Концепція модальної логіки Я.Лукасевича

а) Тризначна система Я.Лукасевича

Ідею появи модальної логіки Я.Лукасевича спричинили його дослідження модальної логіки Арістотеля, який у своїх працях «Про витлумачення» та в «Першій аналіти­ці» використовує модальні терміни: «необхідно», «можли­во», «неможливо», «випадково».

Терміни «необхідно» і «можливо» беруться за основні. Позначимо їх відповідно «М» і «L».

У творі «Про тлумачення» Арістотель стверджує, що «можливість розуміється як відсутність необхід­ності».

Я.Лукасевич фіксує цей факт у вигляді залежностей:

1. «Якщо можливо, що «р», то не необхідно «р».

Але з цієї залежності випливає, що необхідність утри­мує в собі можливість.

2. «Якщо необхідно, що «р», то можливо, що «р».

Тоді за правилом гіпотетичного силогізму отримуємо із 2-го 1-ше.

3. «Якщо необхідно, що «р», то не необхідно, що «р».

Виходить нісенітниця. Пізніше, у «Першій аналітиці», Арістотель виправляє ситуацію за допомогою введення та­кої еквівалентністі:

4. «Можливо, що «р», якщо і тільки якщо не необхід­но, що не «р».

А відношення необхідності до можливості, про яке го­ворить Арістотель в роботі «Про тлумачення», Я.Лукасевич формулює у вигляді такої залежності:

5. «Необхідно, що «р», якщо і тільки якщо не можли­во, що не «р».

Використовуючи символіку Я.Лукасевича, 4 і 5 залежніть можна виразити таким способом:

Я.Лукасевич вбачав основний недолік попередніх дослі­джень у галузі модальних логік — це відсутність ефектив­них логічних засобів для фіксації модальних понять. Та­ким інструментом, на його думку, може стати логіка, яка приписує одному висловлюванню більше ніж два значення.

Першою його пропозицією була тризначна пропозиційна логіка.

Запропонована Я.Лукасевичем система складається із немодальної і модальної частин.

Немодальна частина включає в себе:

1.

2. Список пропозиційних зв’язок: N, K, A, C, Q, (відпо-

3. Дефініцію формули.

4. Дефініцію пропозиційних зв’язок.

5. Дефініцію доказової формули.

До модальної частини відносяться:

1. Список модальних функторів: M, L, NM, D.

2. Дефініція формули.

3. Дефініція модальних функторів.

4. Дефініція доказової формули.

Кількість можливих значень, яке може мати довільне висловлювання, дорівнює трьом (1, 0, ½).

— 1 ставиться у відповідність оцінка «істинно»;

— 0 — «хибно»;

—½ — «невизначено».

Пропозиційні зв’язки заперечення та імплікація зада­ються табличним способом:

Пропозиційні зв’язки кон’юнкції, диз’юнкції, еквівале- нції задаються відповідними дефініціями.

Розглянемо їх послідовно.

½

Модальні функції в трьохзначній системі Я.Лукасевича є функціями від трьох значень істинності (1, 0, ½).

Вихідною модальною функцією є можливість (М). Че­рез можливість визначаються неможливість і необхідність.

Змістовна трактовка можливості передбачає зв’язок іс­нування і можливого стану, дії, результату тощо. Іншими словами, існування чогось передбачає його можливість, але не навпаки. Виходячи із цього, Я.Лукасевич тлумачить істинністну функцію можливості в аспекті трьох істинніс- тних оцінок таким способом:

1) Р, q, ^r •••• — це змінні висловлювань, в яких відбува­ється констатація чогось;

2) Мр, Мд, Мг,... — це змінні висловлювання, в яких висловлюється оцінка з тієї чи іншої точки зору стосо­вно змісту висловлювання: «Можливо, що р», «Можли­во, що д».

Тоді, якщо висловлювання «р» має оцінку «1» (підтве­рджено факт існування), то висловлювання «Мр» теж ма­тиме оцінку «1».

Якщо висловлювання «р» має оцінку «0» (факт існу­вання не підтверджено), то висловлювання «Мр» має оці­нку «0», і цим самим підкреслюється відсутність реалі­зації якоїсь можливості.

