Мова пропозиційної логіки

Мова логіки висловлювань - це штучна мова, призначена для аналізу логічної структури складних описових висловлювань.

Вона характеризується синтаксисом й семантикою.

Синтаксис логіки висловлювань - це алфавіт та правила, що визначають, які знаки входять до списку символів алфавіту логіки висловлювань та які послідовності знаків виступають правильно побудованими формулами логіки висловлювань.

Семантика логіки висловлювань - це правила інтерпретації формул логіки висловлювань як осмислених (істинних або хибних) описових висловлювань.

Алфавіт логіки висловлювань - це список знакових засобів, які застосовуються при побудові формул логіки висловлювань.

Знакові засоби логіки висловлювань поділяють на основні й допоміжні. У свою чергу, основні знаки поділяють на логічні (знаки логічних сполучників) й нелогічні (знаки пропозиційних змінних). Допоміжними знаками називають технічні знаки.

Знакові засоби логіки висловлювань:

І. Основні знаки:

1. Знаки логічних сполучників (пропозиційних зв’язок, сталих, констант):

Ці знаки призначені для позначення граматичних сполучників природної мови та деяких знаків пунктації.

2. Знаки пропозиційних змінних:

Ці знаки призначені для позначення простих описових висловлювань природної мови.

II. Допоміжні (технічні) знаки:

3. ( - ліва дужка;

4. ) - права дужка;

5., - кома;

Ніяких інших знаків у мові логіки висловлювань немає.

Враховуючи знакові засоби логіки висловлювань, можна дати таке визначення цьому розділу класичної логіки:

Пропозиційна логіка - це логічна теорія, мова якої містить один тип нелогічних символів - пропозиційні змінні, а також один тип логічних символів - пропозиційні зв’язки.

Формули логіки висловлювань є скінченними послідовностями знаків алфавіту логіки висловлювань, які будуються за встановленими правилами й утворюють закінчені правильні вирази мови логіки висловлювань.

До формул логіки висловлювань належать:

1. Прості вирази, що відповідають пропозиційним змінним.

2. Складні вирази:

Інших засобів побудови правильних виразів у логіці висловлювань немає. Ці засоби називають правилами утворення формул логіки висловлювань.

За правилом підстановки, у логіці висловлювань замість будь-якої змінної у формулі можна підставляти будь-яку формулу всюди, де ця змінна трапляється у цій формулі.

За синтаксичними ознаками формули логіки висловлювань поділяють на прості й складні.

Формула, яка є пропозиційною змінною, називається прос­тою, а формула, яка містить пропозиційні зв’язки - складною.

Формула, яка входить до складу деякої формули, називається її підформулою.

У складній формулі можна виокремити логічний сполучник, який називається головною логічною константою формули. Нею є остання за побудовою логічна константа.

Для прикладу знайдемо головну логічну константу формули

Відновимо дужки у цій формулі:

Цю формулу можна звести до форми A→B.

Її головним знаком є знак імплікації.

Кожний логічний сполучник у формулі логіки висловлювань має визначену область дії.

Область дії логічного сполучника утворюють усі підформули даної формули логіки висловлювань, які він зв’язує.

Зрозуміло, що область дії головного логічного сполучника складають усі підформули даної формули логіки висловлювань.

Якщо описове висловлювання просте, або містить тільки знаки кон’юнкції, або тільки слабкої диз’юнкції, проблеми визначення області дії логічних сполучників, як правило, не виникає. У всіх інших випадках вона виникає. Так, виразневизначений, оскільки

не вказано, які підформули складають область дії знака кон’юнкції, а які - знака слабкої диз’юнкції. Для усунення зазначеної невизначеності вводять дужки, які розмежовують область дії логічних сполучників: може бути або і

Одночасно із визначенням формули логіки висловлювань приймаються угоди, які дозволяють спростити запис формул й надати їм більш компактного вигляду. Так, за угодою часто не пишуть зовнішніх дужок: якщо першим знаком формули є ліва дужка, а останнім - права, то без цієї пари дужок можна обійтись. Тоді формули

2.1.3.