Алгебра множин (числення понять)
Операції над множинами підпорядковані законам елементарної алгебри. Підпорядкованість більш очевидна, якщо знаки перетинання й об’єднання множин замінити на знаки множення і додавання.
Цим визначається назва вивчаємого підрозділу «Алгебра множин». Алгебру множин називають також булевою алгеброю, що пов’язано з ім’ям англійського математика і логіка Дж. Буля, який поклав в основу своїх логічних досліджень ідею аналогії між алгеброю і логікою.Закони операцій над множинами (понятими)
Перші три закони є виразом, на мові булевої алгебри множин, основних законів мислення.
4. Закон ідемпотичності (лати. Idem - те ж, potentia - сила):
Закони алгебри множин по відношенню до операцій перетинання й об’єднання підпорядковані принципу двоїстості: якщо в будь-якій вірній тотожності алгебри множин усі знаки перетинання замінити знаками об’єднання, а всі знаки об’єднання - знаками перетинання, знак універсальної множини замінити знаком порожньої множини, а знак порожньої множини - знаком універсальної множини, то одержимо
знову вірну тотожність. У силу цього принципу, наприклад,
Якщо в булевій алгебрі множин знаки перетинання й об’єднання замінити на знаки множення і додавання, то при такій заміні всі приведені вище закони перейдуть у відомі закони елементарної алгебри.
Закони тотожності, комунікативний і асоціативний мають місце в елементарній алгебрі. У ній буде справедливим також перший дистрибутивний закон, проте другий - не має сенсу. Виявляться зрадливими закони ідемпотичності (вони показують відсутність у булевїй алгебрі ступенів і коефіцієнтів), поглинання і подвійного доповнення, а принцип двоїстості в звичайній алгебрі просто не визначений.
Перевірка істинності тотожностей за допомогою діаграми Ейлера-Венна
Два кола (у загальному положенні, тобто пересічні) поділяють всю універсальну множину на чотири області (рис. 7):
Рис. 7
множина, записана ліворуч, від знака рівності, і множина, записана праворуч, зображуються однією і тією ж областю.
Три кола (у загальному положенні, тобто взаємно пересічні) оділяють універсальну множину на вісім частин (рис. 8):
138
Рис. 8
Рисунок налає можливість ссЬооммлювати:
Для того, щоб довести тотожність множин за допомогою діаграми Эйлера-Венна, необхідно:
I. Накреслити відповідну діаграму, і заштрихувати усі множини, що стоять у лівій частині рівності;
II. Накреслити другу діаграму і зробити теж для правої частини рівності;
III. Якщо на обох діаграмах буде заштрихована та сама область, то дана тотожність - істинна.
2.2.4.