Основні закони логіки предикатів

Законом логіки предикатів є вираз логіки предикатів, який при будь-якому значенні індивідних та предикатних змінних приймає значення «істина».

Наведемо та прокоментуємо найважливіші закони логіки предикатів.

Закон усунення квантора спільності. Цей закон стверджує, що якщо кожен індивід X володіє властивістю Р, то й конкретно визначений індивід t має цю властивість.

Закон непорожнечі універсуму логічного квадрата. Цей закон стверджує, що в універсумі логічного квадрата, який моделює відношення між кванторами, повинен існувати хоча б один предмет, що відповідає формулі ЗхА або його заперечення(або й те, й інше).

Його схема:

Закон несуперечності. Цей закон стверджує, що суперечачі один одному прості описові висловлювання не можуть бути ні одночасно істинними, ні одночасно хибними.

Його схема:

Закони взаємовираженості або взаємовизначуваності кванторів. Ці закони стверджують, що кожний квантор може бути визначений в термінах протилежного йому квантора.

Закони дистрибутивності кванторів стосовно знака кон’юнкції. Закон введення квантора спільності для кон’юнкції або закон дистрибутивності квантора спільності стосовно знака кон’юнкції. За цим законом, кожен індивід володіє певною

Закон введення квантора існування для кон’юнкції або закон дистрибутивності квантора існування стосовно знака кон’юнкції.

існують предмети, які мають властивість

Квантор спільності дистрибутивний стосовно знака кон ’юнкції без обмежень. Квантор існування дистрибутивний стосовно знака кон’юнк­ції з обмеженнями. З того, що якась річ кругла, а інша біла, не випливає з необхідністю, що якась (можливо третя) річ кругла і біла одночасно.

Закони дистрибутивності кванторів стосовно знака диз’юнк­ції. Закон введення квантора спільності для диз’юнкції або закон

Закон введення квантора існування для диз’юнкції або закон дистрибутивності стосовно знака диз’юнкції. За цим законом, індивіди із властивістю Р(х) або Q(x) існують тоді і тільки тоді, коли існують індивіди з властивістю Р(х) або індивіди з властивістю Q(x).

Квантор спільності дистрибутивний стосовно знака диз’юнкції з обмеженням. З того, наприклад, що усі цілі числа парні або непарні, не випливає з логічною необхідністю, що усі цілі числа парні, або усі цілі числа непарні. Квантор існування дистрибутивний стосовно знака диз’юнкції без обмежень.

Закони дистрибутивності кванторів стосовно знака імпліка­ції. Закон введення квантора спільності для імплікації або закон дистрибутивності квантора спільності стосовно знака імплікації. Цей закон стверджує, що якщо усі х мають властивість Р(х), то вони мають властивість Q(x), тоді вірно якщо кожен х має властивість Р(х), тоді кожен х має властивість Q(x).

Закон введення квантора існування для імплікації або закон дистрибутивності квантора існування для знака імплікації. Цей закон стверджує, що якщо деякий х має властивість Р(х), то він має властивість Q(x), тоді вірно якщо деякий х має властивість Р(х), то деякий Р(х) має властивість Q(x).

Квантори спільності та існування дистрибутивні стосовно знака імплікації лише з обмеженнями. Зворотна вивідність для них загалом невірна.

Закони перестановки кванторів. За цими законами квантори спільності та квантори існування можуть переставлятися у будь-якому порядку, якщо вони передують формулі однорідно, тобто або тільки квантори спільності, або тільки квантори існування. У протилежному випадку накладається обмеження: незалежний квантор існування може вільно вводитися в область дії квантора спільності, але не може із неї вільно виводитися.

Схеми законів перестановки кванторів:

Закони заперечення кванторів. За цими законами, заперечення будь-якого квантора рівносильне заміні його на протилежний при одночасному запереченні усієї області його дії.

Схеми законів заперечення кванторів: