5.3. Маятник

В физике под маятником понимают твердое тело, совершающее под действием квазиупругой силы колебания вокруг неподвижной точки или оси. Наиболее часто рассматривают математический и физический маятники.

5.3.1. Математический маятник

Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешено тело масса которого сосредоточена в одной точке, и которое совершает колебательное движение под действием силы тяжести. Достаточно хорошим приближением к математическому маятнику служит небольшой тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити.

Выведем уравнение движения математического маятника. Отклонение его от положения равновесия будем характеризовать углом j, образованным нитью с вертикалью (рис. 5.3). При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент М, равный по величине mgl sin j (m – масса, l – длина маятника). Этот момент направлен так, что стремится вернуть маятник в положение равновесия, и его действие аналогично действию квазиупругой силы. Поэтому так же, как смещению и квазиупругой силе, проекциям момента М и углового смещения j на ось z нужно приписывать противоположные знаки. Следовательно, выражение для вращательного момента имеет вид:

M = -mgl sin j . (5.16)

Запишем для маятника уравнение динамики вращательного движения. Обозначим угловое ускорение через . Учитывая, что момент инерции маятника I = ml² (момент инерции для материальной точки), получим

ml² = - mgl sin j (5.17)

Разделив обе части уравнения на (ml) и введя обозначение

, (5.18)

выражение (5.16) можно переписать в виде

.

Ограничимся рассмотрением малых колебаний, тогда можно положить

sin . (5.20)

С учетом (5.20) выражение (5.19) примет вид

. (5.21)

Уравнение (5.21) представляет собой дифференциальное уравнение колебаний математического маятника. Его решение имеет вид

j = A cos (w₀ t +a) . (5.22)

Следовательно, при малых колебаниях угловое смещение математического маятника изменяется со временем по гармоническому закону.

Как следует из (5.18), частота колебаний математического маятника зависит только от ускорения свободного падения и от длины маятника и не зависит от его массы. Формула (5.5) с учетом (5.18) дает выражение для периода колебаний математического маятника:

. (5.23)

5.3.2. Физический маятник

Физическим маятником называется любое твердое тело, способное под действием силы тяжести совершать колебания вокруг неподвижной оси, не совпадающей с его центром инерции (рис. 5.4). По аналогии с уравнением для математического маятника запишем уравнение для физического маятника:

= - mgl sin j , (5.24)

где m – масса маятника; l – расстояние между точкой подвеса О и центром инерции С маятника (рис. 5.4). Знак минус в выражение (5.24) имеет то же значение, что и в формуле (5.16).

В случае малых колебаний выражение (5.24) переходит в уже известное нам уравнение

. (5.25)

В данном случае

. (5.26)

Момент инерции физического маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, можно представить в виде:

.

Выражение (5.25) представляет собой дифференциальное уравнение колебаний физического маятника. Решение уравнения (5.25) имеет вид:

j = j₀ cos (w₀ t +a) . (5.28)

Из уравнения (5.28) следует, что при малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания, частота которых зависит от массы маятника, момента инерции маятника относительно оси вращения и расстояния между осью вращения и центром инерции маятника. В соответствии с (5.26) период колебания физического маятника определяется выражением

. (5.29)

Приведенной длиной физического маятника называется длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника. Из сопоставления формул (5.23) и (5.29) следует, что приведенной длиной физического маятника будет выражение

. (5.30)

Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром инерции, лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника (см. точку О¢ на рис. 5.4).

Точка подвеса и центр качания обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса становится новым центром качания.