1.3. Связь напряженности электрического поля и потенциала

Предположим, что нам известен потенциал j электрического поля во всех точках пространства. Как найти напряженность поля в некоторой точке?

Выберем в пространстве, где существует электрическое поле, декартову прямоугольную систему координат.

,

где и () – начальная и конечная координаты заряда, а – изменение потенциала заряда.

С другой стороны по определению элементарная работа силы (на небольшом участке траектории) есть скалярное произведение векторов и приращения радиус-вектора :

,

где - проекции вектора силы на соответствующие оси прямоугольной системы координат.

Так как заряд перемещается вдоль оси , то его координаты и не меняются: .

.

Приравнивая правые части полученных для величины выражений: , для проекции вектора напряженности на ось x получим:

, (1.9)

т.е. проекция вектора напряженности электрического поля на ось x равна производной потенциала по направлению оси x, или, другими словами, равна градиенту потенциала в этом направлении.

Аналогично, смещая заряд вдоль оси или вдоль оси , можно найти величины проекций и :

, (1.9,а)

. (1.9,б)

Итак, все три компоненты вектора напряженности электрического поля известны:

. (1.9,в)

Вектор, стоящий справа в последнем уравнении, называется градиентом скалярной функции и обозначается . Таким образом

, (1.10)

т.е. две характеристики электрического поля – напряженность и потенциал связаны друг с другом. Зная потенциал в каждой точке пространства, где существует электрическое поле, можно определить вектор напряженности в каждой точке этого пространства, и наоборот.