Завдання до теми та методики їх розв’язання

Завдання 1. Формалізувати описове висловлювання природної мови, застосовуючи мову логіки висловлювань.

Алгоритм виконання завдання:

1. Виокремити усі прості висловлювання, які входять до склад­ного висловлювання, та позначити їх пропозиційними змінними.

2. З’ясувати, які логічні сполучники відповідають граматичним сполучникам та знакам пунктації у описовому висловлюванні. По­значити їх відповідними знаками.

3. Записати його формулу.

Приклад: Розглянемо висловлювання «Якщо він розумна лю­дина, то він побачить свою помилку, і якщо він щира людина, то він визнає її».

Це складне висловлювання, яке складається з чотирьох простих:

Він розумна людина.

Він побачить свою помилку.

Він щира людина.

Він визнає свою помилку.

Позначимо їх відповідно пропозиційними змінними: р, q, г, s.

До складу досліджуваного висловлювання входять двічі сполуч­ник «Якщо..., то...» і один раз-сполучник «.../...». Цим граматичним сполучникам відповідають логічні сполучники «імплікація» і «кон ’юнкція».

Запишемо формулу наведеного висловлювання:

Вправа 1. Формалізуйте описові висловлювання, тобто визначте формули, які їм відповідають, застосовуючи мову логіки висловлювань.

1.1. Якщо людина мислить самостійно, тоді і тільки тоді вона розумна.

1.2. Трикутники бувають прямокутними або з гострими кутами, або з одним тупим і двома гострими кутами.

1.3. Цей перекладач знає італійську або іспанську мову.

1.4. Якщо автор зробить скорочення статті, ми її надрукуємо.

1.5. В мене поганий зір і я ношу окуляри.

1.6. Ділова угода може бути укладена письмово або усно, як при особистій зустрічі, так і по телефону.

1.7. Якщо не зцілюють ліки, зцілює залізо, якщо не зцілює залізо, зцілює вогонь.

1.8. Дощ йде тоді, коли дме вітер.

1.9. Терпіння гірке, але плід його солодкий.

1.10. Він завжди добрий, справедливий, принциповий.

1.11. Кожний з нас знає книгу або хоча б ім’я цього письменника.

1.12. Він вчиться в інституті або на курсах іноземних мов.

1.13. В озеро Байкал впадає багато річок, а витікає із нього одна Ангара.

1.14. Закінчив діло - гуляй сміло.

1.15. Або припиняться випробування атомної зброї, або буде загрожувати велика небезпека всьому світу.

1.16. Він не зможе успішно розвивати логічне мислення студентів, якщо сам не буде знати логіку.

1.17. Ці положення справедливі, якщо не враховувати тертя.

1.18. У кримінальному праві помилка може бути або фактична, або юридична.

1.19.1 вовки ситі, і вівці цілі.

1.20. Я буду дуже здивований, якщо мій здогад не підтвердиться.

1.21. Птахи з’явилися над морем - близько земля.

1.22. Краще скажи мало, але добре.

1.23. Був початок, буде і кінець.

1.24. Спекотно, і йде дощ.

1.25. Йде дощ, але не спекотно.

1.26. Дощ не йде, але не спекотно.

1.27. Слова відлітають, написане залишається.

1.28. Думати, що говориш, і говорити, що думаєш зовсім не одне йтеж.

1.29. Кожна людина є в кращому випадку шукачем істини, а не її володарем.

1.30. Не замісивши глини, не виліпиш глечик.

Завдання 2. Визначити тип описового висловлювання за допомо­гою методу таблиць істинності.

Алгоритм виконання завдання:

1. Формалізувати описове висловлювання природної мови за допомогою мови логіки висловлювань.

2. У складі формули, отриманої внаслідок формалізації, визна­чити всі підформули. Кожна підформула розпочинає новий стовпчик таблиці.

3. Виписати у рядки всі можливі набори логічних значень пропо- зиційних змінних або простих під формул. Кількість рядків у таблиці обчислюють за формулою 2", де п - кількість пропозиційних змінних у формулі.

4. Обчислити значення кожної складної підформули при кожному наборі значень змінних.

5. Визначити, чи є досліджуване висловлювання логічним зако­ном, логічним протиріччям або виконуваним висловлюванням.

Приклад: Розглянемо висловлювання «Неправильно, що сту­дент знає логіку або історію України тоді і тільки тоді, коли він не знає ні логіки, ні історії України».

Формалізуємо його. В результаті отримаємо:

Визначимо всі підформули наведеної формули:

Ці підформули розпочинають кожний новий стовпчик таблиці.

