Семантика модальної логіки

Для визначення логічного значення описових висловлювань до­статньо звернутися до дійсності. Якщо інформація, яка в них міститься, відповідає реальному стану речей, тоді вони оцінюються як істинні, якщо ж ні, тоді це були хибні висловлювання.

Для визначення логічного значення модальних висловлювань уже недостатньо лише звернення до дійсності. Якщо логічне значення опи­сових висловлювань визначається за змістом, то логічне значення мо­дальних висловлювань - за способом буття. Виявляється, що модальні висловлювання не є безумовно істинними, ні безумовно хибними, а є істинними або хибними в деяких або усіх випадках. Для того, щоб встановити їх істинність або хибність, необхідно розглянути не лише дійсний стан справ, а й множину інших можливостей, відповідно до яких могли б розвиватися події у світі. Такі стани справ у сучасній символічній логіці отримали назву «можливих світів».

Термін «можливий світ» має декілька значень:

1) теоретично (уявно, ідеально) побудований світ, на відміну від реального світу, іншими словами, альтернатива реальному світу; таких світів може бути побудовано безліч, а реальний світ лише один;

2) уявлення про майбутні події, про належну поведінку людини, про ідеалу пізнанні;

3) множина альтернативних підходів, припустимих варіантів пояс­нення ситуації, розв ’язання проблем, прогнозування подій, оцінок резуль­татів діяльності:

4) різні варіанти можливого перебігу подій в одному й тому самому дійсному світі;

5) множина речень, які описують усі факти онтологічно можливого світу;

6) несуперечлива й повна множина речень даної мови.

У модальній логіці «можливий світ» інколи розглядається «як мож­ливий стан справ», «як подія», «як можливий хід подій», «як певна уявна ситуація», «як сценарій».

Можливі світи - це світи, кожен з яких відрізняється від усіх інших.

Модальне висловлювання вважається сукупністю можливих світів. Для визначення значення істинності модального висловлювання по­трібне покликання на світи, досяжні з певного світу.

Фундатор теорії «можливих світів» - Готфрід Ляйбниць (1646 - 1716). За його думкою, є нескінченна множина можливих світів, кожний з яких має право на існування. Дійсний світ, в якому знаходимося ми самі, є тільки одним із таких можливих світів. Але він - найкращий з них, і саме тому Бог, доброта якого безмежна, зробив його існуючим.

Усе, що тільки може статися в дійсності, трапляється в одному із можливих світів. Наприклад, Наполеон отримав перемогу при Аустер- ліці, але зазнав поразки при Ватерлоо. Можна уявити собі такий мож­ливий світ, де події розвивалися інакше: Наполеон переміг при Ва­терлоо. але зазнав поразки при Аустерліці. Є можливим й такий світ, де Наполеон зовсім не народився. Перелік таких світів можна продовжу­вати до нескінченності.

У модальній логіці розглядають різні типи можливих світів. Так, дсонтичні світи мало схожі з алетичиими, від них відрізняються епістемічні та темпоральні світи. Така різноманітність типів можливих світів змістовно моделює багатоманітність модальних логік й забезпечує широке застосування результатів модальної логіки до аналізу пробле­матики гуманітарних дисциплін. Оскільки можливі світи моделюють різні обставини, альтернативні стани справ, різноманітні гносеологічні стандарти, припустимі й неприпустимі норми, оцінки відносно якогось випадку чи умови, то кожен можливий світ розглядається як елемент деякої множини можливих світів.

Між можливими світами існує відношення досяжності, яке також має теоретико-множинний смисл. Це не відношення співставлення, яке має місце між описовими висловлюваннями та реальним або дійсим світом, а відношення обстеження, перегляду множини можливих світів, які якимось чином зв’язані, стосуються реального світу.

Відношення досяжності між можливими світами можна зобразити так:

На цій схемі w і w’ - можливі світи, R - відношення досяжності.

Відношенню досяжності або альтернативності притаманні такі влас­тивості як рефлективність, симетричність та транзитивність.

Якщо позначити можливі світи символами w∣, w₂, w₂,... w_n, а відношення досяжності - R, то названі властивості можна записати так:

1) w R w - рефлективність;

2) w R w₁ → Wi R w - симетричність;

3) (wR w₁ ^ w₁ R w₂) → w R W₂- транзитивність.

Семантика, яка базується на таких засадах, у сучасній логіці отри­мала назву реляційної. У 70-ті роки XX ст. реляційна семантика була узагальнена. Замість відношення між світами почали розглядати від­ношення між світом та множиною світів. Семантики такого типу отримали назву навхресних семантик.

4.