§ 5. Визначення формули логіки предикатів. Зв’язані та вільні змінні

Що в логіці предикатів вважають формулою?

1) Будь-яка атомарна (елементарна) формула є фор­мулою;

Індивідні змінні, шо зустрічаються у формулах мо­жуть бути зв’язаними і вільними (тобто говорять, про зв’язані і вільні входження індивідних змінних у форму­лу).

якщо вона не входить до області дії квантору), то вона називається вільною (відповідно, її входження у формулу є вільним).

У цій формулі перше входження індивідної змінної X, а також єдине входження індивідної змінної у є вільним, але друге і третє входження індивідної ЗМІННОЇ X є зв’язаним.

Розглянемо більш складний приклад:

У цій формулі перше, друге, чегверле і п’яте вход­ження індивідної змінної X₁, а також друге, третє і четвер­те входження змінної х. є зв’язаним. Третє входження ін­дивідної змінної x₁, а також перше входження індивідної змінної X, Є ВІЛЬНИМ.

Формули, у яких відсутні ВІЛЬНІ ІНДИВІДНІ змінні (тобто всі індивідні змінні є зв’язаними), називають замк­неними формулами. Такі формули є символічним запи­сом якихось висловлювань (тобто таких виразів, які є або істинними, або хибними).

Формули, у яких наявні вільні індивідні змінні (тоб­то не всі індивідні змінні є зв’язаними), називають від­критими формулами. Такі формули є символічним запи­сом пропозиційних форм (тобто таких виразів, які не­можливо оцінити як істинні або хибні).

Вільні входження індивідної змінної, наприклад, а у формулу Ψ можна замінювати іншою індивідною змін­ною, наприклад, β.

вільними. За такої заміни формула Ψ хоча і змінить свій вигляд, однак виражатиме ту ж пропозииійну форму, шо і до заміни (в такому випадку в пропозиційній формі від­будеться лише переіменування індивідної змінної а на β).

Якшо під час заміни індивідної змінної а на індивідну змінну β у формулі Ψ виявиться, шо у формулі Ψ вже наявні зв'язані входження β, то можливим є ви­никнення небажаної ситуації, яку називають колізією змінних. Така небажана ситуація виникає тоді, коли в ре­зультаті заміни, наприклад, індивідної змінної а на індивідну змінну β вільні входження індивідної змінної перетворюються на зв’язані.

Наприклад, у формулі

після заміни вільного входження індивідної змінної “х” на індивідну' змінну V виникає колізія змінних, позаяк вільне входження X перетворюють на зв'язане входження с

З метою уникнення ситуацій колізії ЗМІННИХ домо­вляються про певне обмеження: дозволяють лише таку заміну, яка забезпечує перехід вільних входжень інди­відних змінних лише у вільні входження індивідних змін­них. Звичайно, замість вільних індивідних змінних можна підставляти індивідні константи. Якшо в деякій формулі відбувається повна заміна індивідних змінних на індивідні константи, то формула, яка спочатку була виразом деякої пропозинійної форми перетвориться на формулу, яка ви­ражає висловлювання.