За певних умов деякий факт може мати місце, а може й ні. Ця ситуація фіксується висловлюванням, яке має оцін­ку («невизначено»). Модальне висловлювання, яке утворене від нього, матиме оцінку «1», цим самим вказу­ючи на здатність чогось реалізуватися.

За допомогою таблиць зазначене можна відобразити так:

Як уже зазначалося «М» є вихідною модальністю у Я.Лу- касевича. Тому табличне визначення можливості є базовим для визначеня інших модальностей.

Таким чином, ми будували таблиці для «неможливос­ті» (NMp) і для «необхідності» (NMNp).

Я.Лукасевич задає модальну функцію «випадковість» (D) за допомогою дефініції:

1. Dp = 1QN1 = 1Q0 = 0

2. Dp = 0QN0= 0Q1 = 0

3. Dp = ½ QN½ = ½ Q½ = 1.

У вигляді таблиці це можна представити так:

NDp — це значення випадковості.

Прокоментуємо визначення випадковості.

З чисто змістовної точки зору, якщо у висловлюванні «р» однозначно фіксується наявність якогось факту або його відсутність, то це означає виключення будь- якої випадковості. Іншими словами, якщо висловлюван­ня «р» має оцінку «1» або «0», то модальне висловлю­вання «^р» матиме оцінку «0». А коли у висловлюванні «р» фіксується рівноцінність як того, що може мати місце, так і того, що не може мати місця (це відобра­жається оцінкою «%»), то модальне висловлювання «^р» оцінюється «1».

У запропонованій Я.Лукасевичем системі вивідними (доказовими) є тільки ті формули, які при будь-якій ком­бінації значень приймають значення «1».

Візьмемо дві формули: pCMp і MpСp перевіримо їх на доказовість.

Отже, формула рСМр є доказовою і вона приймається в системі Я.Лукасевича, а формула МрСр не є доказовою і вона відкидається у цій системі.

б) Чотиризначна система Я.Лукасевича

У роботі «Арістотелівська силогістика з точки зору сучасної формальної логіки» Я.Лукасевич розробляє сис­тему модальної логіки, яку називає «Основна модальна логіка».

До основної модальної логіки він відносить вісім за­лежностей, які повинна обов’язково мати будь-яка сис­тема, що претендує бути модальною:

1. QMpNLNp, тобто Mp — тоді і тільки тоді, якщо NLNp (можливо, що «р» тоді і тільки тоді, якщо не не­обхідно «не-р»);

2. QLpNMNp, тобто Lp — тоді і тільки тоді, якщо NMNp (необхідно, що «р» тоді і тільки тоді, якщо не можливо, що «не-р»);

3. CLpp, тобто, якщо Lp, то «р» (якщо необхідно, що «р», то «р»);

4. CpMp, тобто, якщо «p», то Mp (якщо наявне (існує) «р», то можливо, що «р»);

5. CMpp, тобто, якщо Mp, то «р» (якщо можливо, що «р», то наявне (існує) «р»);

6. CpLp, тобто якщо «р», то Lp (якщо наявне (існує) «р», то необхідно, що «р»);

7. Mp, тобто можливо, що «р»;

8. NLp, тобто не необхідно, що «р».

Посилаючись на дослідника творчості Арістотеля Алек­сандра Афродизійського, Я.Лукасевич підкреслює, що іс­нування (наявність) передбачає можливість, але не на­впаки, а необхідність — існування (наявність), але не навпаки. Ті залежності, де порушуються ці вимоги, по­винні бути відкинуті.

Отже, формули 5 — 8 відкидаються в будь-якій системі.

Чотиризначна модальна логіка Я.Лукасевича включає в се­бе немодальну частину і модальну. Немодальну частину скла­дає чотирьохзначна логіка Я.Лукасевича, яка розглянута вище.

Модальну частину Я.Лукасевич задає у вигляді двох альтернатив. У залежності від того, чи береться за вихідний функтор можливість (М), чи необхідність (L) приймаються відповідні основні принципи модальної ло­гіки:

I.

