7.9. Число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул

До сих пор мы предполагали, что молекулы газа – материальные точки, т.е. имеют исчезающее малые размеры. Это позволило не учитывать соударения между хаотически движущимися молекулами.

Чтобы найти , будем считать, что молекулы газа представляют собой шарики некоторого диаметра d. Под d понимают то наименьшее расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, - эффективный диаметр молекулы (рис. 7.11).

Площадь круга диаметром d s = pd² называется эффективным сечением молекулы.

Средний путь, проходимый молекулой за единицу времени, численно равен - средней скорости ее движения.

Если среднее число столкновений, испытываемых молекулой за единицу времени, обозначить через , то средняя длина свободного пробега записывается в виде

.

Подсчитаем в предположении, что молекулы - упругие шарики диаметром d; все молекулы, кроме рассматриваемой нами, неподвижны. Вследствие непрерывных столкновений молекула движется по некоторой ломаной линии, при этом за единицу времени она столкнется со всеми молекулами, лежащими внутри коленчатого цилиндра диаметром 2d и длиной (рис. 7.12). Умножив объем этого цилиндра pd² на концентрацию молекул n, найдем :

= p d ² n . (7.29)

Если учесть, что в движении участвуют все молекулы, то число столкновений определяется средней скоростью движения молекул по от- ношению друг к другу (относительной скоростью), и это приводит к увеличению числа столкновений в раз или

=p d ² n . (7.30)

Подставив (7.30) в (7.28), получим среднюю длину свободного пробега

(7.31)

или при определении через эффективное сечение молекул

. (7.32)

Так как , то формулу (7.31) можно записать в виде:

. (7.33)

При некотором давлении средняя длина свободного пробега может оказаться равной или даже больше линейных размеров сосуда. Такое состояние газа, при котором больше размеров сосуда или равна им, называется вакуумом. В состоянии вакуума между молекулами газа практически отсутствуют столкновения, хотя концентрация молекул при этом весьма значительна (при р = 10^-3 мм рт. ст. n @ 10¹⁹ м ^-3 ).