Розвиток символічної логіки в XVII-XVIII століттях
ЛОГІКО-МАТЕМАТИЧНІ ДОСЛІДЖЕННЯ БРАТІВ БЕРНУЛЛІ
Учні Г. В. Лейбніца - швейцарські математики І. Бернуллі (Bernoulli Iohann; 1667-1748 рр.) та Я. Бернуллі (Bernoulli Jakob; 1654- 1705 pp.), працюючи над проблемою створення найбільш загальних методів для вирішення широкого спектру математичних завдань, були добре поінформовані про спроби свого вчителя віднайти універсальні логічні алгоритми.
Брати Бернуллі належали до протестантської родини, що постійно переховувалася від релігійних переслідувань кривавого тирана герцога Альби. Я. Бернуллі пройшов курс теологічного навчання, але таємно постійно займався вивченням математики. У 1676 р. він, заробляючи на життя приватним викладанням математики, переїхав у Бордо. З 1681 р. Я. Бернуллі знову прибув до Базеля, де опублікував статтю з теорії комет. В одній зі своїх статей («Acta Eruditorum», 1686 р.) він використав особливо важливий у математиці спосіб міркування - метод повної математичної індукції. У 1687 р. він, читаючи лекції з експериментальної фізики, став професором математики. Крім цього, філософ плідно займався дослідженням завдань комбінаторики. Він використовував термін «перестановка» в розумінні, що відповідає сучасній алгебрі. Я. Бернуллі запровадив термін «інтеграл» для лейбніцівського знака «S». Перебуваючи під впливом вчення Г. Лейбніца, Я. Бернуллі займався також вивченням двійкової системи числення.
Чималі заслуги Я. Бернуллі має в розробленні теорії ймовірності, якій він присвятив свою працю «Ars Conjeet andi» («Мистецтво припущень», 1713 р.). Поряд із поняттям «імовірність a priori» він виділяє поняття «ймовірність a posteriori» (говорячи мовою сучасної математики, розглядає як логічну, так і емпіричну ймовірності), а також обґрунтовує закон великих чисел. За іронією долі Я. Бернуллі помер у той час, коли розпочав писати четверту частину свого «Мистецтва припущень», присвяченого застосуванню теорії ймовірності відносно питання тривалості людського життя.
І. Бернуллі, учитель JL Ейлера, готувався спочатку до торговельної кар’єри, але під впливом брата незабаром почав вивчати математику та частково - медицину. У 1690 р. І. Бернуллі практикуючи як лікар, відправився до Парижа, де його учнем у галузі математики став маркіз Лопіталь, майбутній відомий математик. У 1695 р., за рекомендацією X. Гюйгенса, І. Бернуллі зайняв місце професора фізики в Гронингені. З 1705 р. І. Бернуллі перебував у Базелі, де став професором грецької мови й математики.
І. Бернуллі спрямував зусилля на вирішення низки питань, які стимулювали подальше вдосконалення методів математичного аналізу. Зокрема, він представив у математичному журналі «Acta Eruditorum» спосіб побудови окремих диференціальних рівнянь першого порядку. У математичному журналі «Journal de Sfavants» (1697 р.) І. Бернуллі визначив проблему найкоротшої лінії на опуклій поверхні. Важливе місце в працях І. Бернуллі належить тезі про «реальну природу» комплексних чисел, пов’язаній із відмовою від тлумачення останніх лише як зручних фікцій. Він намагався інтерпретувати комплексні числа як дієвий інструмент математичних досліджень, показати логічну правомірність систематичного вживання комплексних чисел.
Брати Бернуллі працювали переважно спільно. На жаль, їх взаємини не завжди були доброзичливими. Так, у 1694-1695 рр. брати особливо різко сперечалися між собою щодо розв’язання низки математичних проблем.
Питанням логіки брати Бернуллі присвятили діяльність, мабуть, ще до того, як їх стосунки різко погіршилися. У 1685 р. вони помітили паралелізм між деякими логічними операціями та алгеброю. Свої спостереження вони виклали в нарисі «Parallelismus ratiocinii Iogici et algebraici» («Паралелізм логічного міркування та алгебри», 1685 р.). Так, якщо від ідеї більшого порядку відділяєш ідею меншого порядку, то утворюється залишок від першої (різниця). Наприклад, у понятті «людина» окрім поняття «тварина» наявне поняття «розумність». Після виключення поняття «тварина» з поняття «людина» залишається як різниця поняття «розумність».
Відповідно, якщо від більшої кількості віднімається менша, то внаслідок операції віднімання залишається відповідна різниця. Зазначена операція виражається знаком «-». Так, наприклад, а - в означає різницю між а і в. Коли дві ідеї, між якими розум убачає згоду, тотожність, або не спільність чи протилежність, поперемінно затверджуються або заперечуються, то як мовне позначення цих стосунків використовують частки «є» і «не є». Процес установлення даних стосунків називається висловлюванням (enunciatio); так, наприклад, людина є твариною; людина не є безрозсудною істотою. Дві величини, між якими розум убачає рівність, зв’язуються знаком рівності («=») у рівняння (aequatio), як, наприклад, а = в. З іншого боку, нерівність позначають знаками «», як, наприклад, а < у або а > е.Операція логічного віднімання в братів Бернуллі визначена не для всіх значень змінних. Не можна, зокрема, від «ідеї меншого порядку» відокремити «ідею більшого порядку». Сказане означає, що у вираженні х - у термін у не може перевершувати терміна х. Логічно не інтерпретується різниця 0 - 1, де 0 - знак брехні, 1 - істини.
Підбиваючи підсумки, зауважимо, що брати Бернуллі розуміють a-у не в сенсі «х & уО», де «&» - знак кон’юнкції, «0» - символ логічного заперечення. Отже, Я. Бернуллі та І. Бернуллі трактують операцію логічного віднімання не як функцію істинності, у тому значенні, у якому, наприклад, є матеріальна імплікація стоїків. Зазначене трактування ускладнювало алгоритмічну обробку виразів, що включали знак логічного віднімання. Тому цілком закономірно, що братам не вдалося створити задовільних логічних обчислень. Наслідуючи Г. Лейбніца, вони констатували аналогію, наявну між законами формальної логіки та методами елементарної алгебри.
ЛОГІКО-МАТЕМАТИЧНІ ІДЕЇ X. ВОЛЬФА
Учнем Г. Лейбніца був також відомий німецький філософ Христіан Вольф (Christian Wolff), ім’я якого також заслуговує на увагу в межах вивчення раннього етапу в розвитку ідей символічної логіки. Послідовник і систематизатор навчання Г.
Лейбніца - X. Вольф народився 24 січня 1679 р. у м. Бреслау в сім’ї пекаря. Мислитель навчався в місцевій гімназії. Викладачі познайомили його з працями Р. Декарта, а також з опублікованим у 1689 р. дослідженням Г. Лейбніца, Вальтера фон Чирнгаузена «Medicina mentis». У 1702 р. X. Вольф переїхав до Лейпцига з наміром отримати звання магістра, представивши свій латинський трактат «Про загальну філософію, складену за математичним методом», де він у найбільш суттєвих моментах наслідує Р. Декарта. Паралельно з вивченням праць Р. Декарта X. Вольф починає опрацьовувати дослідження Г. Лейбніца.У 1703 р. зазначений філософ, завдяки посередництву Г. Лейбніца, отримав місце лектора в Лейпцигу. Тут він став читати лекції з математики, фізики та філософії. У сфері філософії моралі та права X. Вольф обстоював початкові тези теорії природного права.
Інтригани-богослови (зокрема пієтисти Франку й Ланге), яким не давали спокою філософські успіхи X. Вольфа, вичерпавши «наукові» аргументи, почали вдаватися до більш «дієвих» засобів. Вони написали
донос на X. Вольфа королю Фрідріху Вільгельму І. Знаючи слабкі сторони свого правителя, донощики-богослови роз’яснили королю, що з вчення X. Вольфа про передвстановлену гармонію (і пов’язаної з цим вченням тези про відсутність свободи волі) витікає, зокрема, що солдати-дезертири не можуть бути визнані винними, оскільки їх дезертирство заздалегідь зумовлене. Король не був знайомий із метафізичними трактатами Г. Лейбніца, проте розумівся на прусській політиці. Рятуючись від королівського гніву, X. Вольф у 1723 р. утікає до Касселя, де обіймає посаду першого професора філософського факультету в Марбурзі.
Поступово X. Вольф здобуває світове визнання. Його обирають членом академії в Парижі (1733 р.), Лондоні та Стокгольмі. Петро І пропонував X. Вольфу пост віце-президента російської академії наук, відкриття якої планувалося тоді в Петербурзі. Світова слава X. Вольфа справила неабияке враження на прусських правителів. Фрідріх II запросив його зайняти місце віце-президента академії наук у Берліні.
Стиль праць X. Вольфа зумовлений дедуктивно-геометричним стилем «Етики» Б. Спінози. Мислитель прагне до максимальної ясності викладу, яка в нього межує іноді із сухістю та навіть педантизмом. Філософія, згідно з X. Вольфом, є загальною теорією можливих речей - об’єктів, мислимих несуперечливим чином (таких об’єктів, з припущення про існування яких не слідує протиріччя). Онтологія аналізує підстави загальних світових зв’язків, математика ґрунтується на категорії виміру, психологія поділяється на емпіричну (у межах якої «душа» досліджується в тісному зв’язку з тілом) та раціональну (відсутність такого дослідження).
Філософська система X. Вольфа загалом дуалістична й компромісна. Мислитель включив до своєї системи окремі моменти навчань Б. Спінози, Р. Декарта і навіть Д. Локка. Зокрема, вплив останнього полягав у тому, що разом із раціоналістичним методом демонстрації в дедуктивних науках X. Вольф переконливо підкреслював вирішальне значення індукції та експериментального знання в окремих наукових дисциплінах (наприклад, у фізиці). З іншого боку, проектуючи загальну картину Всесвіту як аналога годинника (машини), X. Вольф явно наслідував Р. Декарта й французьких матеріалістів.
Подібно до того, як у філософії X. Вольф прагнув спростити концепцію Г. Лейбніца, так і в логіці спробував адаптувати відповідні погляди свого вчителя, що припали йому до смаку.
Розвиваючи вчення Г. Лейбніца, X. Вольф підкреслює значення аналітичних пропозицій у математичних і логічних доказах. Аналітичні судження X. Вольф називає «порожніми пропозиціями», які визначає як «істинні підстави, пропозиції, у яких антецедент співпадає з консеквентом».
Досліджуючи операції з об’ємами понять, X. Вольф говорить про «сполучення понять» (Verknupfung der Begriffe), споріднене з операцією поєднання класів. Чимало уваги філософ приділяє тезі про «достатню основу», яку він схильний уважати логічним принципом і вихідним пунктом його метафізики, що виражається в такій формі: «ніщо» не мислимо. Тому все, що існує, повинно мати достатні підстави.
Неабиякий інтерес становить запропонована мислителем класифікація підстав, які використовують у доказах. Зокрема, серед таких підстав він виділяє:
• визначення або тотожні передумови, у яких суб’єкт і предикат, що належать до нього, позначають одне й те саме поняття;
• безперечні дані досвіду (unbezweifelte Erfahrungen), встановлені ретельним і постійним спостереженням за предикатами, що супровжують своїх суб’єктів як їх атрибути або модуси;
• аксіоми та постулати, тобто такі положення, зі змісту яких можна з очевидністю угледіти, суперечить їх суб’єкт своєму предикату чи не суперечить.
X. Вольф обгрунтовує (хоча й не деталізує) концепцію Г. Лейбніца про «універсальну науку». Мислитель аргументує зв’язок між:
• арифметичними обчисленнями з числами (numerorum in Arith metica);
• перетвореннями алгебри величин (mag nitudinum in Algebra);
• виведеннями силогізму (syllogis morum in Logica).
Він зрештою робить висновок про те, що об’єкти логіки повинні пройти попередню обробку для того, щоб до них можна було додавати методи математичних числень. Але це не більше, ніж констатація тих труднощів, з якими зіткнувся у своїх логічних численнях Г. Лейбніц.
Отже, X. Вольф загалом доводив взаємозв’язок понять «універсальна наука» та «логічний алгоритм». Водночас обговорення цього питання супроводжувалося неабиякими труднощами, адже відбувалось у контексті найбільш загального завдання - створення універсальної філософської мови.
Учні X. Вольфа - Більфингер (1693-1750 рр.), А. Баумгартен (1714-1762 pp.), X. Баумейстер (1709-1785 рр.) та Г. Мейєр (1718— 1777 рр.) - пішли шляхом «відшліфовування» теоретичного змісту логіки Г. Лейбніца та X. Вольфа, а також адаптування наявних логічних вчень до дидактичних цілей.
1.2.4.