Семантика логічних символів

При характеристиці структуру системи S¹, зазначалося, що семантика метамови S¹ представлена правилами ін­терпретації. Термін «інтерпретація» походить від ла­тинського слова Interpretatio, що у перекладі означає роз’яснення, тлумачення.

У логіці під інтерпретацією розуміють приписуван­ня деякого змістовного смислу, значення символам і формулам формальної системи.

Завдяки цьому формальна система перетворюється в мо­ву, що описує відповідну предметну область. Сама ця предметна область і види значень, що приписуються сим­волам і формулам, також називається інтерпретацією.

За допомогою правил утворення (ПУ) ми здійснили син­таксичну побудову формальної системи, яка є своєрідною грою з символами, коли можна комбінувати символи відповідно до правил, з’єднувати їх, роз’єднувати тощо. Для того, щоб система набула смислу, стала мовою, описом певних об’єктів, властивостей і відношень між ними, необ­хідно надати їй інтерпретацію.

До правил інтерпретації Sem ML в S¹ відносяться два правила:

1) правило інтерпретації пропозиційних змінних;

2) правила інтерпретації пропозиційних зв’язок.

Правило інтерпретації пропозиційних змінних поля­гає в тому, що кожна пропозиційна змінна може мати одне із двох значень: або «істину» («і»), або «хибу» («х»), але не те і інше одночасно. Фактично правило інтерпре­тації пропозиційних змінних є функцією приписування окремій пропозиційній змінній одного з двох логічних об’єктів: «істина» або «хиба».

Правилами інтерпретації пропозиційних зв’язок є таблиці істинності.

Таблиця істинності — це такий вид таблиць, за до­помогою якого встановлюється істинністне значення складного висловлювання при даних значеннях простих висловлювань, що входять до його складу.

Таблиці істинності є визначенням пропозиційних зв’я­зок і мають такий вигляд:

Після того, як ми визначили табличним методом зна­чення логічних сполучників, можна встановлювати зна­чення будь-якого складного висловлювання.

Проілюструємо це на прикладах.

Відомо, що антецедент цієї формули (p ∧ q) відповідає значенню «і», а консеквент — q — «х».

Відповідно до таблиці істинності для імплікації уся формула матиме значення — «х».

Щоб побудувати таблицю істинності для довільної формули, необхідно виконати такі дії:

1) скласти без повторів список пропозиційних змін­них, що входять до складу формули;

2) кожна пропозиційна змінна розпочинає новий сто­впчик таблиці;

3) для кожної підформули у тій послідовності, в якій вони входять до складу формули, будується відповідний стовпчик таблиці;

4) кількість рядків у таблиці істинності обчислю­ється за формулою 2ⁿ (де 2 означає кількість логічних значень, які приписуються пропозиційним змінним «іс­тину» або «хибу», а n — кількість пропозиційних змін­них, що входять до складу формули). Кожен набір зна­чень повинен відрізнятися від інших;

5) визначається головний логічний сполучник у фор­мулі;

6) останній стовпчик таблиці істинності будується для головного логічного сполучника, який відповідає значенню всієї формули.

Побудуємо таблицю істинності для формули:

((((p ∧ q) ⊃ r) V s) V q) ~ s

Із цієї таблиці очевидно, що дана формула істинна для семи наборів логічних значень пропозиційних змінних і хибна для решти. Таким способом можна обчислити логіч­не значення для формули будь-якої складності.

3.