Застосування логічної побудови контактних схем у символічній логіці висловлювань

У 1910 році петербурзький фізик П. Эренфест висловив думку про можливість інтерпретації теорії складних висловлень на фізичних і технічних явищах. Найпростішим випадком застосування теорії висловлень в техніці є аналіз контактних електричних схем.

Припустимо, що електричний струм йде від якого-небудь джерела до споживача через один або декілька контактів. Кожен контакт може бути розімкнутий або замкнутий. Перший стан перешкоджає проходженню струму, другий пропускає струм.

Сформулюємо головну задачу: знаючи, які контакти в даний момент часу замкнуті, визначити, чи буде проходити струм по ланцюгу.

Поставимо у відповідність кожному контакту висловлення, визначивши при цьому контакти буквами р, q, г,.... Контакти тепер будуть пропозиціональними змінними, кожна з яких може приймати лише одне з двох значень:

Основні операції і відповідні їм найпростіші схеми

Добутком двох контактів р * q називається схема, отримана у результаті послідовного з’єднання.

Ланцюг буде замкнутий (рис. 23) лише тоді, коли обидва контакти будуть замкнуті. У цьому випадку говорять, що ланцюг дорівнює 1:

Стан ланцюга р * q можна відобразити таблицею істинності:

Як відомо, такою самою таблицею істинності задається зміст кон’юнкції. Таким чином, найпростіша схема послідовного з’єднання двох контактів може бути описана законом кон’юнкції (р л q). Формулоюможна описувати схему з послідовно

з’єднаними контактами.

Сумою контактів р і q позначається («р + q») називається схема утворена рівнобіжним з’єднанням.

Ланцюг буде замкнутий (дорівнює 1) лише тоді, коли замкнутий

(дорівнює 1) хоча б один з утворюючих схему контактів.

Якщо обидва контакти замкнуті (рис.25), то ланцюг буде замкнутим:

Ланцюг буде замкнутим (рис. 26) і в тому випаду⅛g^кщо один із контактів замкнутий (дорівнює 1), а інший розімкнутий (дорівнює 0):

Коли обидва контакти розімкнуті (рис. 27), то ланцюг буде розімкнутий (дорівнює 0):

Стан ланцюга р + q можна висловити таблицею істинності:

Такою ж таблицею істинності задається зміст диз’юнкції. Найпростіша схема рівнобіжного з’єднання двох контактів може бути описана формулою з двома змінними. Формула pi vp₂ v...v p_n буде описувати схему рівнобіжного з’єднання контактів.

Групи контактів

Контакти не завжди діють незалежно друг від друга. Групою контактів називають такі контакти, котрі сполучені жорстким зв’язком і

одночасно замикаються або розмикаються. На схемах (рис. 18, рис. 19), цей зв’язок позначається пунктирною лінією.

Якщо контакти завдяки такому зв’язку одночасно замикаються або розмикаються, то вони позначаються однією і тією ж пропозициональною змінною. Таким чином, різноманітні входження однієї і тієї ж змінної у формулу, яка описує електричну схему, визначають, що в схемі контакти, які відповідають цим входженням, механічно сполучені, тобто, утворюють групу контактів.

Два контакти можна спарити так, що, коли один із них розімкнути, то інший буде замкнутий (рис. 20). Один контакт назвемо першим, а інший - протилежним першому. Приймемо, що протилежний першому контакту -замкнутий контакт, він дорівнює 1.

Дане явище можна відобразити таблицею істинності:

Це таблиця заперечення. Формула, що виражає операцію заперечення (наприклад ~р’), описує протилежний контакт.

Інтерпретація основних логічних операцій (кон’юнкції, диз’юнкції, заперечення) свідчить, що синтез контактних схем підкорений правилам логіки висловлень, і операції над контактами можуть аналізуватися засобами логіки висловлень. Але при цьому будь- яка формула логіки висловлень повинна бути приведена до нормального виду (містити лише кон’юнкцію, диз’юнкцію, заперечення).