До складу досліджуваної формули входять тільки дві пропози- ційні змінні, які складають її прості підформули: р, q. У зв’язку з цим рядків у таблиці буде 2²=4, відповідно до кількості наборів значень, яких можуть набувати пропозиційні змінні:

Побудуємо тепер таблицю істинності.

На підставі наведеної таблиці можна визначити, що досліджуване висловлювання є логічним законом, оскільки в останньому стовпчику таблиці містяться тільки істинні значення.

Вправа 2. За допомогою методу таблиць істинності встановіть тип висловлювань, поелставлених наведеними Лопмупами.

Завдання 3. Сформулювати заперечення описового висловлю­вання природної мови, застосовуючи мову логіки висловлювань.

Алгоритм виконання завдання:

1. Виокремити прості висловлювання і позначити їх відповід­ними знаками.

2. Виокремити логічні зв’язки між простими висловлюваннями, записати формулу описового висловлювання.

3. Привести формулу до нормальної форми, використовуючи формули перетворення.

4. Застосовувати формули заперечення.

5. Сформулювати заперечення природною мовою.

Приклад: Розглянемо висловлювання «Якщо підприємство збиткове, то треба провести кадрові зміни».

Це складне висловлювання, утворене з двох простих:

«Підприємство збиткове» — р.

«Треба провести кадрові зміни» - q.

До складу досліджуваного висловлювання входить граматичний сполучник «Якщо..., то...», якому відповідає логічний сполучник «імплікація».

Запишемо формулу наведеного висловлювання:

Приведемо цю формулу до нормальної форми, використовуючи правила рівносильної заміни:

Застосуємо формули заперечення до даного висловлювання:

Сформулюємо заперечення словесно:

«Підприємство збиткове, але не треба проводити кадрових змін».

Вправа 3. Побудуйте заперечення наведених описових ви­словлювань.

3.1. Вовків боятися - в ліс не ходити.

3.2. Або Яків Санников помилявся, думаючи, що бачить землю, або Земля Санникова дійсно існувала.

3.3. Чотирикутник - паралелограм, якщо його діагоналі в точці перетину діляться навпіл.

3.4. Смерть - перехід в небуття або перехід в інший світ, отже, вона - благо.

3.5. Ти-боягуз і мені-не син.

3.6. Деякі із присутніх не мають права голосу, оскільки вони неповнолітні.

3.7. Нестійко стоїть той, хто стоїть на пальцях.

3.8. Всі юристи вивчають логіку, і всі філософи вивчають логіку.

3.9. Пегренко зайшов в автобус, і йому стало зле.

3.10. Споживач отримує виріб і одночасно розраховується готівкою.

3.11. Або Карпенко здійснив цей злочин, або Мокренко.

3.12. Йде дощ, і йде сніг.

3.13. Електричка біжить, або вітер свистить.

3.14. Він хороший спортсмен або хороший студент.

3.15. Якщо людина загартовується, то вона здорова.

3.16. Якщо стальне колесо нагріте, то його діаметр збільшується.

3.17. Якщо Іванов має вищу освіту, то він знає якусь іноземну мову.

3.18. Якщо воду охолоджувати, то об’єм її буде зменшуватися.

3.19. Або матерія породжує свідомість, або свідомість породжує матерію.

3.20. Якщо захворювання знаходиться в зародку, то його важко розпізнати, але легко вилікувати.

3.21. Всесвіт не мав початку в часі і завжди перебував в одному і тому ж стані.

3.22. Почалася девальвація, і ми припинили закупку деякої сировини.

3.23. По понеділках він грає у волейбол або плаває у басейні.

3.24. Автобуси запізнюються тоді і тільки тоді, коли випадає сніг.

3.25. Якщо вона навчається у вузі, то користується послугами цієї бібліотеки.

3.26. Любиш з гірки спускатись, люби і саночки возити.

3.27. Співробітники одержать премію тоді і тільки тоді, коли виконають замовлення.

3.28. Всередині кожної організації існують формальні і нефор­мальні групи.

3.29. Буденність навіює сон, навпаки, парадокс пробуджує душу до уваги і дослідження.

3.30. Усе дійсне - розумне, усе розумне - дійсне.

Завдання 4. Провести логічний аналіз атрибутивного судження.

Алгоритм виконання завдання:

1. З’ясувати структуру атрибутивного судження: суб’єкт, преди­кат, зв’язку, квантор. Якщо у судженні логічна зв’язка не виражена в явній формі або відсутній квантор, то потрібно привести його до нормальної форми.

