченними величинами він втрачає свою абсолютність ».

Гейтінг вводить таке табличне визначення для запере­чення (N) та імплікації (С):

У формі рівностей Гейтінг так задає імплікацію:

Якщо скласти результати двох рівностей, то отримаємо наведену вище таблицю істинності для імплікації.

Порівняємо імплікацію тризначної логіки Я.Лукасевича і Б.Гейтінга:

Отже, повної подібності немає.

Кон’юнкцію і диз’юнкцію Б.Гейтінг визначає відповідно за рівностями:

а) К х, у = min (х, у)

б) А х, у = max (х, у).

За допомогою таблиць істинності перевіримо, чи є тав- тологіями вирази: CNNxx та AxNx:

Отже, закон подвійного заперечення і виключеного третього в системі Брауера—Гейтінга не є доказовим.

В той час як вирази CxNNx і AAxNxNNx є тавтоло- гіями:

Розглянемо вираз AAxNxNNx:

Даний вираз є своєрідним узагальненням закону ви­ключеного третього:(враховуючи те, що в ло­

гіці Гейтінга подвійне заперечення не дорівнює ствер­дженню).

Для доведення формул у даній системі будуються таб­лиці істинності. Оскільки дана логіка тризначна, то таб­лиця істинності будується за формулою

Візьмемо два вирази і побудуємо відповідні їм таблиці істинності.

3.