II. СLрp, СрLр, NLp.

Характерною особливістю модальної логіки ЯЛукасеви- ча є те, що тут модальності є функціями істинності.

Дамо визначення модальних функцій.

Визначимо можливість (М) на підставі рівності і таблиці:

М (а,Ь) = (a, Cbb)

1. М (1,1) = (1,С11) = (1,1) = 1

2. М (1,0) = (1,С00) = (1,1) = 1

3. М (0,1) = (0,С11) = (0,1) = 3

4. М (0,0) = (0,С00) = (0,1) = 3.

У табличному варіанті можливість (М) має такий вигляд:

Оскільки функтор М є вихідним, то через нього визна­чається функтор L:

Lp = Df NMNp.

Дамо табличне визначення Lp:

У даній системі доказовою є формула, яка при будь- яких підстановках значень приймає значення «1».

За допомогою введених визначень модальних функторів спробуємо верифікувати декілька формул:

Таким чином, формули I, II є доказовими, а III, IV — ні, а це означає, що, за термінологією Я.Лукасевича, вони повинні бути відкинуті.

Окрім функтора (М) для модальності «можли­вість» Я.Лукасевич вводить ще один функтор (W). Позна­чення для цього функтора виглядає як перевернута «М». Визначає він цей функтор за допомогою рів­ності:

У табличному варіанті:

Незважаючи на те, що функтор «W» відмінний від фун­ктора «М», він верифікує формули тієї ж структури, що і «М». Тобто, якщо вираз СрМр приймається, то прийма­ється і вираз CpWp, а якщо вираз СМрр відкидається, то відкидається й вираз CWpp тощо.

Переконаємося в цьому:

Отже, другий (ІІ) вираз повинен бути відкинутий.

Для ілюстраці зазначеного доведемо декілька формул:

І) MWp

ІІ) WMp

ІІІ) MMp

IV) WWp

Наведені таблиці показують, що ми не можемо замінити у формулах І і ІІ М на W і W на М, оскільки отримаємо формули, які треба буде відкинути.

Я.Лукасевич звертає увагу на проблему випадкових ви­словлювань у логіці Арістотеля. Коротко ця проблема зво­дилася до встановлення факту: «Чи можуть бути істин­ними деякі випадкові висловлювання?»

Визначимо випадковість як модальний функтор. Позна­чимо його літерою «D»:

СКМрМНрПр — читається: «Якщо можливо, що «р» і можливо, що «не-р», то випадково, що «р».

З цього визначення випливає, що неможливим є існу­вання істинного випадкового висловлювання, оскільки не можуть бути разом істинними висловлювання Мр і MNp:

1. KMpMNp = KM1MN1 = K1M0 = K13 = 3

2. KMpMNp = KM2MN2 = K1M3 = K13 = 3

3. KMpMNp = KM3MN3 = K3M2 = K31 = 3

4. KMpMNp = KM4MN4 = K3M1 = K31 = 3

Якщо наведена кон’юнкція постійно має значення «3», то вона ніколи не буде істинною, а звідси Dp = 3, і тому не може бути істинного випадкового висловлювання, згідно з наведеним визначенням «D».

Аналогічно можна продемонструвати, що KpWpWNp має значення «2»:

1. KWpWNp = KW1WN1 = K1W1 = K12 = 2

2. KWpWNp = KW2WN2 = K2W3 = K21 = 2

3. KWpWNp = KW3WN3 = K1W2 = K12 = 2

4. KWpWNp = KW4WN4 = K2W1 = K21 = 2

Арістотель наполягає, що висловлювання: «Можливо, що завтра буде морський бій» і «Можливо, що завтра не буде морського бою», які висловлені напередодні, можуть бути обидва істинними.

Я.Лукасевич, використовуючи свої парні можливості «М» і «W», намагається уточнити арістотелівське розуміння ви­падковості. Він звертається до прикладу з монетою.

При підкиданні монети ми можемо мати в результаті випадання герба або — цифри. Обидва результати ми схильні оцінити як істинні, але вони не можуть бути ра­зом істинними, якщо перший результат позначити тим же функтором, що і другий. Тут ми маємо ситуацію, коли випадання герба є можливістю, що відмінна від його неви- падання.

