Операції над множинами (поняттями)

Будь-який елемент універсальної множини належить або А, або А, але не може належати їм обом.

Доповненню множини відповідає операція над поняттями, яку називають запереченням поняття.

132

Рис.2

Відповідно визначається і результат перетинання будь-якого числа п множин Ai, A2,..., A_n - як множина всіх елементів, що належать і Ai, і А2, і..., A_n. Отримана множина позначається:

Якщо множини А і В видалані з універсальної множини характеристичними предикатами,то перетинання- це

множина, що складається з елементів, які володіють обома зазначеними властивостями.

Перетинання множин є операція усюди визначена, та перебувають в будь-яких ставленнях. Якщо є дві непустих множини (А і В), то існує п’ять взаємовиключних засобів, котрими можуть бути логічно пов’язані ці множини (рис. 3).

Такі відношення називають:

- лівобічне включення.

- правобічне включення.

Рис.З

Операція перетинання множин має на меті знаходження загальних елементів двох або більшої кількості множин. Перетинанню відповідає операція над поняттями, яку називають множенням понять.

Знаходити загальні елементи множин доводиться для розв’язання задач у різноманітних областях науки і практичної діяльності.

Об’єднанням множин А і В (позначаєтьсячитається

«об’єднання А з В») називається множина, яка складається з елементів, котрі належать хоча б одній з множин А або В.

Вираз має форму запису:

(Об’єднання А з В дорівнює по визначенню множині елементів х, де х є елемент А або елемент В). Потрібно мати на увазі, що спілка «або» вживається у змісті «і/або». На рис. 4 заштрихована область, яка зображує результат об’єднання AiB.

Рис. 4

Результатом об’єднання будь-яких п множин Aι, A2,..., A_n зветься множина всіх елементів, котрі належать хоча б одній з них. Нова множина позначається

Об’єднанню множин відповідає операція над поняттями, яку називають додаванням понять. Операція об’єднання множин є усюди визначеною, так само, як і операція перетинання множин.

Множини, які об’єднуються мають спільні елементи, тобто їх перетинання не буде порожнім. Повторювані елементи в об’єднанні рахуються лише по одному разу, тому для кінцевих множин число елементів об’єднання може виявитися меншим, чим загальна сума елементів множин, які об’єднуються. По визначенню, коли х

є елементом хоча б однієї з множин А або В. Наприклад,,

3,4} = {1,2, 3,4}.Ha рис.

Приклад додавання понять: якщо об’єднаємо множини усіх студентів (А) і молоді у віці від 17 до 22 років (В), то кількість елементів AuB буде подано сумою трьох чисел:

1) кількість студентів, які не досягли 17 років,

2) кількість студентів, котрим більш 22 років,

3) кількість молоді, що не є студентами.

Рис. 5

Рис. 6

Над множинами, отриманими в результаті чотирьох визначених операцій, можна у свою чергу робити ті ж самі операції. Так, можна виразу, над якими стоїть штрих (або від усього виразу, що стоїть в дужках, поруч із якими стоїть штрих).

Потрібно пам’ятати, що всі наведені операції можна робити лише над множинами, що належать до однієї універсальної множини.

2.2.3.