Поняття як множина. Множина, її елементи, включення множин

Сукупність властивостей і відносин (ознак) предметів, відбитих в понятті, складають зміст поняття. Всякому поняттю відповідає безліч предметів, кожний з яких володіє ознаками, зафіксованими в змісті поняття.

Під множиною розуміється клас, сукупність, збори різноманітних предметів, байдуже якої природи. Відповідно до визначення, що дав засновник теорії множин Г. Кантор, множиною є будь-які збори визначених і різноманітних об’єктів нашої інтуїції, які мисляться як єдине ціле. Істотно насамперед те, що збори предметів розглядаються як один предмет, мислиться як єдине ціле.

Не слід розуміти множину як сукупність дійсно існуючих предметів, що володіють усіма реальними характеристиками, наприклад, визначеними просторовими або тимчасовими властивостями. Приналежність до множини не потребує співіснування в часі і просторі: усі математики утворять один клас, хоча і живуть у різних країнах; Аристотель і Г. В. Ф. Гегель належать до множини видатних філософів, хоча вони жили в різний час.

Множина в символічній логіці - це «абстрактний об’єкт», у котрому кожна його складова розглядається лише з погляду ознак, що утворюють зміст визначеного поняття. Всім предметам однієї множини ми приписуємо однакові ознаки, відмінність їх один від одного визначається по їх іменам.

Предмет, що належить даній множині, називається його елементом. Елементи множини позначаються - х, у, z,... (або хі, Х2, хз,...) а самі множини - А, В, С,...

Якщо множина містить кінцеве число елементів, її називають кінцевою, якщо в неї нескінченно багато елементів - безкінцевою.

Знаком є позначається відношення приналежності елемента до тої або іншої множини. Вираз х ∈ А означає, що елемент х належить множині А. Якщо х не є елементом множини А, то це записується так х £ А.

Якщо дві множини А и В складаються (кількісно та якісно) з одних і тих самих елементів, то вони рахуються рівними.

Елементи якоїсь множини самі можуть бути множинами. Наприклад: {{1,3}, {2, 4}, {5, 6}} є множина з трьох елементів, саме {1, 3}, {2,4}, {5,6}.

Множини {{1, 2}, {2, 3}} і {1, 2, 3} не рівні, елементами першої є {1,2} і {2, 3}, а елементами другої - 1, 2 і 3.

Множини {{1, 2}} і {1, 2} також не рівні, оскільки перша множина, складається з одного і лише одного елемента - {1, 2} (одноєлементна множина), а друга має своїми елементами 1 і 2. У загальному вигляді, слід розрізняти предмет і множину, єдиним елементом якої є цей предмет.

Множину вважають заданою, якщо володіємо засобом, котрий дає змогу для будь-якого даного предмета вирішити, чи належить він цій множині або ні, тобто визначити істинно або ні висловлення х ∈ А (при відповідному значенні змінних х і А).

Задати множину можна різноманітними засобами. Один із них складається в тому, що задається повний список елементів, які входять у множину. Якщо необхідно сказати, що множина А складається з елементів Xi, х₂, хз,... x∏, то записуємо A: = {x_b x_b х₃,... x_n}... Наприклад, множина арифметичних дій складається з елементів додавання, вирахування, множення і розподілу.

Засіб завдання елементів списком застосовується лише для кінцевих множин, але не до усіх. Наприклад, хоча множина риб кінцева, навряд чи можна задати її списком. Тим більш, список неможливий у випадку безкінцевої множини.

Застосовується інший засіб, що складається в завданні множини характеристичними предикатами, тобто вказівкою такої властивості, (предиката), яка належить будь-якому предмету, котрий є елементом даної множини, і не належить жодному предмету, що не є її елементом

(М: = {x I P(x)} - «множина усіх х, що володіють властивістю Р»).

Два перші засоби завдання множин припускають, що є можливість ототожнювати та розрізняти предмети. Але така можливість існує не завжди, у цьому випадку виникають різноманітного роду ускладнення. Так, може бути, що дві різноманітні характеристичниі властивості задають ту саму множину, тобто кожний елемент, що володіє однією властивістю, володіє й іншим, і навпаки. Наприклад, в арифметиці властивість «ціле число ділиться на 2» задає ті ж множини, що і властивість «остання цифра числа ділиться на 2». У багатьох випадках мова йде про збіг двох множин (наприклад: множини рівнобічних трикутників із множиною рівнокутних трикутників). Крім того, при завданні множин характеристичним предикатом труднощі виникають через недостатню визначеність, неоднозначність природної мови. Розмежування об’єктів на приналежні і ті, що не належать даній множині, ускладнюється також і наявністю великого числа проміжних форм.