Першу можливість ми позначимо «Мр» («Можливо, що «р», тут ми маємо ствердження), а другий — WNp («Можливо, що «не-р», тут ми маємо заперечення). Ми можемо за домовленістю поміняти їх місцями. Першу мо­жливість позначимо Wp, а другу — MNp. Ситуація від цього не зміниться.

Позначимо введені функтори символами Х та Y:

Функтори Х та Y є функторами випадковості, тобто «Х — випадкове» і «Y — випадкове». Визначимо їх таким чином:

1. CKMpWNpXp — читається «р є Х — випадкове» означає, що «р є М — можливе і Np є W — можливе»;

2. CKWpMNpYp — читається «р є Y — випадкове» означає, що «р є W — можливе і Np є M — можливе».

Із наведених визначень X та Y виведемо їх матриці.

У табличному варіанті функтори Х та Y виглядають так:

Із даної таблиці видно, що Хр та Yp повинні бути іс­тинними відповідно при р = 2 і при р = 3. Раніше було до­ведено, що KMpMNp має постійне значення «3», а KWpWNp — «2».

Таким чином, вивідними є дві формули:

а) XKW pWNp і

б) YKMpMNp.

Цим самим визначається існування істинних випадко­вих висловлювань:

1) «істинне Х — випадкове висловлювання» і

2) «істинне Y — випадкове висловлювання».

Необхідно зауважити, що Х — випаковість та Y — ви­падковість є двійниками. Мається на увазі, якщо в таб­лиці істинності для Х та Y поміняти 2 на 3, а 3 на 2, то Х стане Y, а Y стане Х:

Оскільки закони протиріччя (NKXpYp) та виключено­го третього (AXpYp) істинні, то це означає, що жодне висловлювання не може бути одночасно і Х-випадкове, і Y-випадкове, це, по-перше, а, по-друге, будь-яке вислов- люваня є або Х-випадковим, або Y-випадковим. Запере­чення Х — випадкового висловлювання є Y-випадковим висловлюванням.

Тобто: NXp = Yp і NYp = Xp. У цьому ми могли пере­конатися, коли доказували рівності: а) Xp = YNp = Nyp і б) Yp = XNp = NXp.

Таким чином, вводячи парні модальні функтори, Я.Лукасевич розкриває суть модального функтора «D». Традиційно прийнятною була точка зору, що те, що не є випадковим, або неможливе, або необхідне. При цьому NM і L співвідносили з єдиним видом можливості М. Але коли з’явилися парні можливості М і W, то невірно ствер­джувати, що те, що не є Х-випадковим, є або М- неможливим, або М-необхідним. В цьому випадку дореч­ніше буде сказати, що те, що не є Х-випадковим, є або М-неможливим, або W-необхідним. Іншими словами, ви­падковість не може бути визначеною за допомогою кон’юнкцїі Мр і MNp, а лише за допомогою кон’юнкції Мр і WNp або WpMNp.

Арістотель, досліджуючи природу випадковості, прийшов до ідеї багатозначної логіки, яку реалізував у ХХ ст. Я.Лукасевич. Створивши апарат тризначної, а потім чоти­ризначної логіки, Я.Лукасевич почав досліджувати засо­бами створених систем модальні функтори. Це сприяло проясненню і чіткому визначенню понять, категорій, які були перевантажені інтуїтивним змістом, елементами здо­рового глузду, психологізмами.

Наприклад, довгий час, слідуючи Арістотелю вважали, що судження, яке описує суттєві ознаки предметів не тільки фактично, а й необхідно істинне. Ця теза послужи­ла потім основою для поділу наук на аподиктичні (логіка, математика) і емпіричні (зміст яких фіксується асерторич- ними судженнями). Я.Лукасевич справедливо вказує на хибність такої точки зору.

У 70—80-х роках минулого століття у вітчизняній літературі з’явилася критика такої позиції Я.Лукасевича. Його звину­вачували в тому, він стає на позиції крайнього номіналізму, не визнає існування істинних необхідних суджень.