Необхідно мати на увазі, що контактна схема може складатися лише з одного постійно замкнутого контакту (дорівнює 1), або з одного постійно розімкнутого контакту (дорівнює 0). При конструюванні складних схем, що містять лише такі постійні контакти, уся схема по своїй дії буде еквівалентна одному з двох постійних контактів 1 або 0. Таким чином, можна побудувати логіку контактних схем, що цілком відповідає (ізоморфна) логіці висловлень.

Подібно тому, як у логіці висловлень важливий не зміст висловлення, а його істинність, так і при розгляді контактних схем інтерес подає, насамперед замкнутість визначеної схеми. Формули логіки висловлень описують стан контактів схеми. Якщо схема замкнута, то вона дорівнює 1. Якщо розімкнута - дорівнює 0.

Деякі умовності:

1. Якщо в схемі два контакти позначені однією і тією ж пропозиціональною змінною, то вони завжди приймають однакові значення, тобто, вони механічно об’єднані;

2. якщо в схемі якийсь контакт є запереченням іншого контакту, то їх значення завжди протилежні, тобто, вони механічно сполучені так, що коли один із них замикається, то інший розмикається;

3.

Приклад вирішення задачі аналізу контактної схеми

Визначити умови роботи заданої схеми. Знайти, при яких положеннях контактів струм буде проходити або не проходити.

Нехай маємо схему (рис.31):

Цій схемі відповідає висловлення, позначене формулою:

Побудувавши таблицю істинності цієї формули, бачимо, що вона помилкова лише тоді, коли р — лож, a q - істинно. Отже, струм за схемою буде проходити лише тоді, коли контакт р - розімкнутий, контакт q - замкнутий.

Це можна перевірити безпосередньо. Якщо контакт р - замкнутий, струм пройде крізь верхню гілку незалежно від стана контакту q. Якщо розімкнуті обидва контакти, ар’ і q’ будуть замкнуті, струм пройде крізь середню гілку.

Формулу, що відповідає наведеній мережі можна записати таким чином р V (~p V ~q), що у свою чергу відповідає стану, коли дві гілки на схемі розімкнені. Таким чином, електричні властивості аналізованої схеми залишаться незмінними, якщо убрати нижню гілку. Формула - р V (~p a ~q) еквівалентна формулі р, a ~q, якій задовольняє більш проста схема (рис. 32).

Еквівалентні перетворення для спрощення схем

Аналіз виявив умови, при яких можливе спрощення схем (тобто, заміна схемою з тими ж характеристиками, але з меншим числом контактів)

Важливою задачею побудови контактних схем із наперед заданими умовами роботи є задача їх синтезу, тобто, створення такого послідовно-рівнобіжного з’єднання контактів, що відповідало би необхідним умовам у відношенні провідності. Проблема для логіки висловлень складається в побудові складного висловлення з заданою таблицею істинності.

Кожне складне висловлення, що складається з трьох складових р, q, г, може бути побудоване у виді диз’юнкції основних кон’юнкцій.

і т.д., кожну з них можна уявити схемою, яка складається з трьох послідовно об’єднаних контактів

Таку схему називають основною послідовно з’єднаною схемою. Диз’юнкція деяких основних кон’юнкцій тоді буде подана схемою, з рівнобіжним з’єднанням основних послідовно з’єднаних схем.

Отримана мережа буде простою мережею, що задовольняє даним вимогам. Метод завжди достатній для перебування однієї такої мережі. Його зручність - у стандартності.

Необхідно побудувати контактну схему висловлення (табл. 16), що має таблицю істинності 11101000. Вона складається з трьох змінних, якими є основні кон’юнкції:

Таблиця 16

Побудуємо відповідну контактну схему (рис. 33):

Схема, яка задовольняє такій умові проводить струм лише тоді, коли замкнуті, принаймні, два з трьох контактів.

2.6.