Особо виділяється універсальна множина, тобто така множина, яка складається з усіх елементів досліджуваної предметної області (вона позначається літерою U, а в геометричній інтепретації зображується множиною крапок у середині прямокутника).

Порожня множина - не містить жодного елемента (позначається символом 0). Якщо множина задана своїми характеристичними властивостями, то вона не завжди заздалегідь відома, але дійсно існує хоча б один елемент із такими властивостями. Наприклад, невідомо, чи порожня множина всіх натуральних чисел п таких, що п > 2, а рівняння Xn + y_n = Z_n має позитивні цілочислені рішення (у цьому складається знаменита проблема Ферма). Багато логічних проблем можна сформулювати як твердження про порожню множину.

Парадокс Бертрана Рассела

Завдання множини характеристичним предикатом може призводити до протиріч. Наприклад, усі множини не містять себе в якості свого елемента- множина Y не містить сама

себе в якості свого елемента.

У цьому випадку утворюється логічне протиріччя, що відомо як парадокс Бертрана Расела. Існують три засоби уникнути цього протиріччя.

1. Обмежити використовувані характеристичні предикати у вигляді

А - відома, існуюча множина (універсум). При цьому використовується позначеннядля Y універсум не

зазначений, а тому, Y множиною не є.

2. Теорія типів. Об’єкти мають тип 0, множини мають тип 1, множини множин мають тип 2 і т.д. Y не має типу і множиною не є.

3. Характеристичний предикат Р(х) заданий у вигляді функції, що обчисляється. Засіб обчислення значення предиката

не заданий, а тому Y множиною не є.

Останній із перерахованих засобів лежить в основі конструктивізму - напрямку в математиці, у рамках якого розглядаються лише такі об’єкти, для яких відомі процедури їх породження. У конструктивній математиці виключаються з розгляду деякі поняття і методи класичної математики, що чреваті можливими парадоксами.

Підмножини

Будь-яку частину множини називають підмножиною. Якщо деяку

Якщо властивості, якими задана множина і її підмножина,

збігаються, то ці множини будуть рівні. Рахується, що множина є частиною самої себе, або «цілком частиною».

Якщо предикат, котрим задається підмножина, суперечить предикату, за допомогою якого задана сама множина, то ця підмножина буде порожньою. Порожня множина є частиною будь-якої множини.

Повну і порожню частини називають невласними множинами. Всі інші підмножини є власними.

Якщо відомо число елементів даної множини, то загальне число підмножин буде 2ⁿ (де п - число елементів). З порожньої множини можна утворити лише одну підмножину - сама порожня множина (при п = 0,2°= 1).

Якщо предмет позначити X, а його характеристичний предикат Р, то об’єм поняття, що відбиває цей характеристичний предикат, буде множиною, кожний елемент якої, підставлений на місце перемінної X в формулі Р(х), буде давати істене судження.

Нехай у формулі P(x) P означає «бути непарним», тоді замість х можуть бути підставлені змінні 1, 3, 5, 7 і т.д., при цьому ми одержуємо істині судження («1 - непарне число», «З - непарне число» і т.д.).

Вираз Р(х) однаковий за змістом з виразом х ∈ Р. Так говорячи про властивість «бути непарним», розуміємо множину предметів, кожен з яких має цю властивість.

Говорячи про будь-який предмет, визначаємо не лише властивості, якими він володіє, а й відношення до інших предметів, які його характеризують.

Відношення позначаються буквою R (перша буква латинського слова Relatio - відношення). Вираження xRy або R(x, у) читається: «предмет х перебуває до предмета в у відношенні R».TaKi поняття як «більше», «менше», «дорівнює» «причина», «функція», відбивають визначене відношення між предметами. Наприклад, для відношення «менше» необхідно два предмети, щоб відбити значуще припущення («2 менше 3», «5 менше 4» - пропозиції, перша з яких виражає істене висловлення, а друга - помилкове).

Пари предметів, утворюючі об’єм поняття «менше», є упорядкованими, тому, пара 2 і 3 входить в об’єм даного поняття, а 5 і 4 ні. У загальному виді цю обставину можна записати ∈R, що означає «упорядкована пара х, у, є елементом R». Розглядаємо відношення R як множину упорядкованих пар елементів. Такого роду відношення називають двомісними. Можуть бути трьохмісні і т.д. відношення.

Об’єм поняття, який відбиває відношення між предметами,

складає множину упорядкованих пар (трійок, четвірок і т.д.), що пов’язані з R визначеними властивостями. Пари, які входять у визначене поняття, утворюють істині висловлення.

2.2.2.