Справа в тому, що Я.Лукасевич створюючи свою багато­значну логіку, розкрив зовсім іншу природу терміна «істи­на» в логіці. А якщо це так, то критика наших вітчизня­них філософів є безпредметною. Слово «істина» в логіці вживається не в розумінні тотожності мислення і буття, не як відповідність думки і предмета, не у філософському смислі, а в логіці термін «істина» вживається для умо­вного позначення логічної властивості висловлювання. Якщо висловлювання істинне, то кажуть: «Висловлюван­ня має істинісне значення «істина», а якщо висловлю­вання хибне, то вживають вираз: «Висловлювання має іс­тинісне значення «хиба». Хоча останній вираз викликає певний дискомфорт «істинісне значення «хиба», але це ви­никає тоді, коли не мати на увазі, що під терміном «істи­на» в логіці розуміється зовсім особливий смисл, відмін­ний від того, що розуміється у філософії, в інших науках, а також у повсякденному житті.

Щоб уникнути небажаних філософських, буденних, психологічних асоціацій і нашарувань Е.Шредер пропонує замінити термін «істина» цифрою «1», а термін «хи­ба» цифрою «0». Хоча те, що має значення «1» може від­повідати науковому, буденному значенню «істина» — «Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180°», «Земля має атмосферу», «Вода кипить при 100°» тощо.

Але, позначаючи в логіці ці та подібні їм висловлюван­ня одиницею «1» (як і висловлювання «Якщо сума кутів дорівнює 90°, то вода кипить при 90° ») ми не цікавимося, що собою являє «внутрішній кут трикутника», «атмос­фера», «градус», які вони мають властивості і відношення. Головне, що будь-яке висловлювання може мати одне із прийнятих значень. Якщо це двозначна логіка, то одне із двох (позначимо їх як {«істина», «хиба»}, чи {1, 2}). Як­що це тризначна логіка, то одне із трьох тощо.

Логіка ніколи, особливо сучасна, не порівнювала істин­не висловлювання з вірним відображенням дійсності, а хи­бне висловлювання з помилковим відображенням дійснос­ті. В сучасній логіці істинне висловлювання співстав- ляється з непорожньою множиною елементів, а хибне висловлювання ототожнюється з порожньою множи­ною елементів. При цьому природа елементів, що скла­дають множину (чи то фізична, чи етична, чи правова, чи математична і т.д.), не береться до уваги.

Виходячи з цього Я.Лукасевич зауважував, що справжніх аподиктичних висловлювань немає. І в ніякому разі він не зазіхав на прерогативу філософії стосовно: теоретичного та емпіричного рівнів пізнання, співвідношення категорій можливості — дійсності, необхідності — випадковості, ос­новних критеріїв типології наук, вихідних моментів про­цесу пізнання тощо. Хоча це може здатися, коли він заяв­ляє, що немає різниці між математичною істиною і емпіричною, що істина завжди синтетична, що закон при­чинності повинен розглядатися як гіпотеза і т.д.

Але на цьому він наголошує лише з однією метою, щоб вказати на особливий, специфічний характер досліджень сучасної логіки.

Контрольні питання та вправи

1. Передумови виникнення модальної логіки.

2. Матеріальна імплікація і теорія логічного слідування.

3. Строга імплікація К.Льюїса.

4. Аксіоми строгої імплікації К.Льюїса.

5. Порівняння матеріальної та строгої імплікації.

6. Тлумачення К.Льюїсом модальних операторів.

7. Вихідні принципи концепції модальної логіки Я.Лукасе- вича.

8. Характерні особливості тризначної модальної логіки Я.Лу- касевча.

9. Визначення модальних функцій у тризначній системі Я.Лу- касевича.

10. Витоки чотиризначної модальної логіки Я.Лукасевича.

11. Визначення модальних функцій у чотиризначній системі Я.Лукасевича.

12. Визначення доказової формули в чотиризначній системі Я.Лукасевича.

13. Два функтори для модальності «можливість» у чотиризнач­ній системі Я.Лукасевича.

14. Характерні риси модального функтора «випадковість» в чотиризначній системі Я.Лукасевича.