2. Визначити вид атрибутивного судження.

3. Записати логічну форму атрибутивного судження.

Приклад 1. Розглянемо судження «Деякі європейські країни не с республіками».

Це атрибутивне судження подане у нормальній формі. Визначимо його структуру: суб’єкт - «європейські країни», предикат - «респуб­ліка», зв’язка - «не є», квантор існування - «деякі».

Це частковоствердне судження. Його логічна форма є такою: «Деякі Sne є Р».

Приклад 2: Розглянемо судження «Людирозумні істоти».

Це атрибутивне судження не подане у нормальній формі. Приве­демо його до нормальної форми. Нормальна форма цього атрибутив­ного судження «Усі люди є розумними істотами». Визначимо його структуру: суб’єкт - «люди», предикат - «розумні істоти», зв’зка - «є», квантор спільності - «усі».

Це загальноствердне судження. Його логічна форма є такою: «Усі S є Р».

Вправа 4. Визначте структуру і вид атрибутивного судження, запишіть його логічну форму.

1.1. Законність - невід’ємна частина демократії.

1.2. Інколи люди запізнюються на роботу.

1.3. Ніхто його не зрозумів.

1.4. Є люди, які не розрізняють кольорів.

1.5. Жоден з нас не міг із цим змиритися.

1.6. Він був невисоким.

1.7. Картопля - не ананас.

1.8. Ніхто не любить бути переможеним.

1.9. Існують такі рослини, які не переносять холоду.

1.10. Трапляються в житті не зовсім приємні випадки.

1.11. Судді при здійсненні правосуддя незалежні.

1.12. Будь-яке число є математичний знак.

1.13. Деякі книги не є художніми.

1.14. Кожен відповідає за себе.

1.15. Деякі люди фотографи.

1.16. Усі голосні - звуки.

1.17. Деякі квіти не ромашки.

1.18. Деякі письменники є класиками.

1.19. Усі віруючі люди.

1.20. Жодна гармонія не є дисгармонією.

1.21. Деякі люди не є комунікабельними.

1.22. Кожен підручник є книгою.

1.23. Усі паперові гроші є паперовими знаками.

1.24. Деякі цінні папери не є акціями.

1.25. Будь-який політик є людина.

1.26. Деякі банки не є комерційними.

121. Деякі фірми є конкурентами.

1.28. Жодне гаряче не є холодним.

1.29. Будь-яка війна є конфліктом.

1.30. Деякі монархи були деспотами.

Завдання 5. Визначити кількість і якість атрибутивного су­дження.

Алгоритм виконання завдання:

1. З’ясувати структуру атрибутивного судження: суб’єкт, пре­дикат, зв’язку, квантор.

2. З’ясувати характер зв’язки.

3. З’ясувати характер квантора.

Приклад: Розглянемо судження «Майже всі метали є тверді тіла».

Визначимо структуру цього судження: суб’єкт - «метали», предикат - «тверді тіла», зв’язка - «є», квантор існування - «майже всі».

Логічна зв’язка за своїм характером ствердна.

Кванторне слово вказує на частковість судження.

Отже, за кількістю це судження часткове, а за якістю - ствердне.

Вправа 5. Визначте кількість і якість наведених суджень.

5.1. Усі газети - періодичні видання.

5.2. Деякі студенти працюють за індивідуальним планом.

5.3. Жодний гуманіст не підтримує смертну кару.

5.4. Деякі художники - абстракціоністи.

5.5. Власні імена пишуться з великої букви.

5.6. Не все те золото, що блищить.

5.7. Кожна людина має право на освіту.

5.8. Усі християни вірять у Христа.

5.9. Деякі пригоди не є авантюрами.

5.10. Усі автовідповідачі є телефонами.

5.11. Деякі економісти - банкіри.

5.12. Усі православні є християни.

5.13. Деякі політики - народні депутати.

5.14. Жоден схід сонця не є заходом.

5.15. Кожний міф є легендою.

5.16. Деяка інформація не є новинами.

5.17. Будь-яке золото є дорогоцінний метал.

5.18. Кожна досконалість є ідеал.

5.19. Жодна демократія не є тоталітаризмом.

5.20. Жоден регрес не є прогресом.

5.21. Будь-який розвиток є прогрес.

5.22. Жодна любов не є ненавистю.

5.23. Деяка омана є фокусом.

5.24. Деякі думки не є фантазією.

5.25. Жоден сон не є реальністю.

5.26. Деякі інтереси є духовними.

5.27. Жодна зима не є літо.

5.28. Деякі люди не є фотографами.

5.29. Деякі артисти - співаки.

5.30. Усе минуле є історією.

Завдання 6. Визначити розподіленість термінів у атрибутивному судженні.

Алгоритм виконання завдання:

1. Привести судження до нормальної форми.

2. Сформулювати судження обернене до даного.

3. Виходячи із виявленого співвідношення обсягів суб’єкта і предиката, зобразити його колами Ейлера.

4. Проставити розподіленість термінів.

Приклад: Розглянемо судження «Електрон має негативний заряд». Його нормальна форма: «Усі електрони є негативно зарядженими частинками».

Правильно сформульованим оберненим судженням буде: «Усі негативно заряджені частинки є електронами».

Схема відношення між суб’єктом і предикатом:

S - «Електрон».

P - «Негативно заряджені частинки».

Отже, S+, P+.

Вправа 6. Визначте розподіленість термінів у наведених атрибутивних судженнях.

6.1. У нас вийшло не те, що було задумане.

6.2. Не буває лихого, щоб на добре не вийшло.

6.3. У звичаях людських багато нерозумного.

6.4. Мистецтво полягає у вмінні приховувати мистецтво.

6.5. Людина не може відпочивати від життя.

6.6. Тільки у великих людей бувають великими і вади.

6.7. Не будь-яке продовження є розвитком.

6.8. Рабський вчинок не завжди є вчинком раба.

6.9. Багато неписаних законів значно сильніші всіх писаних.

6.10. Існують вислови, які не мають смислу.

6.11. Столицею України є місто Київ.

6.12. Судження мають значення істинності.

6.13. Бувають хиби, схожі на істину.

6.14. Матерія не знає спокою.

6.15. Не все однаково придатне для всіх.

6.16. Вільна людина не буває заздрісною.

6.17. Не все те, що дозволено, варте поваги.

6.18. Блаженні милостиві.

6.19. Нікого не карають задумки.

6.20. Є і такі помилки, які ми вибачаємо людям.

6.21. Ніщо не є вадою саме по собі.

6.22. Не хлібом єдиним живе людина.

6.23. Не існує такої істини, яку б не спростували.

6.24. Безглуздо заперечувати роль особи в історії.

6.25. Немає таких істин, які б визнавалися всім людством.

6.26. Тільки розум може дати спокій.

6.27. Іноді з недобрих схильностей виникають великі таланти.

6.28. Нема нічого сказаного, що не було б сказане раніше.

6.29. Є людські вади, які походять від малої самоповаги.

6.30. Немає більшої мудрості, ніж своєчасність.

Завдання 7. Визначити відношення між атрибутивними судженнями.

Алгоритм виконання завдання:

1. Привести судження до нормальної форми.

2. З’ясувати структуру судження.

3. Записати логічну форму судження і визначити його тип.

4. Встановити відношення між типами суджень за логічним квадратом.

Приклад: Розглянемо судження «Деякі планети не мають атмосфери» і «Не всі планети мають атмосферу».

Перше судження подане у нормальній формі. З’ясуємо його структуру: суб’єкт - «планети», предикат - «мають атмосферу», зв’язка - «не є», квантор існування - «деякі».

Його логічна форма: «Деякі S не є Р», а тип - частковозаперечне судження - OSP.

Друге судження потрібно привести до нормальної форми. При­ведемо його до нормальної форми: «Невірно, що всі планети мають атмосферу». За логічним квадратом, запереченням судження «Усі планети мають атмосферу» є судження (.Деякі планети не мають атмосфери». Як бачимо, характеристики другого судження повністю збігаються із характеристиками першого судження. Отже, дані су­дження еквівалентні.

Вправа 7. Визначте відношення між наступними атрибутивними судженнями.

7.1. Усі озера прісні водоймища. Жодне озеро не є прісним водоймищем.

7.2. Аральське море - глибоке. Аральське море - мілке.

7.3. Жодна флейта не є струнним інструментом. Деякі флейти - струнні інструменти.

7.4. Всі іншопланетяни розумні істоти. Деякі іншопланетяни не є розумними істотами.

7.5. Деякі журналісти мають ораторські здібності. Деякі журна­лісти не мають ораторських здібностей.

7.6. Кожний студент знає якусь іноземну мову. Кожний студент не знає деяких іноземних мов.

7.7. Усі люди - особистості. Деякі люди не є особистостями.

