§ 3 РЕДУКЦИЯ НОРМАТИВНЫХ ЛОГИК К ТЕОРИИ ЛОГИЧЕСКИХ МОДАЛЬНОСТЕЙ И К ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНОЙ ЛОГИКЕ

А. Андерсон указал метод, с помощью которого абсолют­ные деонтические системы могут быть редуцированы к алети- ческим модальным системам⁸. В настоящем параграфе мы укажем несколько способов сведения дуадических деонтиче­ских систем к алетическим.

Достоинства такого подхода к деонтической логике оче­видны. Он открывает богатый источник формирования деон­тических систем. Алетическая модальная логика сравнитель­но хорошо изучена. Метод сведения позволяет распростра­нить многие важные результаты, полученные в алетической логике, на деонтическую логику.

Если к стандартной теории логических модальностей⁹ присоединить определения абсолютной обязанности и абсо­лютного безразличия в терминах логической необходимости и пропозициональной константы

то можно показать, что эта теория содержит деонтическую систему 013 (а значит, и систему OH).Константа Z может интерпретироваться как представляющая содержание норма­тивного кодекса. При такой интерпретации приведенные определения говорят, что действие обязательно, .если его выполнение влечется (строго имплицируется) содержанием нормативного кодекса, и действие безразлично, если ни его выполнение, ни воздержание от него не влечется кодексом.

Присоединение к теории логических модальностей помимо определений (D1) — (D2) также аксиомы ~L~Z,утверж­дающей непротиворечивость множества норм, представляемо­го константой Z, дает систему, содержащую деонтическую логику 014 (а значит, и 012).

Определения (D1) — (D2) допускают модификацию, даю­щую возможность провести ясное различие между деонтиче­скими логиками, содержащими принцип деонтической полно­ты, и деонтическими логиками, не включающими его. Пусть ^[47][48]

выражение KZпредставляет утверждение «кодексом Zопре­деляется нормативный статус каждого действия».

содержит деонтическую логику 014.

Такова связь построенных нами в § 1 второй главы абсо­лютных деонтических логик ОН—014 с теорией логических модальностей. Аналогичным образом связаны с этой теорией и относительные деонтические логики.

Примем следующие определения относительных норматив­ных понятий в терминах логической необходимости, пропози­циональной константы Z, представляющей содержание нор­мативного кодекса, и пропозициональных связок:

Согласно первому из этих определений реализация р в неко­торой ситуации обязательна в том и только том случае, если описание этой ситуации в конъюнкции с множеством норм, составляющих содержание рассматриваемого нормативного кодекса, влечет (строго имплицирует) р.

Деонтическую систему, содержащуюся в алетической мо­дальной логике, в алфавит которой введен символ Z и к определениям которой присоединены (D5) — (D8), будем на­зывать системой AD1.Нетрудно показать, что эта система содержит обсуждавшуюся в § 1 этой главы относительную деонтическую логику 01'3 (а значит, и логику 01'1). Теоре­мами AD1являются формулы

Можно показать, что AD1содержит также слабую дуадичес- кую деонтическую логику, описанную фон Райтом (224].

Расширение системы AD1аксиомой позволяет получить относительные деонтические логики 01"2 и 01"4, а также сильную дуадическую деонтическую систему фон Райта, названную им «Новой системой»^[49].

Теоремами AD1и ее расширений являются парадоксаль­ные формулы

Ни сами эти формулы, ни их следствия недоказуемы ни в системах ОІ'І, 01"2, 01'3, 01"4, ни в Новой системе фон Райта. Это означает, что AD1шире каж­дой из этих непарадоксальных систем.

Для проведения различия между относительными логика­ми норм с принципом деонтической полноты и без него можно воспользоваться определениями •

Присоединение их к теории логических модальностей позво­ляет показать, что она содержит систему ОГ1, не включаю­щую принцип деонтической полноты, и не содержит систему 01'3, теоремой которой является данный принцип. Для полу­чения последней в рамках алетической модальной логики, дополненной определениями (D9) — (D12), необходимо при­нять аксиому KZ.

Деонтическую систему, содержащуюся в теории логиче­ских модальностей, дополненной определениями

будем называть системой AD2.Нетрудно показать, что она содержит дуадические деонтические логики ОГ1 и ОГЗ и, будучи дополненной аксиомой MZ,содержит также деонти-

веские системы 0І"2, ОГ4 и Новую систему фон Райта. 5 последних трех системах смешанные выражения, объеди­няющие нормативные и фактические компоненты, не являют­ся, однако, правильно построенными. Формулы, подобные

и доказуемые в AD2,не являются теоремами этих систем.

Мы рассмотрели дуадические деонтические системы, со­держащиеся в алетических модальных системах, дополнен­ных определениями нормативных понятий в терминах строгой импликации и константы.

Классическая логика высказываний, дополненная следую­щим определением обязанности в терминах пропозициональ­ной константы У:

и определением правильно построенной формулы деонтиче­ской логики, исключающим из числа правильно построенных «смешанные» выражения, содержит монадическую деонтиче­скую систему^|3. Сходным образом, присоединение к этой логике высказываний определения правильно построенной формулы, исключающего «смешанные» выражения, и опреде­ления относительной обязанности в терминах константы У позволяет получить дуадическую деонтическую систему, тео­ремами которой являются, в частности, формулы

Дуадическая деонтическая система может быть получена из обычной пропозициональной логики и таким образом. Введем в алфавит этой логики константу Z, а к определению

і Такие операторы рассматривались Г. фон Райтом [219], Е. Фенстадом [92] и др.

” См. [22, стр. 120—121].

правильно построенной формулы присоединим следующее определение правильно построенной деонтической формулы

(1) выражение 0(а/0) является такой формулой, если и только если аир являются правильно построенными форму­лами пропозициональной логики;

К определениям пропозициональной логики добавим опре­деление относительной обязанности:

Примем, наконец, условие, что деонтическими теоремами являются только правильно построенные деонтические фор­мулы.

Так расширенная логика высказываний содержит деонти­ческую логику, теоремами которой являются формулы

Если принять в качестве аксиомы формулу Z,то будет дока­зуема также формула

¹⁴ Теоремами этой логики являются формулы 0(plq\J ~q]ziO(plr), 0(plq)-»(plq&r), F(p!q\J ~q)zzF-(plr), F(plq')^F(p/q&r'),но в ней не­доказуемы формулы 0(plq\/ ~q)=^'0(rr ~р) и О (plq) о0 (r/~ p&q).Это означает, что наиболее опасный из всех деонтических парадоксов не­доказуем в данной деонтической логике.

Опущенные в § 2 и § 3 данной главы доказательства утверждений об отношениях абсолютных и относительных деонтических систем и утвержде­ний о редукции нормативных логик к теории алетических модальностей со­держатся в нашей работе «Основные проблемы деонтической логики» [122, §§ 15—1(3].