§ 6. Взаємозв’язок кванторів. Квантори і логічні сполучники
За допомогою логічного сполучника “заперечення” можна виражати універсальний квантор через екзи- стеннійний і навпаки.
Наприклад, якшо
(Існує такий х, для якого вірно: х не є Н”);
(“Для всіх х вірно: х не є Н”), то очевидно, що (10) буде запереченням
(Для всіх х вірно: х є Н”), а (11) буде запереченням
(“Існує такий х, для якого вірно: х є Н”).
Відповідно, (12) — це те ж саме, шо і
(“Невірно, шо існує такий х, для якого вірно: х не є Н”), а (13) — це те ж саме, шо і
(“Невірно, шо для всіх х вірно: х не є Н”).
Квантори можуть зустрічатись в таких формулах, де наявні декілька предикатних констант. Наприклад, про- позиційна форма “Якщо х філософ, тоді х мудрий” після приєднання до неї універсального квантору перетворюється на висловлювання:
це не те ж саме, що
позаяк, наприклад, висловлювання:
“Існують філософи і існують мудрі (люди)” не є тотожним із висловлюванням:
“Деякі філософи мудрі”.
Між кванторами і логічними сполучниками існує певний зв’язок.
Отже (для скінченних множин індивідів), формули з універсальним квантором можна представити еквівалентними скінченними кон’юнкціями атомарних (елементарних) формул, а формули з екзистеннійним квантором можна представити у вигляді еквівалентних скінченних диз’юнкцій атомарних (елементарних) формул.