7.8. Усі правопорушення є суспільно небезпечними. Жодне правопорушення не є суспільно небезпечним.

7.9. Усі дорослі спочатку були дітьми. Деякі дорослі ніколи не були дітьми.

7.10. Він не міг не знати, що порушує закон. Він міг і не знати, що порушує закон.

7.11. Деякі письменники - драматурги. Деякі письменники - не є драматургами.

7.12. Кожна людина має право на свою точку зору. Є люди, які мають право на свою точку зору.

7.13. У будь-якому рівносторонньому трикутнику всі кути рівні між собою. Кожний правильний трикутник має рівні кути.

7.14. Через кожну точку прямої можна провести тільки одну пря­му, перпендикулярну даній. Не існує ні одної такої точки прямої, через яку можна було би провести пряму, перпендикулярну даній.

7.15. Кожна людина має свій характер. У всіх людей різні харак­тери.

7.16. Усі свідки дають правдиві свідчення. Деякі свідки дають правдиві свідчення.

7.17. Усі з нас розв’язали цю задачу. Не всі з нас розв’язали цю задачу.

7.18. Майже всі тіла проводять електричний струм. Деякі тіла не проводять електричного струму.

7.19. Деякі підприємства державні. Багато підприємств дер­жавних.

7.20. Усі студенти здали останню сесію добре. Більшість студен­тів здали останню сесію добре.

7.21. Не усі злочини розкриваються. Деякі злочини розкрива­ються.

7.22. Усі мої знайомі мають вищу освіту. Не всі мої знайомі мають вищу освіту.

7.23. Усі павуки не комахи. Ніхто з павуків не комаха.

7.24. Деякі гриби отруйні. Є такі гриби, які отруйні.

7.25. Деякі студенти не склали залік. Багато студентів не склали залік.

7.26. Деякі математики намагались розв’язати проблему «квадра­тури кола». Деякі математики не намагались розв’язати проблему «квадратури кола».

7.27. Кожен знак має смисл і значення. Деякі знаки не мають значення.

7.28. Деякі спортсмени - футболісти. Деякі спортсмени не футболісти.

7.29. Усі символи є знаки. Деякі знаки є символи.

7.30. Деякі люди грають в шахи. Деякі люди не грають в шахи.

Завдання 8. Формалізувати описове висловлювання природної мови, застосовуючи мову логіки предикатів.

Алгоритм виконання завдання:

1. З’ясувати нелогічні терміни, що містяться у описовому висловлюванні, та позначити їх відповідними знаками.

2. З’ясувати логічні терміни, що містяться у описовому висловлюванні, та позначити їх відповідними знаками.

3. Записати його формулу.

Приклад: Розглянемо висловлювання «Деякі студенти є відмінниками».

До його складу входять два предикатори «бути студентом» та «бути відмінником». Позначимо їх відповідно символами P та R.

Наведене висловлювання містить також квантор існування, виражений кванторним словом «деякі».

Цей квантор при формалізації потребує логічного сполучника «кон юнкція».

Запишемологічну формулу наведеного висловлювання:

Вправа 8. Формалізуйте описові висловлювання, тобто визначте формули, які їм відповідають, застосовуючи мову логіки предикатів.

8.1. Усе має якусь причину.

8.2. Хтось любить всіх.

8.3. Ніхто не любить нікого.

8.4. Є люди, які люблять тільки себе.

8.5. Усі пішли за ним.

8.6. 5 більше 4, але менше 6.

8.7. Ніколи не говори «ніколи».

8.8. Не всі його відповіді хибні.

8.9. Аксіоми самоочевидні.

8.10. Ніхто не без гріха.

8.11. Будь-який початок важкий.

8.12. Добрий початок - половина справи.

8.13. Кожній справі - свій час.

8.14. Ніхто не буває завжди мудрим.

8.15. Кожен сам собі надія.

8.16. Деякі книги містять корисну інформацію.

8.17. Тільки заслуга гідна нагороди.

8.18. Люди у більшості своїй не хочуть війни.

8.19. Сонце світить усім.

8.20. Не всім подобається те саме.

8.21. Кожна людина смертна.

8.22. Іноді більша частина перемагає кращу.

8.23. Деякі люди - не дурні.

8.24. Усі люди грішні.

8.25. Усі планети обертаються навколо своєї осі.

8.26. Ніщо велике не легке.

8.27. Деякі люди поважають закон.

8.28. Будь-який юнак любить якусь дівчину.

8.29. Деякі помилки дають життєвий досвід.

8.30. Лише деякі знають самі себе.